Esimerkin 1 ratkaisu

2023-01-27T12:13:10+02:00

Laservalon aallonpituus on 632 nm. Valo ohjataan kaksoisrakoon. Varjostimella 2,2 metrin etäisyydellä havaitaan 5. intensiteettimaksimin etäisyydeksi 34 cm päämaksimista.

Kuinka suuri on rakojen välimatka?
Kuinka kaukana päämaksimista on 10. sivumaksimi?

Ratkaisu

a. Jotta voitaisiin ratkaista hilavakio [[$d$]] hilayhtälöstä [[$d\sin\theta=k\lambda$]], on tiedettävä aallonpituuden lisäksi jokin maksimi ja sitä vastaava kulma. Annetuista tiedoista saadaan laskettua 5. maksimin (eli k=5) suuntakulma.

Suuntakulma saadaan trigonometrialla:

[[$ \quad \tan \theta = \dfrac{x}{l} \ \ \Rightarrow \ \ \theta = \arctan \dfrac{x}{l} $]]

[[$ x $]] = 0,34 m ja [[$ l $]] = 2,2 m, joten

[[$ \quad \theta = 8,7852987\dots^\circ\approx 8,7853^\circ $]]

Nyt hilayhtälöstä saadaan

[[$ \quad d\sin \theta = k\lambda \ \ \Rightarrow \ \ d=\dfrac{k\lambda}{\sin \theta} $]]

Sijoitetaan lukuarvot: [[$k=5$]], [[$ \lambda= 632\cdot 10^{-9} \textrm{ m}$]] ja [[$ \theta = 8,7853^{\circ}$]]. Saadaan

[[$ \quad d=\dfrac{5\cdot 632\cdot 10^{-9}\text{ m}}{\sin 8,7853^\circ} = 2,0689\dotso\cdot 10^{-5} \textrm{ m}\approx 21 \textrm{ $\mu$m} $]]

Rakojen välimatka on n. 21 μm.

b. Nyt on ratkaistava hilayhtälöstä kulma käyttäen a-kohdan hilavakiota. Saadaan

[[$ \quad d\sin \theta = k\lambda \ \ \Rightarrow \ \ \sin \theta=\dfrac{k\lambda}{d} \ \ \Rightarrow \ \ \theta = \arcsin\dfrac{k\lambda}{d} $]]

Sijoitetaan lukuarvot: [[$k=10 $]], [[$ \lambda = 632\cdot 10^{-9} \textrm{ m} $]] ja [[$d=2,069\cdot 10^{-5} \textrm{ m} $]]

[[$ \quad \theta = \arcsin\dfrac{10\cdot 632\cdot 10^{-9}\text{ m}}{2,069\cdot 10^{-5}\text{ m}}=17,78\dots^{\circ}\approx 17,8^\circ $]]

Nyt voidaan laskea trigonometrialla maksimin sijainti varjostimella.

[[$ \quad \tan \theta = \dfrac{y}{l} \ \ \Rightarrow \ \ y=l\cdot \tan \theta $]]

Sijoitetaan lukuarvot: [[$ l=2,2 \textrm{ m} $]] ja [[$ \theta = 17,8^{\circ} $]]

[[$ \quad y=2,2\text{ m}\cdot\tan 17,8^{\circ}=0,706\dots \textrm{m}\approx 71 \textrm{ cm} $]]

10. sivumaksimi on n. 71 cm:n päässä päämaksimista.

Takaisin

Esimerkin 2 ratkaisu

2023-01-10T12:03:35+02:00

Laservalo ohjataan hilaan, jossa on 300 rakoa/mm. Ensimmäinen intensiteettimaksimi muodostuu suuntaan 9,8°.

Mikä on laservalon aallonpituus?
Kuinka monta intensiteettimaksimia varjostimella voi muodostua?

Ratkaisu

a. Hilayhtälön mukaan

[[$ \quad d\sin \theta = k\lambda \ \ \Rightarrow \ \ \lambda = \dfrac{d\sin \theta}{k} $]]

Sijoitetaan lukuarvot: [[$ d=\dfrac{1}{300} \textrm{ mm}=\dfrac{1}{300000} \textrm{ m}$]], [[$ \theta = 9,8^{\circ} $]] ja [[$ \ k=1$]]

[[$ \quad \lambda =\dfrac{\dfrac{1}{300000} \textrm{ m}\cdot\sin 9,8^{\circ}}{1}=5,673\dotso\cdot 10^{-7} \textrm{ m}\approx 570 \textrm{ nm} $]]

Laservalon aallonpituus on n. 570 nm.

b. Suurin kulma, johon laservalo voi suuntautua on 90°.Hilayhtälön mukaan

[[$ \quad d\sin \theta = k\lambda \ \ \Rightarrow \ \ k = \dfrac{d\sin \theta}{\lambda} $]]

Sijoitetaan lukuarvot (aallonpituus saadaan a-kohdan vastauksesta): [[$ d=\dfrac{1}{300000} \textrm{ m} $]], [[$ \theta = 90^{\circ} $]] ja [[$ \lambda = 5,67\cdot 10^{-7} \textrm{ m} $]]

[[$ \quad k=\dfrac{\dfrac{1}{300000} \textrm{ m}\cdot\sin 90^{\circ}}{5,67\cdot 10^{-7} \textrm{ m}}= 5,8\dots $]]

[[$ k $]]:n kokonaisosa kertoo intensiteettimaksimien lukumäärän. Koska kokonaisosa on 5, on sivumaksimeja molemmin puolin päämaksimia 5 kappaletta. Intensiteettimaksimeja on yhteensä 11 kappaletta (1 päämaksimi ja 10 sivumaksimia).

Varjostimella voi muodostua 11 intensiteettimaksimia.

Takaisin

Esimerkkien ratkaisut

Esimerkin 1 ratkaisu

Esimerkin 2 ratkaisu