1.2 Rationaaliyhtälö ja -epäyhtälö
https://peda.net/id/deaf4648dde
2019-09-23T12:52:35+03:00
https://peda.net/:static/535/peda.net.logo.bg.svg
<div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div>
124
https://peda.net/id/e62c05c6df6
2019-09-25T09:53:09+03:00
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=m%C3%A4%C3%A4rittelyehto%3A%5C%20x-3%5Cne0" alt="määrittelyehto:\ x-3\ne0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5Cne3" alt="x\ne3"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"-->
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nollakohdat%3A%5C%204-x%5E2%3D0" alt="nollakohdat:\ 4-x^2=0"/></div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%3D4" alt="x^2=4"/><br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-2%5C%20tai%5C%202" alt="x=-2\ tai\ 2"/></div>
<div>b)</div>
<div><a href="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/maa6p-derivaatta/1rje/124/sieppaa-png#top" title="Sieppaa.PNG"><img src="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/maa6p-derivaatta/1rje/124/sieppaa-png:file/photo/91567070cab58e8c948384259e6adbf9367c852e/Sieppaa.PNG" alt="" title="Sieppaa.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a></div>
<div>merkkikaavio:</div>
<div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%26%26-2%26%262%26%263%26%5C%5C%0A4-x%5E2%26-%26%26%2B%26%26-%26%26-%5C%5C%0Ax-3%26-%26%26-%26%26-%26%26%2B%5C%5C%0A%5Cfrac%7B4-x%5E2%7D%7Bx-3%7D%26%2B%26%26-%26%26%2B%26%26-%0A%5Cend%7Bmatrix%7D" alt="\begin{matrix} &&-2&&2&&3&\\ 4-x^2&-&&+&&-&&-\\ x-3&-&&-&&-&&+\\ \frac{4-x^2}{x-3}&+&&-&&+&&- \end{matrix}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%5C%20on%5C%20positiivinen%5C%20kun%5C%20x%3C-2%5C%20tai%5C%202%3Cx%3C3" alt="f\left(x\right)\ on\ positiivinen\ kun\ x<-2\ tai\ 2<x<3"/></div>
</div>
2019-09-25T09:51:28+03:00
135
https://peda.net/id/ca3b85a4df5
2019-09-25T09:43:55+03:00
a) tosi, etumerkin muutos voi tapahtua myös määrittelemättömän kohdan eri puolilla<br/>
b) epätosi, nollakohdassa y=0
2019-09-25T09:43:31+03:00
133
https://peda.net/id/52e60006df5
2019-09-25T09:41:45+03:00
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%2Bx%3E0" alt="\frac{1}{x^2}+x>0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7Bx%5E2%2B1%7D%3E0" alt="\frac{x+1}{x^2+1}>0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%3E0" alt="\frac{1}{x}>0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=m%C3%A4%C3%A4rittelyehto%3A%5C%20x%5Cne0" alt="määrittelyehto:\ x\ne0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nollakohtia%5C%20ei%5C%20ole" alt="nollakohtia\ ei\ ole"/><br/>
<div> </div>
<div><a href="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/maa6p-derivaatta/1rje/133/sieppaa-png#top" title="Sieppaa.PNG"><img src="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/maa6p-derivaatta/1rje/133/sieppaa-png:file/photo/f1c463d43be959954da21d5d3031eb2420e683e9/Sieppaa.PNG" alt="" title="Sieppaa.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a><br/>
<br/>
merkkikaavio<br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%26%260%26%5C%5C%0A1%26%2B%26%26%2B%5C%5C%0Ax%26-%26%26%2B%5C%5C%0A%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%26-%26%26%2B%0A%5Cend%7Bmatrix%7D" alt="\begin{matrix} &&0&\\ 1&+&&+\\ x&-&&+\\ \frac{1}{x}&-&&+ \end{matrix}"/></div>
<div><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%2Bx%3E0%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x%3E0" alt="\frac{1}{x^2}+x>0{,}\ kun\ x>0"/></div>
</div>
2019-09-25T09:40:11+03:00
131
https://peda.net/id/c25c4108df5
2019-09-25T09:36:09+03:00
a)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-1%7D" alt="f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}"/><br/>
b)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7Bx-2%7D%7Bx-1%7D" alt="f\left(x\right)=\frac{x-2}{x-1}"/>
2019-09-25T09:36:09+03:00
129
https://peda.net/id/6cd15558df5
2019-09-25T09:31:30+03:00
