https://peda.net/id/f5f1cb2c54c 2020-02-21T18:38:15+02:00 https://peda.net/:static/535/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/faa8f69057c 2020-03-08T17:26:19+02:00 <ul> <li>Luku on jaollinen kahdella, jos ja vain jos sen viimeinen numero on jaollinen kahdella.</li> <li>Luku on jaollinen kolmella, jos ja vain jos sen numeroiden summa on jaollinen kolmella.</li> <li>Luku on jaollinen viidellä, jos ja vain jos sen viimeinen numero on 0 tai 5.</li> <li>Luku on jaollinen kuudella, jos ja vain jos se on jaollinen kahdella ja kolmella.</li> <li>Luku on jaollinen yhdellätoista, jos ja vain jos luvun joka toisesta numerosta koostuvat summat ovat yhtä suuret tai luvulla yksitoista jaolliset.</li> <li>Luvulla on aina tekijä, joka on pienempi kuin jaettavan luvun neliöjuuri.</li> </ul> 2020-02-25T14:18:49+02:00 https://peda.net/id/0e6547765ca 2020-03-02T19:14:53+02:00 <ol> <li>Muodosta taulukko luvuista [[$1,...,100$]].</li> <li>Ruksita [[$1$]].</li> <li>Ympyröi seuraava luku, jota ei ole merkitty ympyröimällä tai ruksittamalla.</li> <li>Ruksita kaikki ympyröimäsi luvun moninkerrat.</li> <li>Jatka askeleesta 3, kunnes kaikki taulukkosi luvut on merkitty joko ympyröimällä tai ruksittamalla.</li> <li>Tutki, kuinka monta ympyröimääsi lukua osuu seuraaville väleille: <ul> <li>[[$1,...,10$]]</li> <li>[[$1,...,20$]]</li> <li>[[$1,...,50$]]</li> <li>[[$1,...,100$]]</li> </ul> </li> </ol> 2020-03-02T19:12:54+02:00 https://peda.net/id/2b4fc4f05d7 2020-03-03T19:12:32+02:00 ​<a href="https://peda.net/p/janne.rytkonen/pmm/materiaali/y79l/s3-algebra#top" class="uuid-9b88d6d2-5d70-11ea-be6c-509a4c62f362">S3 Algebra</a>​ 2020-03-03T19:12:32+02:00 https://peda.net/id/9c19b95654d 2020-03-02T19:21:56+02:00 <ul> <li><b>Bézout'n lemma</b>: Olkoot [[$a,b\in \mathbb{Z}$]]. Tällöin on olemassa sellaiset [[$x,y\in \mathbb{Z}$]], että</li> </ul> [[$$ax+by=\text{syt}(a,b)$$]]<br/> <ul> <li><b>Fermat'n pieni lause</b>: Olkoon [[$a\in \mathbb{Z}$]], ja olkoon [[$p$]] alkuluku. Tällöin [[$a^n\equiv a\ (\text{mod}\ p)$]]. Toisin sanoen [[$a^{n-1}\equiv 1\ (\text{mod}\ p)$]], eli luku [[$p$]] jakaa luvun [[$a^{p-1}-1$]].</li> <li><b>Fermat'n suuri lause</b>: Olkoon [[$n\ge 2$]] kokonaisluku. Tällöin ei ole olemassa sellaisia [[$a,b,c\in\mathbb{Z}$]], että [[$a^n+b^n=c^n$]]. <ul> <li>Vastaesimerkki tapaukselle [[$n=1$]] triviaali Bézout'n lemman nojalla.</li> <li>Vastaesimerkki tapaukselle [[$n=2$]] Pythagoraan kolmikot, esimerkiksi: [[$(3,4,5)$]]</li> </ul> </li> <li><b>Wilsonin lause</b>: Olkoon [[$p\in\mathbb{N}$]]. Tällöin [[$p$]] on alkuluku, jos ja vain jos [[$(p-1)!\equiv-1\ (\text{mod}\ p)$]]. Toisin sanoen [[$p$]] on alkuluku, jos ja vain jos [[$p$]] jakaa luvun [[$(p-1)!+1$]].</li> <li><b>Alkulukulause</b>: Merkitään lukua [[$x\in\mathbb{R}$]] pienempien tai tämän kanssa yhtäsuurien alkulukujen lukumäärää merkinnällä [[$\pi(x)$]]. Tällöin</li> </ul> [[$$\lim_{n\to\infty}\frac{\pi(x)}{x\ /\ln x}=1$$]]. 2020-02-21T20:18:50+02:00