Pitkä matematiikka

Pakolliset kurssit

1. Luvut ja lukujonot (MAY1)

Tavoitteet

  • Kurssin tavoitteena on, että opiskelija
  • pohtii matematiikan merkitystä yksilön ja yhteiskunnan näkökulmasta
  • kertaa ja täydentää lukualueet, kertaa peruslaskutoimitukset ja prosenttilaskennan periaatteet
  • vahvistaa ymmärrystään funktion käsitteestä
  • ymmärtää lukujonon käsitteen
  • osaa määrittää lukujonoja, kun annetaan alkuehdot ja tapa, jolla seuraavat termit muodostetaan
  • saa havainnollisen käsityksen lukujonon summan määrittämisestä
  • osaa ratkaista käytännön ongelmia aritmeettisen ja geometrisen jonon ja niistä muodostettujen summien avulla
  • osaa käyttää teknisiä apuvälineitä funktion kuvaajan ja lukujonojen tutkimisessa sekä lukujonoihin liittyvien sovellusongelmien ratkaisussa.
  • Keskeiset sisällöt
  • reaaliluvut, peruslaskutoimitukset ja prosenttilaskenta
  • funktio, kuvaajan piirto ja tulkinta
  • lukujono
  • rekursiivinen lukujono
  • aritmeettinen jono ja summa
  • logaritmi ja potenssi sekä niiden välinen yhteys
  • muotoa , x ∈ℕ olevien yhtälöiden ratkaiseminen
  • geometrinen jono ja summa

x.6.2 Matematiikan pitkä oppimäärä

Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tehtävänä on antaa opiskelijalle ammatillisten ja korkeakouluopintojen edellyttämät matemaattiset valmiudet sekä matemaattinen yleissivistys. Pitkän matematiikan opinnoissa opiskelijalla on tilaisuus omaksua matemaattisia käsitteitä ja menetelmiä sekä oppia ymmärtämään matemaattisen tiedon luonnetta. Opetus pyrkii myös antamaan opiskelijalle selkeän käsityksen matematiikan merkityksestä yhteiskunnan kehityksessä sekä sen soveltamismahdollisuuksista arkielämässä, tieteessä ja tekniikassa.

Opetuksen tavoitteet

Matematiikan pitkän oppimäärän opetuksen tavoitteena on, että opiskelija

  • saa myönteisiä oppimiskokemuksia ja tottuu pitkäjänteiseen työskentelyyn sekä oppii niiden kautta luottamaan omiin matemaattisiin kykyihinsä, taitoihinsa ja ajatteluunsa
  • rohkaistuu kokeilevaan ja tutkivaan toimintaan, ratkaisujen keksimiseen sekä niiden kriittiseen arviointiin
  • ymmärtää ja osaa käyttää matematiikan kieltä, kuten seuraamaan matemaattisen tiedon esittämistä, lukemaan matemaattista tekstiä, keskustelemaan matematiikasta, ja oppii arvostamaan esityksen täsmällisyyttä ja perustelujen selkeyttä
  • oppii näkemään matemaattisen tiedon loogisena rakenteena
  • kehittää lausekkeiden käsittely-, päättely- ja ongelmanratkaisutaitojaan
  • harjaantuu käsittelemään tietoa matematiikalle ominaisella tavalla, tottuu tekemään otaksumia, tutkimaan niiden oikeellisuutta ja laatimaan perusteluja sekä arvioimaan perustelujen pätevyyttä ja tulosten yleistettävyyttä
  • harjaantuu mallintamaan käytännön ongelmatilanteita ja hyödyntämään erilaisia ratkaisustrategioita
  • osaa käyttää tarkoituksenmukaisia matemaattisia menetelmiä, teknisiä apuvälineitä ja tietolähteitä.

Pakolliset kurssit

2. Polynomifunktiot ja -yhtälöt (MAA2)

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

  • harjaantuu käsittelemään polynomifunktioita
  • osaa ratkaista toisen asteen polynomiyhtälöitä ja tutkia ratkaisujen lukumäärää
  • osaa ratkaista korkeamman asteen polynomiyhtälöitä, jotka voidaan ratkaista ilman polynomien jakolaskua
  • osaa ratkaista yksinkertaisia polynomiepäyhtälöitä
  • osaa käyttää teknisiä apuvälineitä polynomifunktion tutkimisessa ja polynomiyhtälöihin ja polynomiepäyhtälöihin sekä polynomifunktioihin liittyvien sovellusongelmien ratkaisussa.Keskeiset sisällöt
  • polynomien tulo ja muotoa olevat binomikaavat
  • 2. asteen yhtälö ja ratkaisukaava sekä juurten lukumäärän tutkiminen
  • 2. asteen polynomin jakaminen tekijöihin
  • polynomifunktio
  • polynomiyhtälöitä
  • polynomiepäyhtälön ratkaiseminen

