Tuntimuistiinpanot
https://peda.net/id/f8a893e42dc
2022-09-06T16:05:18+03:00
https://peda.net/:static/535/peda.net.logo.bg.svg
<div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div>
Harjoituskoe
https://peda.net/id/bbffff2642f
2022-10-04T18:28:47+03:00
Eetu Häkkinen
https://peda.net/p/EetuHakkinen
Harjoituskoe:<br/>
<a href="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/harjoituskoe/mab4-harjoituskoe.pdf#top" class="service">MAB4-harjoituskoe.pdf</a><br/>
Ratkaisut:<br/>
<a href="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/harjoituskoe/mab4-harjoituskoe-vastaukset.pdf#top" class="service">MAB4-harjoituskoe-vastaukset.pdf</a><br/>
Vihje tehtävään 7: Katso tuntimuistiinpanoista tehtävä 6.11, joka on tehty yhdessä.
<h1><a href="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot:showall/to-15.9.-suoran-leikkauspisteet-ja-suora-lineaarisena-mallin#top" rel="nofollow ugc noopener">To 15.9. Suoran leikkauspisteet ja lineaarisen mallin soveltaminen</a></h1><div class="commentscountwrapper"><a href="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/harjoituskoe#comments" class="commentscount">0 kommenttia</a></div>
2022-10-03T12:14:07+03:00
Ti 20.9. Potenssifunktio- ja yhtälö
https://peda.net/id/dda4b00a38c
2022-09-20T12:44:57+03:00
Eetu Häkkinen
https://peda.net/p/EetuHakkinen
<div><b>Potenssifunktio</b></div>
<div><a href="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/ti-20.9.-potenssifunktio-ja-yhtalo/capture.png#top" title="Capture.PNG"><img src="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/ti-20.9.-potenssifunktio-ja-yhtalo/capture.png:file/photo/18ffde62fad50c65e724b81e1934421c94e3cc55/Capture.PNG" alt="" title="Capture.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a></div>
<div>Potenssifunktiot ovat aina muotoa <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ax%5En" alt="ax^n"/></div>
<div>Esimerkiksi <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x%5E5" alt="3x^5"/> on potenssifunktio</div>
<div>Funktion arvojen laskeminen:</div>
<div>Olkoon<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D3x%5E5" alt="f\left(x\right)=3x^5"/></div>
<div> </div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(-1%5Cright)%3D3%5Ccdot%5Cleft(-1%5Cright)%5E5%3D3%5Ccdot%5Cleft(-1%5Cright)%3D-3" alt="f\left(-1\right)=3\cdot\left(-1\right)^5=3\cdot\left(-1\right)=-3"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(2%5Cright)%3D3%5Ccdot2%5E5%3D3%5Ccdot32%3D96" alt="f\left(2\right)=3\cdot2^5=3\cdot32=96"/></div>
<div> </div>
<div>Potenssiyhtälön ratkaiseminen:</div>
<div>Olkoon <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D3x%5E2" alt="f\left(x\right)=3x^2"/></div>
<div>Ratkaise yhtälö <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D5" alt="f\left(x\right)=5"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x%5E2%3D5%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel%3A3" alt="3x^2=5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel:3"/></div>
<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel%5Csqrt%7B%20%7D" alt="x^2=\frac{5}{3}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel\sqrt{ }"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D%7D" alt="x=\pm\sqrt{\frac{5}{3}}"/>
<div> </div>
<div>Tehtävä 8.9 s.101</div>
<div>a) <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D3x%5E4" alt="f\left(x\right)=3x^4"/></div>
<div>Ratkaistaan yhtälö</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D6" alt="f\left(x\right)=6"/></div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x%5E4%3D6%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel%3A3" alt="3x^4=6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel:3"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E4%3D2%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel%5Csqrt%5B4%5D%7B%7D" alt="x^4=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel\sqrt[4]{}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cpm%5Csqrt%5B4%5D%7B2%7D" alt="x=\pm\sqrt[4]{2}"/>
<div> </div>
<div>b) <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=g%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E4%2B10" alt="g\left(x\right)=x^4+10"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=g%5Cleft(x%5Cright)%3D0" alt="g\left(x\right)=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E4%2B10%3D0%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel-10" alt="x^4+10=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel-10"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E4%3D-10%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel%5Csqrt%5B4%5D%7B%7D" alt="x^4=-10\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel\sqrt[4]{}"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cpm%5Csqrt%5B4%5D%7B-10%7D" alt="x=\pm\sqrt[4]{-10}"/></div>
