2.4 Matemaattinen induktio

2.4 Matemaattinen induktio

Tee alla olevista todistustehtävistä ainakin 5.

Saat palauttaa halutessasi kaikki vastauksetkin (aina parempi).
Kirjoita ratkaisut kaavaeditorilla ( https://math-demo.abitti.fi/ ) ja palauta ratkaisut palautuskansioon.

1. Lukujono on määritelty rekursiivisesti
[[$ $]] [[$ $]] [[$ a_1=3 $]]
[[$ $]] [[$ $]] [[$ a_n = 2a_{n-1}-1 $]], kun [[$ n=2,3,4,...$]] .
Osoita, että [[$ a_n=2^n+1 $]] kaikilla [[$ n=1,2,3,...$]].

2. Lukujono on määritelty rekursiivisesti
[[$ $]] [[$ $]] [[$ a_1=2 $]]
[[$ $]] [[$ $]] [[$ a_n=4a_{n-1}$]], kun [[$ n=2,3,4,...$]] .
Päättele lukujonon yleisen termin lauseke ja todista se oikeaksi induktiolla.

3. Osoita induktiolla, että kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla [[$ n $]] on
[[$ $]] [[$ $]] [[$ 1+3+5+ ...+(2n-1)=n^2 $]].

4. Osoita induktiolla, että kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla [[$ n $]] on
[[$ $]] [[$ $]] [[$ 3+3^2+3^3+...+3^n=\frac{3^{n+1}-3}{2} $]].

5. Olkoon geometrisen jonon ensimmäinen jäsen [[$ a_1 $]] ja peräkkäisten jäsenten suhdeluku [[$ q $]]. Osoita induktiolla, että jonon yleinen jäsen on [[$ a_n=a_1q^{n-1} $]].

6. Osoita induktiolla, että
[[$ $]] [[$ $]] [[$ 2n^2$]] [[$(n+1)^2 $]] kaikilla n =3,4,5,... .

7. Epäyhtälö [[$ 2^n $]] [[$ n^2 $]] on tosi jostain kokonaisluvusta n>1 alkaen.
a) Mikä on pienin kokonaisluku n>1, jolle epäyhtälö pätee?
b) Muotoile epäyhtälöä koskeva väite ja todista se induktiolla.

8. Osoita induktiolla, että kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n on [[$ (ab)^n =a^{n}b^{n} $]].

9. Osoita induktiolla, että kaikilla luonnollisilla luvuilla n luku [[$ 7^{n}-4 $]] on jaollinen luvulla 3.

10. Osoita induktiolla, että kaikilla luonnollisilla luvuilla n luku [[$ 9^{n}+7 $]] on jaollinen luvulla 8.

11. Osoita induktiolla, että kaikilla luonnollisilla luvuilla n luku [[$ n^2-n $]] on parillinen.

2.4 Matemaattinen induktio

  • Palauta kuva tai muu tiedosto
  • Palauta merkintä
  • Palauta linkki

Sinulla ei ole tarvittavia oikeuksia lähettää mitään.

Peda.net käyttää vain välttämättömiä evästeitä istunnon ylläpitämiseen ja anonyymiin tekniseen tilastointiin. Peda.net ei koskaan käytä evästeitä markkinointiin tai kerää yksilöityjä tilastoja. Lisää tietoa evästeistä