3. Geometria (MAA3)

Tavoitteet

  • Kurssin tavoitteena on, että opiskelija
  • harjaantuu hahmottamaan ja kuvaamaan tilaa sekä muotoa koskevaa tietoa sekä kaksi- että kolmiulotteisissa tilanteissa
  • harjaantuu muotoilemaan, perustelemaan ja käyttämään geometrista tietoa käsitteleviä lauseita
  • osaa ratkaista geometrisia ongelmia käyttäen hyväksi kuvioiden ja kappaleiden ominaisuuksia, yhdenmuotoisuutta, Pythagoraan lausetta sekä suora- ja vinokulmaisen kolmion trigonometriaa
  • osaa käyttää teknisiä apuvälineitä kuvioiden ja kappaleiden tutkimisessa ja geometriaan liittyvien sovellusongelmien ratkaisussa.Keskeiset sisällöt
  • kuvioiden ja kappaleiden yhdenmuotoisuus
  • sini- ja kosinilause
  • ympyrän, sen osien ja siihen liittyvien suorien geometria
  • kuvioihin ja kappaleisiin liittyvien pituuksien, kulmien, pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen

4. Vektorit (MAA4)

Tavoitteet

  • Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

  • ymmärtää vektorikäsitteen ja perehtyy vektorilaskennan perusteisiin
  • osaa tutkia kuvioiden ominaisuuksia vektoreiden avulla
  • ymmärtää yhtälöryhmän ratkaisemisen periaatteen
  • osaa tutkia kaksi- ja kolmiulotteisen koordinaatiston pisteitä, etäisyyksiä ja kulmia vektoreiden avulla
  • osaa käyttää teknisiä apuvälineitä vektoreiden tutkimisessa sekä suoriin ja tasoihin liittyvien sovellusongelmien ratkaisussa.
  • Keskeiset sisällöt
  • vektoreiden perusominaisuudet
  • vektoreiden yhteen- ja vähennyslasku ja vektorin kertominen luvulla
  • koordinaatiston vektoreiden skalaaritulo
  • yhtälöryhmän ratkaiseminen
  • suorat ja tasot avaruudessa

5. Analyyttinen geometria (MAA5)

Tavoitteet

  • Kurssin tavoitteena on, että opiskelija
  • ymmärtää, kuinka analyyttinen geometria luo yhteyksiä geometristen ja algebrallisten käsitteiden välille
  • ymmärtää pistejoukon yhtälön käsitteen ja oppii tutkimaan yhtälöiden avulla pisteitä, suoria, ympyröitä ja paraabeleja
  • syventää itseisarvokäsitteen ymmärtämystään ja oppii ratkaisemaan sellaisia yksinkertaisia itseisarvoyhtälöitä ja vastaavia epäyhtälöitä, jotka ovat tyyppiä | f(x) | = a tai | f(x) | = | g(x) |
  • osaa käyttää teknisiä apuvälineitä pistejoukon yhtälön tutkimisessa sekä yhtälöiden, yhtälöryhmien, itseisarvoyhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa sovellusongelmissa.
  • Keskeiset sisällöt
  • pistejoukon yhtälö
  • suoran, ympyrän ja paraabelin yhtälöt
  • itseisarvoyhtälön ja epäyhtälön ratkaiseminen
  • pisteen etäisyys suorasta

6. Derivaatta (MAA6)

Tavoitteet

  • Kurssin tavoitteena on, että opiskelija
  • osaa määrittää rationaalifunktion nollakohdat ja ratkaista yksinkertaisia rationaaliepäyhtälöitä
  • omaksuu havainnollisen käsityksen funktion raja-arvosta, jatkuvuudesta ja derivaatasta
  • osaa määrittää yksinkertaisten funktioiden derivaatat
  • osaa tutkia derivaatan avulla polynomifunktion kulkua ja määrittää sen ääriarvot
  • tietää, kuinka rationaalifunktion suurin ja pienin arvo määritetään
  • osaa käyttää teknisiä apuvälineitä raja-arvon, jatkuvuuden ja derivaatan tutkimisessa ja rationaaliyhtälöiden ja -epäyhtälöiden ratkaisemisessa sekä polynomi- ja rationaalifunktion derivaatan määrittämisessä sovellusongelmissa.
  • Keskeiset sisällöt
  • rationaaliyhtälö ja ‑epäyhtälö
  • funktion raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta
  • polynomifunktion, funktioiden tulon ja osamäärän derivoiminen
  • polynomifunktion kulun tutkiminen ja ääriarvojen määrittäminen