<div>Vastaus: Ei ratkaisua</div>
<div> </div>
<div>c)<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Dg%5Cleft(x%5Cright)" alt="f\left(x\right)=g\left(x\right)"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x%5E4%3Dx%5E4%2B10%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel-x%5E4" alt="3x^4=x^4+10\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel-x^4"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%5E4%3D10%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel%3A2" alt="2x^4=10\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel:2"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E4%3D5%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel%5Csqrt%5B4%5D%7B%7D" alt="x^4=5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel\sqrt[4]{}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cpm%5Csqrt%5B4%5D%7B5%7D" alt="x=\pm\sqrt[4]{5}"/></div>
<div class="commentscountwrapper"><a href="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/ti-20.9.-potenssifunktio-ja-yhtalo#comments" class="commentscount">0 kommenttia</a></div>
2022-09-20T12:44:48+03:00
To 15.9. Suoran leikkauspisteet ja lineaarisen mallin soveltaminen
https://peda.net/id/c38f41d034d
2022-09-15T15:38:59+03:00
Eetu Häkkinen
https://peda.net/p/EetuHakkinen
<b><span class="editor underline">Suorien leikkauspisteet</span></b>
<div> </div>
<div><a href="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/to-15.9.-suoran-leikkauspisteet-ja-suora-lineaarisena-mallin/capture.png2#top" title="Capture.PNG"><img src="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/to-15.9.-suoran-leikkauspisteet-ja-suora-lineaarisena-mallin/capture.png2:file/photo/4c9d445349b18a0ab5617d365615395fcff357ea/Capture.PNG" alt="" title="Capture.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D2x%2B5" alt="y=2x+5"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D-x%2B3" alt="y=-x+3"/></div>
<div><b>Suoran yhtälöt ratkaistussa muodossa:</b></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D2x%2B5" alt="y=2x+5"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D-x%2B3" alt="y=-x+3"/><b><br/>
</b></div>
<div> </div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3Dy" alt="y=y"/></div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%2B5%3D-x%2B3%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel%2Bx" alt="2x+5=-x+3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel+x"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x%2B5%3D3%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel-5" alt="3x+5=3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel-5"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x%3D-2%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel%3A3" alt="3x=-2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel:3"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D" alt="x=-\frac{2}{3}"/>
<div> </div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D-%5Cleft(-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cright)%2B3%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B9%7D%7B3%7D%3D%5Cfrac%7B11%7D%7B3%7D" alt="y=-\left(-\frac{2}{3}\right)+3=\frac{2}{3}+\frac{9}{3}=\frac{11}{3}"/></div>
<div>Vastaus: Suorat leikkaavat pisteessä <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7B%2C%7D%5Cfrac%7B11%7D%7B3%7D%5Cright)" alt="\left(-\frac{2}{3}{,}\frac{11}{3}\right)"/></div>
<div> </div>
<div><b>Suora leikkaa x-akselin</b></div>
<div><b> </b></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D2x%2B5" alt="y=2x+5"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%2B5%3D0%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel-5" alt="2x+5=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel-5"/></div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%3D-5%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel%3A2" alt="2x=-5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel:2"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D" alt="x=-\frac{5}{2}"/>
<div>Vastaus: Suora leikkaa x-akselin pisteessä <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(-%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%7B%2C%7D0%5Cright)" alt="\left(-\frac{5}{2}{,}0\right)"/>
<div><b>Suora leikkaa y-akselin</b></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D2x%2B5" alt="y=2x+5"/></div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D2%5Ccdot0%2B5%3D5" alt="y=2\cdot0+5=5"/></div>
<div>Vastaus: Suora leikkaa y-akselin pisteessä <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(0%7B%2C%7D5%5Cright)" alt="\left(0{,}5\right)"/>.</div>
