MAA2 Polynomifunktiot ja yhtälöt
https://peda.net/id/d9ddfe56bbf
2018-09-19T13:36:22+03:00
https://peda.net/:static/535/peda.net.logo.bg.svg
<div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div>
Teksti
https://peda.net/id/316c61d0d9e
2018-10-27T17:24:46+03:00
403<br/>
a)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E3%3D-125%5C%20%5Cparallel%5Csqrt%5B3%5D%7B%7D" alt="x^3=-125\ \parallel\sqrt[3]{}"/><br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-125%7D" alt="x=\sqrt[3]{-125}"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-125%3D-5%5Ccdot%5Cleft(-5%5Cright)%5Ccdot%5Cleft(-5%5Cright)%3D%5Cleft(-5%5Cright)%5E3" alt="-125=-5\cdot\left(-5\right)\cdot\left(-5\right)=\left(-5\right)^3"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-5" alt="x=-5"/><br/>
b)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=4x%5E5%3D972%5C%20%5Cparallel%3A4" alt="4x^5=972\ \parallel:4"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E5%3D243%5C%20%5Cparallel%5Csqrt%5B5%5D%7B%7D" alt="x^5=243\ \parallel\sqrt[5]{}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D3" alt="x=3"/><br/>
c)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E3%3D0%5C%20%5Cparallel%5Csqrt%5B3%5D%7B%7D" alt="x^3=0\ \parallel\sqrt[3]{}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D0" alt="x=0"/><br/>
d)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E8%3D1%5C%20%5Cparallel%5Csqrt%5B8%5D%7B%7D" alt="x^8=1\ \parallel\sqrt[8]{}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D1" alt="x=1"/><br/>
e)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%5E4-2%3D4800%5C%20%5Cparallel%3A2" alt="2x^4-2=4800\ \parallel:2"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E4-1%3D2400" alt="x^4-1=2400"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E4%3D2401%5Cparallel%5Csqrt%5B4%5D%7B%7D" alt="x^4=2401\parallel\sqrt[4]{}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D7" alt="x=7"/><br/>
f)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x%5E8%2B123%3D0" alt="3x^8+123=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x%5E8%3D-123%5C%20%5Cparallel%3A3" alt="3x^8=-123\ \parallel:3"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E8%3D-41%5C%20%5Cparallel%5Csqrt%5B8%5D%7B%7D" alt="x^8=-41\ \parallel\sqrt[8]{}"/><br/>
<div>negatiivisesta luvusta ei voi ottaa parillista juurta, juurta ei ole</div>
<div> </div>
</div>
<br/>
<br/>
438<br/>
a)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E4-8x%3D0" alt="x^4-8x=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5Cleft(x%5E3-8%5Cright)%3D0" alt="x\left(x^3-8\right)=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D0%5C%20tai" alt="x=0\ tai"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E3-8%3D0" alt="x^3-8=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E3%3D8%5C%20%5Cparallel%5Csqrt%5B3%5D%7B%7D" alt="x^3=8\ \parallel\sqrt[3]{}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D2" alt="x=2"/><br/>
b)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x%5E6%3D30x%5E3" alt="3x^6=30x^3"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x%5E6-30x%5E3%3D0" alt="3x^6-30x^3=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x%5E3%5Cleft(x%5E3-10%5Cright)%3D0" alt="3x^3\left(x^3-10\right)=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x%5E3%3D0" alt="3x^3=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D0%5C%20tai%5C%20x%5E3-10%3D0" alt="x=0\ tai\ x^3-10=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E3%3D10%5C%20%5Cparallel%5Csqrt%5B3%5D%7B%7D" alt="x^3=10\ \parallel\sqrt[3]{}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B10%7D" alt="x=\sqrt[3]{10}"/><br/>
c)<br/>
<br/>
<div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E4%3Dx%5E2%5Cleft(3-4x%5Cright)" alt="x^4=x^2\left(3-4x\right)"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E4%2B4x%5E3-3x%5E2%3D0" alt="x^4+4x^3-3x^2=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%5Cleft(x%5E2%2B4x-3%5Cright)%3D0" alt="x^2\left(x^2+4x-3\right)=0"/></div>