a)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=m%C3%A4%C3%A4rittelyehto%3A%5C%20x%5E2-4%5Cne0" alt="määrittelyehto:\ x^2-4\ne0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%5Cne4" alt="x^2\ne4"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5Cne2%5C%20tai%5C%20x%5Cne-2" alt="x\ne2\ tai\ x\ne-2"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nollakohdat%3A%5C%203x-6%3D0" alt="nollakohdat:\ 3x-6=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x%3D6" alt="3x=6"/><br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D2%7B%2C%7D%5C%20sivuutetaan%5C%20koska%5C%20m%C3%A4%C3%A4rittelyehto" alt="x=2{,}\ sivuutetaan\ koska\ määrittelyehto"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--><br/>
<br/>
<a href="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/maa6p-derivaatta/1rje/129/sieppaa-png3#top" title="Sieppaa.PNG"><img src="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/maa6p-derivaatta/1rje/129/sieppaa-png3:file/photo/b1fbc15452617af6781e37412a6ed5a4584ebbdc/Sieppaa.PNG" alt="" title="Sieppaa.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=merkkikaavio" alt="merkkikaavio"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%26%26-2%26%262%26%5C%5C%0Ax%5E2-4%26%2B%26%26-%26%26%2B%5C%5C%0A3x-6%26-%26%26-%26%26%2B%5C%5C%0A%5Cfrac%7B3x-6%7D%7Bx%5E2-4%7D%26-%26%26%2B%26%26%2B%0A%5Cend%7Bmatrix%7D" alt="\begin{matrix} &&-2&&2&\\ x^2-4&+&&-&&+\\ 3x-6&-&&-&&+\\ \frac{3x-6}{x^2-4}&-&&+&&+ \end{matrix}"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=piirret%C3%A4%C3%A4n%5C%20kuvaaja" alt="piirretään\ kuvaaja"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--></div>
<a href="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/maa6p-derivaatta/1rje/129/sieppaa-png#top" title="Sieppaa.PNG"><img src="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/maa6p-derivaatta/1rje/129/sieppaa-png:file/photo/4537a8997d6460717ddd87007b87a1e1972ed19d/Sieppaa.PNG" alt="" title="Sieppaa.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a><br/>
b)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=m%C3%A4%C3%A4rittelyehto%3A%5C%201-2x%5Cne0" alt="määrittelyehto:\ 1-2x\ne0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5Cne%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D" alt="x\ne\frac{1}{2}"/><br/>
<div>muokataan epäyhtälöä</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7Bx%7D%7B1-2x%7D%3C1" alt="\frac{x}{1-2x}<1"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7Bx%7D%7B1-2x%7D-%5Cfrac%7B1-2x%7D%7B1-2x%7D%3C0" alt="\frac{x}{1-2x}-\frac{1-2x}{1-2x}<0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7Bx-%5Cleft(1-2x%5Cright)%7D%7B1-2x%7D%3C0" alt="\frac{x-\left(1-2x\right)}{1-2x}<0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B3x-1%7D%7B1-2x%7D%3C0" alt="\frac{3x-1}{1-2x}<0"/><br/>
nollakohdat:<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x-1%3D0" alt="3x-1=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D" alt="x=\frac{1}{3}"/><br/>
<br/>
<a href="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/maa6p-derivaatta/1rje/129/sieppaa-png9#top" title="Sieppaa.PNG"><img src="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/maa6p-derivaatta/1rje/129/sieppaa-png9:file/photo/aea60afd4cce37a13ba5e0c8835516bb33b2801c/Sieppaa.PNG" alt="" title="Sieppaa.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a></div>
<div>merkkikaaviolol:</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%26%26%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%26%26%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%26%5C%5C%0A3x-1%26-%26%26-%26%26%2B%5C%5C%0A1-2x%26%2B%26%26-%26%26-%5C%5C%0A%5Cfrac%7B3x-1%7D%7B1-2x%7D%26-%26%26%2B%26%26-%0A%5Cend%7Bmatrix%7D" alt="\begin{matrix} &&\frac{1}{2}&&\frac{1}{3}&\\ 3x-1&-&&-&&+\\ 1-2x&+&&-&&-\\ \frac{3x-1}{1-2x}&-&&+&&- \end{matrix}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7Bx%7D%7B1-2x%7D%3C1%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dtai%5C%20x%3E%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D" alt="\frac{x}{1-2x}<1{,}\ kun\ x<\frac{1}{2}tai\ x>\frac{1}{3}"/></div>
