Yhdistetty funktio ja yhdistetyn funktion derivaatta

2022-01-18T08:32:16+02:00

Keskeiset asiat

Kertaus yhdistetystä funktiosta

Yhdistetty funktio koostuu sisäfunktiosta [[$s(x)$]] ja ulkofunktiosta [[$u(x)$]].
Yhdistetyn funktion [[$f$]] arvo kohdassa [[$x$]] saadaan laskemalla ulkofunktion arvo kohdassa [[$s(x)$]], eli [[$f(x)=u(s(x))$]].
Esimerkiksi funktio [[$f(x) = (x-4)^3$]] voidaan tulkita yhdistetyksi funktioksi siten, että sisäfunktio on [[$s(x)=x-4$]] ja ulkofunktio [[$u(x)=x^3.$]]
Funktioiden [[$f$]] ja [[$g$]] yhdistetylle funktiolle [[$f(g(x))$]] käytetään merkintää [[$f(g(x))=(f \circ g)(x)$]] (luetaan "f pallo g kohdassa x.")
Sama funktio voidaan tulkita yhdistetyksi funktioksi usealla eri tavalla.
Huomaa, että funktioiden järjestyksellä on väliä. Esimerkiksi jos [[$f(x)=x^2$]] ja [[$g(x)=x+1$]], niin [[$$(f\circ g)(x)=(x+1)^2=x^2+2x+1,$$]] mutta [[$$(g\circ f)(x)=x^2+1.$$]]

Yhdistetyn funktion derivaatta

Derivoituvien funktioiden [[$s$]] ja [[$u$]] yhdistetyn funktion [[$u(s(x))$]] derivaatta on [[$$\mathrm{D}u(s(x))=u'(s(x))\cdot s'(x).$$]]
Taulukkokirjasta löytyvä muoto on [[$$\mathrm{D}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x).$$]]

Tunnilla
Tee tehtäviä seuraavassa järjestyksessä niin pitkälle kuin ehdit.

Kotona
Laske 1–2 tehtävää eteenpäin luvusta 4.2 ja lue luku 4.3 seuraavaa tuntia varten.

4.2 Yhdistetyn funktion derivaatta (oppitunti 19.1.)