7. Trigonometriset funktiot (MAA7)

Tavoitteet

  • Kurssin tavoitteena on, että opiskelija
  • tutkii trigonometrisia funktioita yksikköympyrän symmetrioiden avulla
  • osaa ratkaista sellaisia trigonometrisia yhtälöitä, jotka ovat tyyppiä sin f(x) = a tai sin f(x) = sin g(x)
  • osaa trigonometristen funktioiden yhteydet ja
  • osaa derivoida yhdistettyjä funktioita
  • osaa tutkia trigonometrisia funktioita derivaatan avulla
  • osaa hyödyntää trigonometrisia funktioita mallintaessaan jaksollisia ilmiöitä
  • osaa käyttää teknisiä apuvälineitä trigonometristen funktioiden tutkimisessa ja trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa ja trigonometristen funktioiden derivaattojen määrittämisessä sovellusongelmissa.
  • Keskeiset sisällöt
  • suunnattu kulma ja radiaani
  • trigonometriset funktiot symmetria- ja jaksollisuusominaisuuksineen
  • trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen
  • yhdistetyn funktion derivaatta
  • trigonometristen funktioiden derivaatat


8. Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8)

Tavoitteet

  • Kurssin tavoitteena on, että opiskelija
  • kertaa potenssienlaskusäännöt mukaan lukien murtopotenssit
  • tuntee juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioiden ominaisuudet ja osaa ratkaista niihin liittyviä yhtälöitä
  • osaa tutkia juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioita derivaatan avulla
  • osaa hyödyntää eksponenttifunktiota mallintaessaan erilaisia kasvamisen ja vähenemisen ilmiöitä
  • osaa käyttää teknisiä apuvälineitä juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioiden tutkimisessa ja juuri-, eksponentti- ja logaritmiyhtälöiden ratkaisemisessa sekä juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktion derivaattojen määrittämisessä sovellusongelmissa.
  • Keskeiset sisällöt
  • potenssien laskusäännöt
  • juurifunktiot ja -yhtälöt
  • eksponenttifunktiot ja -yhtälöt
  • logaritmifunktiot ja -yhtälöt
  • juuri-, eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaatat

9. Integraalilaskenta (MAA9)

Tavoitteet

  • Kurssin tavoitteena on, että opiskelija
  • ymmärtää integraalifunktion käsitteen ja oppii määrittämään alkeisfunktioiden integraalifunktioita
  • ymmärtää määrätyn integraalin käsitteen ja sen yhteyden pinta-alaan
  • osaa määrittää pinta-aloja ja tilavuuksia määrätyn integraalin avulla
  • perehtyy integraalilaskennan sovelluksiin
  • osaa käyttää teknisiä apuvälineitä funktion ominaisuuksien tutkimisessa ja integraalifunktion määrittämisessä sekä määrätyn integraalin laskemisessa sovellusongelmissa.
  • Keskeiset sisällöt
  • integraalifunktio
  • alkeisfunktioiden integraalifunktiot
  • määrätty integraali
  • pinta-alan ja tilavuuden laskeminen

10. Todennäköisyys ja tilastot (MAA10)

Tavoitteet

  • Kurssin tavoitteena on, että opiskelija
  • osaa havainnollistaa diskreettejä ja jatkuvia tilastollisia jakaumia sekä määrittää ja tulkita jakaumien tunnuslukuja
  • perehtyy kombinatorisiin menetelmiin
  • perehtyy todennäköisyyden käsitteeseen ja todennäköisyyksien laskusääntöihin
  • ymmärtää diskreetin todennäköisyysjakauman käsitteen ja oppii määrittämään jakauman odotusarvon ja soveltamaan sitä
  • perehtyy jatkuvan todennäköisyysjakauman käsitteeseen ja oppii soveltamaan normaalijakaumaa
  • osaa käyttää teknisiä apuvälineitä digitaalisessa muodossa olevan datan hakemisessa, käsittelyssä ja tutkimisessa sekä jakaumien tunnuslukujen määrittämisessä ja todennäköisyyksien laskemisessa annetun jakauman ja parametrien avulla.Keskeiset sisällöt
  • diskreetti ja jatkuva tilastollinen jakauma
  • jakauman tunnusluvut
  • klassinen ja tilastollinen todennäköisyys
  • kombinatoriikka
  • todennäköisyyksien laskusäännöt
  • diskreetti ja jatkuva todennäköisyysjakauma
  • diskreetin jakauman odotusarvo
  • normaalijakauma Kurssin tavoitteena on, että opiskelija