<div>tulon nollasääntö<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%3D0" alt="x^2=0"/><br/>
tai</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%2B4x-3%3D0" alt="x^2+4x-3=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D%3D%5Cfrac%7B-4%5Cpm%5Csqrt%7B4%5E2-4%5Ccdot1%5Ccdot%5Cleft(-3%5Cright)%7D%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B-4%5Cpm%5Csqrt%7B28%7D%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B-4%5Cpm%5Csqrt%7B4%2B7%7D%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B-4%5Cpm2%5Csqrt%7B7%7D%7D%7B2%7D%3D-2%2B%5Csqrt%7B7%7D%5C%20tai-2-%5Csqrt%7B7%7D" alt="x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot\left(-3\right)}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{28}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{4+7}}{2}=\frac{-4\pm2\sqrt{7}}{2}=-2+\sqrt{7}\ tai-2-\sqrt{7}"/></div>
d)<br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E5-9x%5E3%2Bx%5E2-9%3D0" alt="x^5-9x^3+x^2-9=0"/></div>
<div>jaetaan kahteen ryhmään ja pyritään löytämään yhteinen tekijä</div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(x%5E5-9x%5E3%5Cright)%2B%5Cleft(x%5E2-9%5Cright)%3D0" alt="\left(x^5-9x^3\right)+\left(x^2-9\right)=0"/><br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E3%5Cleft(x%5E2-9%5Cright)%2B%5Cleft(x%5E2-9%5Cright)%3D0" alt="x^3\left(x^2-9\right)+\left(x^2-9\right)=0"/></div>
<div>löytyi yhteinen tekijä x^2-9</div>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(x%5E2-9%5Cright)%5Cleft(x%5E3%2B1%5Cright)%3D0" alt="\left(x^2-9\right)\left(x^3+1\right)=0"/><br/>
<div>tulon nollasääntö</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2-9%3D0" alt="x^2-9=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%3D9%5C%20%5Cparallel%5Csqrt%7B%20%7D" alt="x^2=9\ \parallel\sqrt{ }"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cpm3" alt="x=\pm3"/></div>
<div>tai</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E3%2B1%3D0" alt="x^3+1=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E3%3D-1%5C%20%5Cparallel%5Csqrt%5B3%5D%7B%7D" alt="x^3=-1\ \parallel\sqrt[3]{}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-1" alt="x=-1"/></div>
<div> </div>
<br/>
tarkistus geogebralla:<br/>
<a href="https://peda.net/petajavesi/lukio/Oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/ma2p-lops2016/syksy-2018/pt/438:responses/438-wip/sieppaa-png" title="Sieppaa.PNG"><img class="inline" src="https://peda.net/petajavesi/lukio/Oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/ma2p-lops2016/syksy-2018/pt/438:responses/438-wip/sieppaa-png:file/photo/dc896e5aecb81c89013d3a56e88b9075a354c141/Sieppaa.PNG" alt="Sieppaa.PNG" title="Sieppaa.PNG"/><br/>
<br/>
<br/>
</a>
<div class="content enclose">
<div>456<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E3-4x" alt="f\left(x\right)=x^3-4x"/></div>
<div>selvitetään nollakohdat</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E3-4x%3D0" alt="f\left(x\right)=x^3-4x=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5Cleft(x%5E2-4%5Cright)%3D0" alt="x\left(x^2-4\right)=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D0" alt="x=0"/></div>
<div>tai</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2-4%3D0" alt="x^2-4=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%3D4%5C%20%5Cparallel%5Csqrt%7B%20%7D" alt="x^2=4\ \parallel\sqrt{ }"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cpm2" alt="x=\pm2"/></div>
<div>nollakohdat on x=-2, x=0 ja x=2</div>
<div>lasketaan funktion arvoja testikohdissa</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(-3%5Cright)%3D%5Cleft(-3%5Cright)%5E3-4%5Cleft(-3%5Cright)%3D-27%2B12%3D-15%3C0" alt="f\left(-3\right)=\left(-3\right)^3-4\left(-3\right)=-27+12=-15<0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(-1%5Cright)%3D%5Cleft(-1%5Cright)%5E3-4%5Cleft(-1%5Cright)%3D-1%2B4%3D3%3E0" alt="f\left(-1\right)=\left(-1\right)^3-4\left(-1\right)=-1+4=3>0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(1%5Cright)%3D1%5E3-4%5Ccdot1%3D1-4%3D-3%3C0" alt="f\left(1\right)=1^3-4\cdot1=1-4=-3<0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(3%5Cright)%3D3%5E3-4%5Ccdot3%3D27-12%3D15%3E0" alt="f\left(3\right)=3^3-4\cdot3=27-12=15>0"/></div>