<div> </div>
<div> </div>
<div><b>6.11</b></div>
<div>a)<a href="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/to-15.9.-suoran-leikkauspisteet-ja-suora-lineaarisena-mallin/capture1.png#top" title="Capture1.PNG"><img src="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/to-15.9.-suoran-leikkauspisteet-ja-suora-lineaarisena-mallin/capture1.png:file/photo/cbf1cc17f39de7bf905f9d1ae5f7fda4b6b5ae40/Capture1.PNG" alt="" title="Capture1.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a></div>
<div>Vastaus: Suoran yhtälö on <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D57%7B%2C%7D8x%2B39%7B%2C%7D6" alt="y=57{,}8x+39{,}6"/></div>
<div>b)</div>
<div><a href="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/to-15.9.-suoran-leikkauspisteet-ja-suora-lineaarisena-mallin/capture2.png#top" title="Capture2.PNG"><img src="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/to-15.9.-suoran-leikkauspisteet-ja-suora-lineaarisena-mallin/capture2.png:file/photo/03f9f7d7c9199f46612968418015924911ad113f/Capture2.PNG" alt="" title="Capture2.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a></div>
<div>Vastaus: Myyntitulot ovat noin 415 000 euroa, jos mainoskulut ovat 6500€.</div>
<div>c)</div>
<div><a href="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/to-15.9.-suoran-leikkauspisteet-ja-suora-lineaarisena-mallin/capture3.png#top" title="Capture3.PNG"><img src="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/to-15.9.-suoran-leikkauspisteet-ja-suora-lineaarisena-mallin/capture3.png:file/photo/5e63b95f6cbd7768a696a94a6b86c8cff8b49fda/Capture3.PNG" alt="" title="Capture3.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a></div>
<div>Vastaus: 200 000 euron liikevaihto saavutetaan noin 2 800 euron mainoskuluilla.<br/>
<div> </div>
<div> </div>
<div> </div>
<div> </div>
<div> </div>
<div> </div>
<div> </div>
</div>
<div class="commentscountwrapper"><a href="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/to-15.9.-suoran-leikkauspisteet-ja-suora-lineaarisena-mallin#comments" class="commentscount">0 kommenttia</a></div>
2022-09-15T12:50:00+03:00
Ti 13.9. Suoran yhtälön muodostaminen
https://peda.net/id/45b1acd4334
2022-09-13T12:34:36+03:00
Eetu Häkkinen
https://peda.net/p/EetuHakkinen
<div><b><span class="editor underline">Suoran yhtälön muodostaminen</span></b></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3Dkx%2Bb" alt="y=kx+b"/><b></b></div>
<div><a href="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/ti-13.9.-suoran-yhtalon-muodostaminen/capture.png#top" title="Capture.PNG"><img src="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/ti-13.9.-suoran-yhtalon-muodostaminen/capture.png:file/photo/cd7a3436a2d01024f527ec094b2d737266290911/Capture.PNG" alt="" title="Capture.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a></div>
<b>Kulmakertoimen ja vakiotermin avulla:</b>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=k%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D" alt="k=\frac{1}{2}"/><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=b%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%5Cleft(%3D2%7B%2C%7D5%5Cright)" alt="b=\frac{5}{2}\left(=2{,}5\right)"/></div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D" alt="y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}"/>
<div> </div>
<div><b>Kulmakertoimen ja pisteen avulla:</b></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=k%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D" alt="k=\frac{1}{2}"/>ja suora kulkee pisteen <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(3%7B%2C%7D4%5Cright)" alt="\left(3{,}4\right)"/> kautta.</div>
<div><b>Tapa 1:</b></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3Dkx%2Bb" alt="y=kx+b"/></div>
Sijoitetaan kulmakerroin ja pisteen koordinaatit suoran yhtälön ratkaistuun muotoon<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=4%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot3%2Bb%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D" alt="4=\frac{1}{2}\cdot3+b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel-\frac{3}{2}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=b%3D4-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D" alt="b=4-\frac{3}{2}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=b%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D" alt="b=\frac{5}{2}"/>
<div>Sijoitetaan suoran yhtälön ratkaistun muodon kaavaan</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D" alt="y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}"/></div>
<div><b>Tapa 2: </b></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y-y_0%3Dk%5Cleft(x-x_0%5Cright)" alt="y-y_0=k\left(x-x_0\right)"/></div>