2019-09-25T08:50:48+03:00
125
https://peda.net/id/3f4d99ccddf
2019-09-23T14:14:02+03:00
a)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B7x-3%7D%7B2x%2B3%7D%3D0" alt="\frac{7x-3}{2x+3}=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=7x-3%3D0%7B%2C%7D%5C%20x%5Cne-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D" alt="7x-3=0{,}\ x\ne-\frac{3}{2}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B7%7D%7B3%7D" alt="x=\frac{7}{3}"/><br/>
b)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7Bx%5E2-1%7D%7B1-x%7D%3D0" alt="\frac{x^2-1}{1-x}=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2-1%3D0%7B%2C%7D%5C%20x%5Cne1" alt="x^2-1=0{,}\ x\ne1"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%3D1" alt="x^2=1"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D1%5C%20tai%5C%20-1" alt="x=1\ tai\ -1"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-1%7B%2C%7D%5C%20koska%5C%20x%5Cne1" alt="x=-1{,}\ koska\ x\ne1"/>
2019-09-23T14:14:02+03:00
123
https://peda.net/id/93cbde8eddf
2019-09-23T14:10:35+03:00
a)<br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1-x%7D%7Bx-2%7D" alt="f\left(x\right)=\frac{1-x}{x-2}"/></div>
<div>määrittelyehto: <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5Cne2" alt="x\ne2"/></div>
<div>nollakohta: <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1-x%3D0" alt="1-x=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-x%3D-1" alt="-x=-1"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D1" alt="x=1"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--></div>
<div>b)<br/>
<a href="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/maa6p-derivaatta/1rje/123/sieppaa-png#top" title="Sieppaa.PNG"><img src="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/maa6p-derivaatta/1rje/123/sieppaa-png:file/photo/1dfd397080848df4fe1d986e25be6e15bcdf2543/Sieppaa.PNG" alt="" title="Sieppaa.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%26%261%26%262%26%5C%5C%0A1-x%26%2B%26%26-%26%26-%5C%5C%0Ax-2%26-%26%26-%26%26%2B%5C%5C%0A%5Cfrac%7B1-x%7D%7Bx-2%7D%26-%26%26%2B%26%26-%0A%5Cend%7Bmatrix%7D" alt="\begin{matrix} &&1&&2&\\ 1-x&+&&-&&-\\ x-2&-&&-&&+\\ \frac{1-x}{x-2}&-&&+&&- \end{matrix}"/><br/>
c)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=funktion%5C%20arvo%5C%20on%5C%20positiivinen%5C%20v%C3%A4lill%C3%A4%5C%201%3Cx%3C2" alt="funktion\ arvo\ on\ positiivinen\ välillä\ 1<x<2"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=funktion%5C%20arvo%5C%20on%5C%20negatiivinen%5C%20kun%5C%20x%3C1%5C%20tai%5C%202%3Cx" alt="funktion\ arvo\ on\ negatiivinen\ kun\ x<1\ tai\ 2<x"/><br/>
<br/>
d)<br/>
<a href="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/maa6p-derivaatta/1rje/123/sieppaa-png2#top" title="Sieppaa.PNG"><img src="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/maa6p-derivaatta/1rje/123/sieppaa-png2:file/photo/0192c6495d9200988704c11eb64aa98ad6a41751/Sieppaa.PNG" alt="" title="Sieppaa.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a></div>
2019-09-23T14:02:04+03:00
122
https://peda.net/id/cfa6cd30dde
2019-09-23T13:49:26+03:00
a)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=m%C3%A4%C3%A4rittelyehto%3A%5C%20x%5Cne-3" alt="määrittelyehto:\ x\ne-3"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nollakohta%3A" alt="nollakohta:"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x-5%3D0" alt="3x-5=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x%3D5" alt="3x=5"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D" alt="x=\frac{3}{5}"/><br/>
b)<br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=funktio%5C%20on%5C%20positiivinen%5C%20kun%5C%20x%3E%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D" alt="funktio\ on\ positiivinen\ kun\ x>\frac{5}{3}"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=funktio%5C%20on%5C%20negatiivinen%5C%20kun%5C%20x%3C%5C%20%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D" alt="funktio\ on\ negatiivinen\ kun\ x<\ \frac{5}{3}"/></div>
2019-09-23T13:49:26+03:00