<div>tehdään merkkikaavio</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0A%26%26-2%26%260%26%262%26%5C%5C%0A%5Chline%0Ax%5E3-4x%26-%26%26%2B%26%26-%26%26%2B%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} &&-2&&0&&2&\\ \hline x^3-4x&-&&+&&-&&+ \end{array}"/><br/>
piirretään funktion kuvaaja geogebralla ja varmistetaan tulos<br/>
<a href="https://peda.net/petajavesi/lukio/Oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/ma2p-lops2016/syksy-2018/pt/456:responses/luonnos/sieppaa-png" title="Sieppaa.PNG"><img class="inline" src="https://peda.net/petajavesi/lukio/Oppiaineet/pitk%C3%A4-matematiikka/ma2p-lops2016/syksy-2018/pt/456:responses/luonnos/sieppaa-png:file/photo/89b844674a5954c97e0b1eeb14ce14384ef8b477/Sieppaa.PNG" alt="Sieppaa.PNG" title="Sieppaa.PNG"/></a></div>
<div>v: funktio saa positiivisia arvoja kun -2<x<0 tai 2<x, negatiivisia arvoja kun x<-2 tai 0<x<2</div>
</div>
</div>
2018-10-27T16:42:48+03:00
Teksti
https://peda.net/id/e8d7733ed82
2018-10-25T11:19:49+03:00
<div>4.3 Korkeamman asteen epäyhtälö</div>
<div> </div>
<div>Lause</div>
<div>Polynomifunktion merkki voi vaihtua vain nollakohdassa.</div>
<div>Esim. Tutki milloin funktio <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cleft(-2x%2B1%5Cright)%5Cleft(x%5E2-4%5Cright)" alt="f\left(x\right)=\left(-2x+1\right)\left(x^2-4\right)"/>saa positiivisia arvoja</div>
<div>Ratkaistaan nollakohdat</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D0" alt="f\left(x\right)=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(-2x%2B1%5Cright)%5Cleft(x%5E2-4%5Cright)%3D0" alt="\left(-2x+1\right)\left(x^2-4\right)=0"/></div>
<div>tulon nollasääntö</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-2x%2B1%3D0%5C%20" alt="-2x+1=0\ "/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-2x%3D-1%5C%20%5Cparallel%3A-2" alt="-2x=-1\ \parallel:-2"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D" alt="x=\frac{1}{2}"/></div>
<div>tai</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2-4%3D0" alt="x^2-4=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%3D4%5C%20%5Cparallel%5Csqrt%7B%20%7D" alt="x^2=4\ \parallel\sqrt{ }"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cpm2" alt="x=\pm2"/></div>
<div>tehdään merkkikaavio:</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0A%26%26-2%26%26%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%26%262%26%5C%5C%0A%5Chline%0A-2x%2B1%26%2B%26%26%2B%26%26-%26%26-%5C%5C%0Ax%5E2-4%26%2B%26%26-%26%26-%26%26%2B%5C%5C%0A%5Chline%5C%0A(-2x%2B1)(x%5E2-4)%26%2B%26%26-%26%26%2B%26%26-%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} &&-2&&\frac{1}{2}&&2&\\ \hline -2x+1&+&&+&&-&&-\\ x^2-4&+&&-&&-&&+\\ \hline\ (-2x+1)(x^2-4)&+&&-&&+&&- \end{array}"/></div>
<div>funktio saa positiivisia arvoja kun f(x)=0, tämä toteutuu kun x<-2 tai 1/2<x<2<br/>
<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%5E3%5Cle-3x%5E2-x" alt="2x^3\le-3x^2-x"/><br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%5E3%2B3x%5E2%2Bx%5Cle0" alt="2x^3+3x^2+x\le0"/>ratkaistaan nollakohdat</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%5E3%2B3x%5E2%2Bx%3D0" alt="2x^3+3x^2+x=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5Cleft(2x%5E2%2B3x%2B1%5Cright)%3D0" alt="x\left(2x^2+3x+1\right)=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D0%5C%20tai%5C%202x%5E2%2B3x%2B1%3D0" alt="x=0\ tai\ 2x^2+3x+1=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%5E2%2B3x%2B1" alt="2x^2+3x+1"/></div>