<div>Sijoitetaan kulmakerroin ja pisteen koordinaatit:</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y-4%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(x-3%5Cright)" alt="y-4=\frac{1}{2}\left(x-3\right)"/></div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y-4%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel%2B4" alt="y-4=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel+4"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D" alt="y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}"/>
<div> </div>
<div><b>Suoran yhtälön normaalimuoto:</b></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ax%2Bby%2Bc%3D0" alt="ax+by+c=0"/></div>
<div>Muutetaan suora ratkaistusta muodosta normaalimuotoon</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel-y" alt="y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel-y"/></div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx-y%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%3D0%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel%5Ccdot2" alt="\frac{1}{2}x-y+\frac{5}{2}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel\cdot2"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x-2y%2B5%3D0" alt="x-2y+5=0"/>
<div> </div>
<div><b>Suorien yhdensuuntaisuus:</b></div>
<div>Suorat ovat yhdensuuntaisia, jos ja vain jos suorien kulmakertoimet ovat yhtä suuret.</div>
<div> </div>
<div><b>Onko piste suoralla?</b></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D" alt="y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}"/> Onko piste <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(1%7B%2C%7D3%5Cright)" alt="\left(1{,}3\right)"/> suoralla?</div>
<div>Kaikki pisteet jotka ovat suoralla, toteuttavat suoran yhtälön!</div>
<div>Sijoitetaan suoran yhtälöön<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x" alt="x"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot1%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B6%7D%7B2%7D%3D3" alt="y=\frac{1}{2}\cdot1+\frac{5}{2}=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}=3"/></div>
<div>Vastaus: Koska saatiin sama arvo kuin pisteen y-koordinaatti, piste on suoralla!</div>
<div> </div>
<div class="commentscountwrapper"><a href="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/ti-13.9.-suoran-yhtalon-muodostaminen#comments" class="commentscount">0 kommenttia</a></div>
2022-09-13T12:34:32+03:00
To 8.9. Lineaarinen funktio ja suora
https://peda.net/id/e371cb4e2f5
2022-09-08T12:38:02+03:00
Eetu Häkkinen
https://peda.net/p/EetuHakkinen
<span>1.7a)</span><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B3x%7D%7B5%7D%3D%5Cfrac%7Bx%2B8%7D%7B3%7D%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel%5Ccdot15" alt="\frac{3x}{5}=\frac{x+8}{3}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel\cdot15"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B3x%5Ccdot15%7D%7B5%7D%3D%5Cfrac%7B15%5Ccdot%5Cleft(x%2B8%5Cright)%7D%7B3%7D" alt="\frac{3x\cdot15}{5}=\frac{15\cdot\left(x+8\right)}{3}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x%5Ccdot%5Cfrac%7B15%7D%7B5%7D%3D%5Cfrac%7B15%7D%7B3%7D%5Ccdot%5Cleft(x%2B8%5Cright)" alt="3x\cdot\frac{15}{5}=\frac{15}{3}\cdot\left(x+8\right)"/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x%5Ccdot3%3D5%5Ccdot%5Cleft(x%2B8%5Cright)" alt="3x\cdot3=5\cdot\left(x+8\right)"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=9x%3D5x%2B40%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel-5x" alt="9x=5x+40\ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel-5x"/></div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=4x%3D40%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel%3A4" alt="4x=40\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel:4"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D10" alt="x=10"/>
<div> </div>
<div><b><span class="editor underline">Suora</span></b></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D2x%2B4" alt="f\left(x\right)=2x+4"/><b></b></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D2x%2B4" alt="y=2x+4"/><br/>
<a href="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/to-8.9.-lineaarinen-funktio-ja-suora/capture.png#top" title="Capture.PNG"><img src="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/to-8.9.-lineaarinen-funktio-ja-suora/capture.png:file/photo/2bc13d65f46e33d9736486757872ccbc980b8135/Capture.PNG" alt="" title="Capture.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a></div>
<div> </div>
