Esimerkin 1 ratkaisu

2023-02-16T14:07:08+02:00

Hilan läpi johdetaan valoa valkoisesta ledistä. Hilassa on 300 rakoa/mm. Kuinka leveänä valon spektri näkyy ensimmäisen sivumaksimin kohdalla, kun varjostin on 3,22 metrin päässä hilasta?

Ratkaisu

On selvitettävä, mihin kulmiin spektrin ääripäitä (punainen ja violetti) vastaavat aallonpituudet muodostavat sivumaksiminsa. Hilayhtälön mukaan [[$d\sin\theta=k\lambda$]], missä [[$d$]] on hilavakio, [[$\theta$]] kulma, johon sivumaksimi muodostuu, [[$k$]] sivumaksimin järjestysluku ja [[$\lambda$]] valon aallonpituus. Yhtälöstä voidaan ratkaista kulma.

[[$\quad \begin{align}d\sin\theta&=k\lambda \\ \ \\ \theta &= \arcsin \dfrac{k\lambda}{d}\end{align}$]]

Sijoitetaan lukuarvot. Nyt [[$k=1$]], ja punaisimmalle valolle [[$\lambda=700\text{ nm}$]] (violeteimmalle [[$\lambda=400\text{ nm}$]]). Lasketaan ensin kulma punaisimmalle valolle.

[[$\quad\theta_\text{P}= \arcsin \dfrac{1\cdot 700\cdot 10^{-9}\text{ m}}{\dfrac{1}{300\ 000}\text{ m}}=12{,}1223\dots^\circ\approx12{,}122^\circ$]]

Lasketaan sitten kulma violeteimmalle valolle.

[[$\quad \theta_\text{V} = \arcsin \dfrac{1\cdot 400\cdot 10^{-9}\text{ m}}{\dfrac{1}{300\ 000}\text{ m}}=6{,}89210\dots^\circ\approx 6{,}8921^\circ$]]

Näistä voidaan laskea punaisimman ja violeteimman maksimin etäisyys (spektrin leveys): lasketaan trigonometrialla molempien värien maksimin sijainti, ja vähennetään ne toisistaan. Lasketaan ensin punaisimman valon maksimin sijainti.

[[$\quad x_\text{P}=l\tan\theta_\text{P}=3{,}22\text{ m}\cdot\tan 12{,}122^\circ=0{,}69160\dots\text{m}\approx0{,}6916\text{ m}$]]

Lasketaan sitten violeteimman valon maksimin sijainti.

[[$\quad x_\text{V}=l\tan\theta_\text{V}=3{,}22\text{ m}\cdot\tan 6{,}8921^\circ=0{,}38921\dots\text{m}\approx0{,}3892\text{ m}$]]

Maksimien etäisyys, eli spektrin leveys varjostimella on [[$0{,}6916\text{ m}-0{,}3892\text{ m}=0{,}3024\text{ m}\approx 30{,}2\text{ cm}$]].

Valon spektri näkyy n. 30,2 cm leveänä.

Takaisin

Esimerkin 2 ratkaisu

2023-02-16T14:19:43+02:00

Auringonsäde saapuu kruunulasiseen prismaan kuvan mukaisesti. Laske erot kulmissa, joihin näkyvän valon spektrin ääripäät taittuvat (kuvassa [[$\alpha$]] ja [[$\beta$]], kuvassa on liioiteltu eroja eri aallonpituuksien taittumisessa). Prisma on muodoltaan tasasivuinen kolmio.

Ratkaisu

Lasketaan ensin kulma, johon punainen valo taittuu. Taittumislaki valolle on [[$\dfrac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}=\dfrac{n_2}{n_1}$]], missä [[$\alpha_1$]] on tulokulma, [[$\alpha_2$]] on taitekulma sekä [[$n_1$]] ja [[$n_2$]] ovat taitekertoimet ennen ja jälkeen rajapinnan. Nyt [[$\alpha_1=90^\circ-39^\circ=51^\circ$]] ja taitekertoimet (MAOLista punaisimmalle löytyvälle valolle, 760,8 nm) ovat [[$n_1=1{,}000$]] ja [[$n_2=1{,}505$]]. Taitekulma voidaan ratkaista taittumislaista.