<div>toisen asteen yhtälö, voidaan käyttää ratkaisukaavaa</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D" alt="x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B-3%5Cpm1%7D%7B4%7D%3D-%5Cfrac%7B4%7D%7B4%7D%3D-1%5C%20tai%5C%20-%5Cfrac%7B2%7D%7B4%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D" alt="x=\frac{-3\pm1}{4}=-\frac{4}{4}=-1\ tai\ -\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}"/></div>
<div>nollakohdat on x=0, x=-1/2 ja x=1</div>
<div>tutkitaan funktion merkkiä laskemalla funktion arvoja testikohdissa</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(-2%5Cright)%3D2%5Cleft(-2%5Cright)%5E3%2B3%5Cleft(-2%5Cright)%5E2-2%3D-16%2B12-2%3D-6%3C0" alt="f\left(-2\right)=2\left(-2\right)^3+3\left(-2\right)^2-2=-16+12-2=-6<0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(-%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Cright)%5Capprox0%7B%2C%7D094%3E0" alt="f\left(-\frac{3}{4}\right)\approx0{,}094>0"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cright)%5Capprox-0%7B%2C%7D094%3C0" alt="f\left(-\frac{1}{4}\right)\approx-0{,}094<0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(1%5Cright)%3D2%5Ccdot1%5E3%2B3%5Ccdot1%5E2%2B1%3D6%3E0" alt="f\left(1\right)=2\cdot1^3+3\cdot1^2+1=6>0"/></div>
<div>tehdään merkkikaavio</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0A%26%26-1%26%26-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%26%260%26%5C%5C%0A%5Chline%0A2x%5E3%2B3x%5E2%2Bx%26-%26%26%2B%26%26-%26%26%2B%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} &&-1&&-\frac{1}{2}&&0&\\ \hline 2x^3+3x^2+x&-&&+&&-&&+ \end{array}"/></div>
<div>v: funktio saa pienempiä tai yhtäsuuria arvoja kuin nolla kun <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5Cle-1%5C%20tai%5C%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cle%20x%5Cle0" alt="x\le-1\ tai\ -\frac{1}{2}\le x\le0"/></div>
</div>
2018-10-25T10:52:24+03:00
Teksti
https://peda.net/id/d4c95764d77
2018-10-24T14:34:43+03:00
<div>4.2 Korkeamman asteen polynomifunktio ja yhtälö</div>
<div>Yleinen n. asteen polynomifunktio on muotoa</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Da_nx%5En%2Ba_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1%7D%2Ba_%7Bn-2%7Dx%5E%7Bn-2%7D%2B...%2Ba_2x%5E2%2Ba_1x%2Ba_0" alt="f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_2x^2+a_1x+a_0"/></div>
<div>missä<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a%5Cne0" alt="a\ne0"/><br/>
ja n on positiivinen kokonaisluku</div>
<div>n. asteen polynomifunktiolla on korkeintaan n nollakohtaa<br/>
Esim. ratkaise nollakohdat</div>
<div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D2x%5E3-3x%5E2" alt="f\left(x\right)=2x^3-3x^2"/></div>
<div>ratkaistaan yhtälö f(x)=0</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%5E3-3x%5E2%3D0" alt="2x^3-3x^2=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%5Cleft(2x-3%5Cright)%3D0" alt="x^2\left(2x-3\right)=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%3D0%5C%20tai" alt="x^2=0\ tai"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x-3%3D0" alt="2x-3=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%3D3" alt="2x=3"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D1%7B%2C%7D5" alt="x=1{,}5"/><br/>
<br/>
<br/>
Lauseke x-a on polynomin tekijä kun x=a on polynomin nollakohta<br/>
<div>Summan kuution muistikaava</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(a%2Bb%5Cright)%5E3%3Da%5E3%2B3a%5E2b%2B3ab%5E2%2Bb%5E3" alt="\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3"/></div>
</div>
</div>
2018-10-24T13:51:59+03:00
Teksti
https://peda.net/id/93b33c1ad5e
2018-10-22T13:24:23+03:00
<div>4.1 Yleinen potenssifunktio ja juuri</div>
<div>Potenssifunktio on muotoa <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5En%7B%2C%7D%5C%20n%3D1%7B%2C%7D%5C%202%7B%2C%7D%5C%203%7B%2C%7D%5C%20..." alt="f\left(x\right)=x^n{,}\ n=1{,}\ 2{,}\ 3{,}\ ..."/></div>
<div>määritelmä</div>
<div>Olkoon a, b ∈ℝ</div>
<div>Luvun a kuutiojuuri</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%5B3%5D%7Ba%7D" alt="\sqrt[3]{a}"/> on se luku b jonka kolmas potenssi on a, ts. <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%5B3%5D%7Ba%7D%3Db%5CLeftrightarrow%20b%5E3%3Da" alt="\sqrt[3]{a}=b\Leftrightarrow b^3=a"/></div>
