2.3 Eksponentin ratkaiseminen

Eksponenttiyhtälö ja logaritmi

2016-08-16T22:09:28+03:00

Esimerkkikysymykset

2018-05-05T10:12:35+03:00

1. Ratkaise yhtälö ilman laskinta:
[[$ \quad $]]a) [[$ 3^x=3^7 $]]
[[$ \quad $]]b) [[$ 3^{3x}=3^9 $]]
[[$ \quad $]]c) [[$ 3^3=9^x $]]

2. Päättele mitä on:
[[$ \quad $]] a) [[$ \log_24 $]]
[[$ \quad $]] b) neljäkantainen logaritmi luvusta 16

3. Ratkaise yhtälö logaritmia käyttäen, laskin apuna (ei solve-toiminnolla):
[[$ \quad $]]a) [[$ 3^x=3^7 $]]
[[$ \quad $]]b) [[$ 3^x=5 $]] (kahden desimaalin tarkkuudella!)
[[$ \quad $]]c) Lukion oppilasmäärä kasvaa 3% vuosittain. Monenko kokonaisen vuoden kuluttua oppilasmäärä on kaksinkertaistunut?

Ratkaisut esimerkkikysymyksiin

2017-08-18T08:31:23+03:00

1. a) [[$ x=7$]]

b) [[$ 3x=9 \\ x=3 \quad $]]

c) [[$ 3^3=(3^2)^x\\ 3^3=3^{2x}\\ 3=2x\\x=\frac{3}{2} $]]

2. a) "Mihin potenssiin luku 2 tulee korottaa, jotta vastaus olisi 4?" Vastaus on [[$ \log_24=2 $]]

b) "Mihin potenssiin luku 4 tulee korottaa, jotta vastaus olisi 16?" Vastaus on [[$ \log_4 16=2 $]]

3. a) [[$ x=\log_3 3^7=7 $]]
b) [[$ x=\log_3 5=1,46 $]]
c) Olkoon oppilasmäärä alussa A. Tällöin [[$$ 2A=A\cdot1,03^x \\ 2=1,03^x \\ x= \log_{1,03} 2=23,449... \approx 24\\ \text{(Huom! Pyöristys ylöspäin!)} $$]]

2.3 Eksponentin ratkaiseminen

2020-08-24T12:03:59+03:00

Eksponenttiyhtälössä tuntematon sijaitsee eksponentissa:

Esim. 1.

[[$ 2^x = 4 $]]

Ratkaisutapa 1:
Jos eksponenttiyhtälössä kantaluvut ovat samat, niin eksponenttienkin pitää olla samat:

Esim. 2.

[[$ 2^x=2^2 \\ x = 2 $]]

Esim. 3.

[[$$ 4^{2x+2}=4^6 \\ 2x+2 = 6 \\ 2x=4 \\ x = 2 $$]]

Kantaluvut eivät aina ole aluksi samat, mutta niitä voi muokata potenssien laskusääntöjen avulla:

Esim. 4.
[[$$ 2^{5x}=4^{10} \\ 2^{5x}=(2^2)^{10} \\ 2^{5x}=2^{20} \\ 5x=20 \\x=4 $$]]

Ratkaisutapa 2.
Eksponenttiyhtälö voidaan ratkaista myös logaritmin avulla:

Esim. 6. [[$$ 2^x = 4 \\ x = \log_2 4 =2 $$]]

Merkintä [[$ \log_2 4 $]] luetaan: "2-kantainen logaritmi luvusta 4" ja se on vastaus kysymykseen: "Mihin potenssiin luku 2 pitää korottaa, että saadaan tulokseksi luku 4?"

Speedcrunch-laskimessa saadaan näin: log(2;4)

Kun kantalukuja ei saada samaksi, logaritmi on ainoa ratkaisutapa (syötä laskimeen log(2;3)):

Esim. 7.[[$$ 2^x=3 \\ x = \log_2 3 \approx $$]]
(syötä laskimeen log(2;3))