<div>Pisteet <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(0%7B%2C%7D4%5Cright)" alt="\left(0{,}4\right)"/>ja <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(1%7B%2C%7D6%5Cright)" alt="\left(1{,}6\right)"/> ovat suoralla. Suoran kulmakerroin voidaan laskea pisteiden avulla.</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=k%3D%5Cfrac%7By_2-y_1%7D%7Bx_2-x_1%7D%3D%5Cfrac%7B6-4%7D%7B1-0%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B1%7D%3D2" alt="k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{6-4}{1-0}=\frac{2}{1}=2"/></div>
<div class="commentscountwrapper"><a href="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/to-8.9.-lineaarinen-funktio-ja-suora#comments" class="commentscount">0 kommenttia</a></div>
2022-09-08T12:37:43+03:00
Ti 6.9. Yhtälöitä
https://peda.net/id/0d4fe8d82dc
2022-09-06T12:59:27+03:00
Eetu Häkkinen
https://peda.net/p/EetuHakkinen
<div>Ensimmäisen asteen yhtälö</div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=4x-4%3D12%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel%2B4" alt="4x-4=12\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel+4"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=4x%3D16%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel%3A4" alt="4x=16\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel:4"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D4" alt="x=4"/>
<div> </div>
<div>Toisen asteen yhtälön yksinkertainen tapaus</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2-9%3D0" alt="x^2-9=0"/></div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%3D9%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cparallel%5Csqrt%7B%20%7D" alt="x^2=9\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \parallel\sqrt{ }"/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cpm%5Csqrt%7B9%7D%3D%5Cpm3" alt="x=\pm\sqrt{9}=\pm3"/><br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-3" alt="x=-3"/>tai <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D3" alt="x=3"/></div>
</div>
<div> </div>
<div>Toisen asteen yhtälö tulon nollasäännöllä</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%5E2%2B3x%3D0" alt="2x^2+3x=0"/></div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%5Ccdot%20x%2B3%5Ccdot%20x%3D0" alt="2x\cdot x+3\cdot x=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5Cleft(2x%2B3%5Cright)%3D0" alt="x\left(2x+3\right)=0"/>
<div>Tulon nollasääntö!<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D0" alt="x=0"/>tai <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%2B3%3D0" alt="2x+3=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%3D-3" alt="2x=-3"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D" alt="x=-\frac{3}{2}"/></div>
<div> </div>
<div>Toisen asteen yhtälön yleinen tapaus</div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0" alt="ax^2+bx+c=0"/><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D" alt="x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}"/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-2x%5E2%2Bx%2B6%3D0" alt="-2x^2+x+6=0"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a%3D-2" alt="a=-2"/></div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=b%3D1" alt="b=1"/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=c%3D6" alt="c=6"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B-1%5Cpm%5Csqrt%7B1%5E2-4%5Ccdot%5Cleft(-2%5Cright)%5Ccdot6%7D%7D%7B2%5Ccdot%5Cleft(-2%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7B-1%5Cpm%5Csqrt%7B1%2B48%7D%7D%7B-4%7D%3D%5Cfrac%7B-1%5Cpm7%7D%7B-4%7D" alt="x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot\left(-2\right)\cdot6}}{2\cdot\left(-2\right)}=\frac{-1\pm\sqrt{1+48}}{-4}=\frac{-1\pm7}{-4}"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B-1-7%7D%7B-4%7D%3D%5Cfrac%7B-8%7D%7B-4%7D%3D2" alt="x=\frac{-1-7}{-4}=\frac{-8}{-4}=2"/>tai <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B-1%2B7%7D%7B-4%7D%3D%5Cfrac%7B6%7D%7B-4%7D%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D" alt="x=\frac{-1+7}{-4}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}"/><br/>
<br/>
<a href="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/ti-6.9/capture.png#top" title="Capture.PNG"><img src="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/ti-6.9/capture.png:file/photo/94c427bd3aa48069568f3427d6f2e9beb92909ce/Capture.PNG" alt="" title="Capture.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a></div>
<div> </div>
<div>Vastaus: <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D" alt="x=-\frac{3}{2}"/> tai <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D2" alt="x=2"/></div>
<div class="commentscountwrapper"><a href="https://peda.net/helsinki/tyk/tya/kt-opetus-perho/vr/kt21lt/mab4-hakkinen2/tuntimuistiinpanot/ti-6.9#comments" class="commentscount">0 kommenttia</a></div>
2022-09-06T12:55:34+03:00