<div>esim.</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%5B3%5D%7B27%7D" alt="\sqrt[3]{27}"/></div>
<div>koska</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=27%3D9%5Ccdot3%3D3%5Ccdot3%5Ccdot3%3D3%5E3" alt="27=9\cdot3=3\cdot3\cdot3=3^3"/>, niin <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%5B3%5D%7B27%7D%3D3" alt="\sqrt[3]{27}=3"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%5B3%5D%7B-27%7D%3D-3" alt="\sqrt[3]{-27}=-3"/><br/>
, koska <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(-3%5Cright)%5E3%3D-27" alt="\left(-3\right)^3=-27"/></div>
<div>Määritelmä</div>
<div>Luvun a n:s juuri <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D" alt="\sqrt[n]{a}"/><br/>
on</div>
<div>- se ei-negatiivinen reaaliluku b <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D%3Db" alt="\sqrt[n]{a}=b"/>, jolle <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=b%5En%3Da" alt="b^n=a"/>, kun n parillinen ja <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a%5Cge0" alt="a\ge0"/></div>
<div>- se reaaliluku b eli <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D%3Db" alt="\sqrt[n]{a}=b"/>, jolle <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=b%5En%3Da" alt="b^n=a"/>, kun n on pariton ja a∈ℝ</div>
<div>Esim. Laske</div>
<div>a) <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%5B4%5D%7B81%7D" alt="\sqrt[4]{81}"/></div>
<div>koska <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=81%3D9%5Ccdot9%3D3%5Ccdot3%5Ccdot3%5Ccdot3%3D3%5E4" alt="81=9\cdot9=3\cdot3\cdot3\cdot3=3^4"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%5B4%5D%7B81%7D%3D3" alt="\sqrt[4]{81}=3"/></div>
<div>b)</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%5B6%5D%7B-25%7D" alt="\sqrt[6]{-25}"/></div>
<div>Minkään luvun kuudes potenssi ei ole negatiivinen, joten juurta ei ole olemassa</div>
<div>c)</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%5B5%5D%7B-32%7D" alt="\sqrt[5]{-32}"/></div>
<div>Koska <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-32%3D%5Cleft(-2%5Cright)%5E5%7B%2C%7D%5C%20niin%5C%20%5Csqrt%5B5%5D%7B-32%7D" alt="-32=\left(-2\right)^5{,}\ niin\ \sqrt[5]{-32}"/><br/>
<br/>
<br/>
<div>myös funktio <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5En%7B%2C%7D%5C%20n%3D-1%7B%2C%7D%5C%20-2%7B%2C%7D%5C%20-3%7B%2C%7D%5C%20..." alt="f\left(x\right)=x^n{,}\ n=-1{,}\ -2{,}\ -3{,}\ ..."/>on potenssifunktio</div>
<div>Määritelmä <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E%7B-k%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Ek%7D%7B%2C%7D%5C%20miss%C3%A4%5C%20x%5Cne0" alt="x^{-k}=\frac{1}{x^k}{,}\ missä\ x\ne0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E%7B-3%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E3%7D" alt="f\left(x\right)=x^{-3}=\frac{1}{x^3}"/></div>
<div>laske f(3) ja f(1/3)</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(3%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5E3%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B27%7D" alt="f\left(3\right)=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright)%5E3%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B27%7D%7D%3D1%5Ccdot%5Cfrac%7B27%7D%7B1%7D%3D27" alt="f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^3}=\frac{1}{\frac{1}{27}}=1\cdot\frac{27}{1}=27"/></div>
</div>
2018-10-22T13:16:44+03:00
Teksti
https://peda.net/id/0729899ecd2
2018-10-11T10:39:56+03:00
<div>3.4 Tekijöihin jako nollakohtien avulla</div>
<div> </div>
<div>Jos toisen asteen polynomilla <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ax%5E2%2Bbx%2Bc" alt="ax^2+bx+c"/>on nollakohdat <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3Dx_1%5C%20ja%5C%20x%3Dx_2" alt="x=x_1\ ja\ x=x_2"/>, niin polynomi voidaan jakaa tekijöihin <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ax%5E2%2Bbx%2Bc%3Da%5Cleft(x-x_1%5Cright)%5Cleft(x-x_2%5Cright)" alt="ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)"/></div>