[[$ \quad\begin{align} \dfrac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}&=\dfrac{n_2}{n_1} \\ \ \ \alpha_2&=\arcsin\dfrac{n_1\sin\alpha_1}{n_2}\end{align}$]]

Sijoitetaan lukuarvot.

[[$ \quad \alpha_2=\arcsin\dfrac{1{,}000\cdot\sin 51^\circ}{1{,}505}=31{,}0894\dots^\circ\approx 31{,}089^\circ$]]

Tämä on siis punaisimman valon taitekulma sen mennessä sisään prismaan. Geometrialla saadaan tästä pääteltyä tulokulma valon tullessa rajapinnalle prismasta ulos.

[[$\quad \gamma=90^\circ-31{,}089^\circ=58{,}911^\circ$]]

Prisman huippukulma on 60°, koska prisma oli tasasivuisen kolmion muotoinen.

[[$\quad \delta=180^\circ-60^\circ-58{,}911^\circ=61{,}089^\circ$]]

Tulokulma ulkorajapintaan on siis [[$90^\circ-61{,}089^\circ=28{,}911^\circ$]]. Nyt voidaan laskea taitekulma poistuttaessa prismasta, jälleen taittumislailla. Tässä rajapinnassa taitekertoimet ovat päinvastoin kuin valon tullessa prismaan sisään.

[[$\quad \alpha_2=\arcsin\dfrac{n_2\sin\alpha_1}{n_1}=\arcsin\dfrac{1{,}505\cdot\sin 28{,}911^\circ}{1{,}000}=46{,}684\dots^\circ\approx 46{,}68^\circ$]]

Tämä on taitekulma, eli prisman ulkopinnan normaalin ja poistuvan valonsäteen välinen kulma. Kulman arvo on erisuuri kuin sisään tulleen valonsäteen ja ulosmenevän valonsäteen välinen kulma (kuvassa [[$\alpha$]]), mutta tutkittaessa taittumiskulmien eroja tällä ei ole merkitystä.

Toistetaan seuraavaksi sama lasku violeteimmalle MAOLista löytyvälle valolle, jolle (396,8 nm) [[$n_2=1{,}525$]] Lasketaan taitekulma sisäänmenopinnalla.

[[$\quad \alpha_2=\arcsin\dfrac{1{,}000\cdot\sin 51^\circ}{1{,}525}=30{,}6374\dots^\circ\approx 30{,}637^\circ$]]

Lasketaan seuraavaksi tulokulmaksi ulosmenopinnalla.

[[$\quad \alpha_1=90^\circ-\left(180^\circ-60^\circ-\left(90^\circ-30{,}637^\circ\right)\right)=29{,}363^\circ$]]

Lopulta saadaan laskettua taitekulma ulosmenopinnalla.

[[$\quad \alpha_2=\arcsin\dfrac{n_2\sin\alpha_1}{n_1}=\arcsin\dfrac{1{,}525\cdot\sin 29{,}363^\circ}{1{,}000}=48{,}397\dots^\circ\approx 48{,}40^\circ$]]

Punaisimman ja violeteimman valon taitekulmien erotus on [[$48{,}40^\circ-46{,}68^\circ=1{,}72^\circ\approx 1{,}7^\circ$]]. Tämän verran spektrin ääripäitä vastaavien värien taittumissuunnat eroavat toisistaan.

Näkyvän valon spektrin ääripäiden taittumissuunnissa on n. 1,7° ero.

Takaisin

Esimerkkien ratkaisut

Esimerkin 1 ratkaisu

Esimerkin 2 ratkaisu