Aihe 2: Sini- ja kosini-yhtälöt ja derivaatat

Tiedostot

2018-11-06T10:35:43+02:00

Sin- ja cos-derivaatat: Sin- ja cos-derivaatat

sin(x)- ja cos(x) yhtälöt ja derivaatat

2018-12-13T13:49:12+02:00

Sini- ja kosinifunktio (sin (x) ja cos (x)) ovat varsin maltillisesti käyttäytyviä funktioita: kumpikin on määritelty kaikilla x:n arvoilla, arvojoukko on kummallakin -1...1 ja kuvaaja toistaa itseään [[$ 2\pi $]] jaksoissa. Usein riittääkin tutkia vaikka epäyhtälöissä suljettua väliä 0...[[$ 2\pi $]].

Jos monimutkaisempi lauseke sisältää vain sin (x) tai cos (x):n, ei kumpaakin, niin lausekkeen arvojoukon pystyy usein päättelemään, ks. alla teht. 405.

Yhtälönratkaisu:
1. Sievennä yhtälö muotoon
a) sin(x) = a
b) cos(x) = b (missä a ja b ovat reaalilukuja).

2. Sitten ratkaiset Geogebralla yhden kulman joka toteuttaa 1. kohdan yhtälön (kuten MAA3:ssa), merkitään saatua kulmaa y:llä (rad):
a) y = arcsin(a)
b) y = arcsin(b).

3. Nyt voi kirjoittaa 1-kohdan yhtälön muodossa...
a) sin(x) = sin(y)
b) cos(x) = cos(y).

4. ... ja voit kirjoittaa ratkaisut MAOL:in kaavojen avulla:
a) x = y + n*2*pi tai x = pi - x + n*2*pi
b) x = y + n*2*pi tai x = -y + n*2*pi

HUOM! Jos x:n paikalla on esim. 3x, niin jaa koko yhtälö kolmella vasta vaiheessa 2.

Sinin ja kosinin derivointi on helppoa verrattuna derivaatan nollakohtien laskemiseen. Nimittäin
D sin (x) = cos (x)
D cos (x) = - sin (x)

Lisäksi usein tarvitaan sisäfunktion, osamäärän ja kahden funktion tulon derivaatta-kaavoja:
D f (g(x)) = f' (g(x)) g'(x)
D f/g = (f'g - g'f)/g^2
D fg = f'g + fg'

_{t. Pete}

Linkkejä

2021-10-14T08:49:00+03:00

Videoat aukeavat uuteen ikkunaan:
- kirjan teht. 171, sin- ja cos-yhtälöitä (c-kohdassa -5/3 on tietysti -1,60 eikä .1,67..)
- 178, sin- ja cos-yhtälöitä
- 179, sin- ja cos-yhtälöitä
- 235, sincos-derivaatat
- 247, 258 sincos-derivaatat ja tangentin yhtälö (sama Geogebralla).

Muita:
- opetus.tv luvut 5 ja 6 Sinin ja kosinin kuvaajat-demo
- parametrien k ja a vaikutuksesta funktion f (x) = sin (kx) kuvaajaan

Vanhan OPSin tehtäviä sin/cos-yhtälöistä:

Kirjan teht. 308a, 309a ja 311:
&lt;p&gt; Cannot display this embedded content because your browser does not support iframes. &lt;/p&gt;