https://peda.net/id/df2d54041be 2019-12-11T10:11:45+02:00 https://peda.net/:static/535/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/d8dce8d21bf 2019-12-11T11:44:38+02:00 a)<br/> pienin arvo 0<br/> suurin arvo 1,91<br/> b)<br/> funktio saa pienimmän ja suurimman arvon suljetulla välillä välin päätepisteissä tai derivaattafunktion nollakohdissa<br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%2B%5Csin2x" alt="f\left(x\right)=x+\sin2x"/></div> <div>välillä<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft%5B0%7B%2C%7D%5Cfrac%7B3%5Cpi%7D%7B4%7D%5Cright%5D" alt="\left[0{,}\frac{3\pi}{4}\right]"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--></div> <div class="messagesWrapper-3lZDfY"> <div class="scrollerWrap-2lJEkd firefoxFixScrollFlex-cnI2ix scrollerWrap-2su1QI scrollerThemed-2oenus themedWithTrack-q8E3vB"> <div class="scroller-2FKFPG firefoxFixScrollFlex-cnI2ix systemPad-3UxEGl messages-3amgkR privateChannelMessages-3f72E-"> <div class="containerCozyBounded-1rKFAn containerCozy-jafyvG container-1YxwTf"> <div class="" aria-disabled="false"> <div class="contentCozy-3XX413 content-3dzVd8"> <div class="containerCozy-336-Cz container-206Blv"> <div class="markup-2BOw-j"> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </div> <div class="channelTextArea-rNsIhG channelTextAreaEnabled-iusU9o channelTextArea-1LDbYG"> <div class="scrollableContainer-38zsVD webkit-26NYEN"> <div class="innerEnabled-3g80kR inner-zqa7da"> <div class="textAreaEnabled-3vQ5WZ textArea-2Spzkt textArea-2Spzkt slateContainer-3rqVBl"> <div class="markup-2BOw-j slateTextArea-1bp44y" aria-label="Message @ICARUS.EXE" aria-multiline="true"><!--filtered attribute: data-slate-editor="true"--><!--filtered attribute: data-key="149"--><!--filtered attribute: data-gramm="false"--> </div> </div> </div> </div> </div> <br/> <div> </div> 2019-12-11T11:44:38+02:00 https://peda.net/id/245931281bf 2019-12-11T11:32:25+02:00 a)<br/> <div>funktion <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Csin%20x-%5Ccos%20x" alt="f\left(x\right)=\sin x-\cos x"/> suurin ja pienin arvo välillä [0,2π]</div> <div> </div> <div>suurin ja pienin arvo voidaan saavuttaa välin päätepisteissä tai derivaattafunktion nollakohdissa</div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(0%5Cright)%3D-1" alt="f\left(0\right)=-1"/><br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(2%5Cpi%5Cright)%3D-1" alt="f\left(2\pi\right)=-1"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Ccos%20x%2B%5Csin%20x" alt="f'\left(x\right)=\cos x+\sin x"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Ccos%20x%3D-%5Csin%20x" alt="\cos x=-\sin x"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csin%20x%3D-%5Ccos%20x" alt="\sin x=-\cos x"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7B%5Ccos%20x%7D%3D-1" alt="\frac{\sin x}{\cos x}=-1"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Ctan%20x%3D-1" alt="\tan x=-1"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B3%5Cpi%7D%7B4%7D%2Bn%5Ccdot%5Cpi%7B%2C%7D%5C%20n%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D" alt="x=\frac{3\pi}{4}+n\cdot\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}"/></div> <div>nollakohdista välillä [0,2π] ovat <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B3%5Cpi%7D%7B4%7D%7B%2C%7D%5C%20%5Cfrac%7B7%5Cpi%7D%7B4%7D" alt="\frac{3\pi}{4}{,}\ \frac{7\pi}{4}"/></div> <div>funktion arvot derivaattafunktion nollakohdissa</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(%5Cfrac%7B3%5Cpi%7D%7B4%7D%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D-%5Cleft(-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%5Cright)%3D%5Csqrt%7B2%7D" alt="f\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}-\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(%5Cfrac%7B7%5Cpi%7D%7B4%7D%5Cright)%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%3D-%5Csqrt%7B2%7D" alt="f\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}"/><br/> <div>suurin arvo <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%7B2%7D" alt="\sqrt{2}"/></div> <div>pienin arvo <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-%5Csqrt%7B2%7D" alt="-\sqrt{2}"/></div> <br/> b)<br/> jaksollisen funktion f jakso on 2π</div> koko määrittelyjoukossa riittää selvittää jakson suuruisen välin suurin ja pienin arvo<br/> a-kohdassa<br/> <br/> <div>suurin arvo <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%7B2%7D" alt="\sqrt{2}"/></div> <div>pienin arvo <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-%5Csqrt%7B2%7D" alt="-\sqrt{2}"/></div> 2019-12-11T11:32:25+02:00 https://peda.net/id/e917790a1bf 2019-12-11T11:16:27+02:00 A2<br/> B1<br/> C3 2019-12-11T11:16:27+02:00 https://peda.net/id/aa9650201bf 2019-12-11T11:14:42+02:00 <div>Osoita, että <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x-%5Csin%20x%3D5" alt="x-\sin x=5"/> on täsmälleen yksi ratkaisu</div> <div> </div> <div>Bolzanon lause:</div> <div>funktiolla on ainakin yksi nollakohta avoimella välillä ]a,b[, jos</div> <div>funktio on jatkuva suljetulla välillä [a,b]</div> <div>funktion arvot välin päätepisteissä ovat erimerkkiset</div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x-%5Csin%20x%3D5" alt="x-\sin x=5"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x-%5Csin%20x-5%3D0" alt="x-\sin x-5=0"/></div> <div>tutkitaan funktiota <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx-%5Csin%20x-5" alt="f\left(x\right)=x-\sin x-5"/></div> <div>yhtälöllä <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x-%5Csin%20x%3D5%5C%20" alt="x-\sin x=5\ "/> jos funktiolla <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)" alt="f\left(x\right)"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--> on täsmälleen yksi nollakohta</div> <div> </div> <div>Katsotaan Bolzanon lauseen avulla onko funktiolla yhtään nollakohtaa esimerkkivälillä ]π, 2π[</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(%5Cpi%5Cright)%3D%5Cpi-5%3C0" alt="f\left(\pi\right)=\pi-5&lt;0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(2%5Cpi%5Cright)%3D2%5Cpi-5%3E0" alt="f\left(2\pi\right)=2\pi-5&gt;0"/></div> <div>funktiolla on siis ainakin yksi nollakohta</div> <div>tutkitaan funktion monotonisuutta</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(x%5Cright)%3D1-%5Ccos%20x" alt="f'\left(x\right)=1-\cos x"/></div> <div>koska <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-1%5Cle%5Ccos%20x%5Cle1" alt="-1\le\cos x\le1"/>, niin <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(x%5Cright)%5Cge0" alt="f'\left(x\right)\ge0"/>, joten funktio on kasvava</div> <div>kasvavalla funktiolla voi olla korkeintaan 1 nollakohta</div> <div>funktiolla <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)" alt="f\left(x\right)"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--> on toisaalta ainakin yksi 1 nollakohta</div> <div>nollakohtia on tasan 1<br/> myös yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu</div> 2019-12-11T11:14:42+02:00