<div>Jos nollakohtia on vain yksi <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3Dx_1" alt="x=x_1"/>, sanotaan sen nollakohdan olevan kaksinkertainen nollakohta ja <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ax%5E2%2Bbx%2Bc%3Da%5Cleft(x-x_1%5Cright)%5E2" alt="ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)^2"/><br/>
Jos nollakohtia ei ole, polynomia ei voida jakaa tekijöihin, eli se on jaoton</div>
<div> </div>
2018-10-11T10:26:54+03:00
Teksti
https://peda.net/id/cfb06550cc7
2018-10-10T14:08:26+03:00
<div>3.3 Diskriminantti</div>
<div>Yhtälön <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0" alt="ax^2+bx+c=0"/>ratkaisukaava: <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D" alt="x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}"/></div>
<div>Toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärän kertoo juurrettava eli diskriminantti <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%3Db%5E2-4ac" alt="D=b^2-4ac"/></div>
<div>Jos D<0, niin yhtälöllä ei ole ratkaisua</div>
<div>Jos D=0, niin yhtälöllä on yksi ratkaisu</div>
<div>Jos D>0, niin yhtälöllä on kaksi ratkaisua</div>
<div> </div>
<div>Esim.</div>
<div>Kuinka monta ratkaisua on yhtälöllä <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-3x%5E2%2B5x-1%3D0" alt="-3x^2+5x-1=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%3Db%5E2-4ac%3D25-4%5Ccdot%5Cleft(-3%5Cright)%5Ccdot%5Cleft(-1%5Cright)%3D25-12%3D13" alt="D=b^2-4ac=25-4\cdot\left(-3\right)\cdot\left(-1\right)=25-12=13"/></div>
<div>koska D>0, niin yhtälöllä on kaksi ratkaisua</div>
<div>Millä parametrin t arvolla yhtälöllä <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%2B2x-t%3D0" alt="x^2+2x-t=0"/> on yksi ratkaisu </div>
<div>D=0</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%3Db%5E2-4ac%3D4-4%5Ccdot1%5Ccdot%5Cleft(-t%5Cright)" alt="D=b^2-4ac=4-4\cdot1\cdot\left(-t\right)"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=4-4%5Ccdot%5Cleft(-t%5Cright)%3D0" alt="4-4\cdot\left(-t\right)=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=4%2B4t%3D0" alt="4+4t=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=4%3D-4t" alt="4=-4t"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-1%3Dt" alt="-1=t"/></div>
2018-10-10T14:08:26+03:00
Teksti
https://peda.net/id/4062e0f6cae
2018-10-08T13:37:18+03:00
<p>1. muunna muotoon ax^2+bx+c@0, jossa @ on epäyhtälömerkki</p>
<p>2. ratkaise nollakohdat</p>
<p>3. hahmottele polynomifunktion kuvaaja</p>
<p>4. päättele ratkaisu</p>
<p>esim. ratkaise <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2-3x%5Cle0" alt="x^2-3x\le0"/><br/>
2.<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2-3x%3D0" alt="x^2-3x=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5Cleft(x-3%5Cright)%3D0" alt="x\left(x-3\right)=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D0%5C%20tai%5C%20x%3D3" alt="x=0\ tai\ x=3"/><br/>
kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla on kaksi nollakohtaa<br/>
3. <br/>
<a href="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/mpjy/nimet%C3%B6n-4062/sieppaa-png#top" title="Sieppaa.PNG"><img src="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/mpjy/nimet%C3%B6n-4062/sieppaa-png:file/photo/1a62e6238c8b2afbdb74a76a01192cc23fb0f507/Sieppaa.PNG" alt="" title="Sieppaa.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a><br/>
4. <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2-3x%5Cle0%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%203%5Cle%20x%5C%20%5Cle0" alt="x^2-3x\le0{,}\ kun\ 3\le x\ \le0"/><br/>
vastaus voidaan ilmaista myös<br/>
x on välillä [0, 3]<br/>
(jos vastaus olisi 0<x<3, niin ]0, 3[)</p>
2018-10-08T13:23:51+03:00
Teksti
https://peda.net/id/94e941cec7a
2018-10-04T10:24:51+03:00
<div>3.1 Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava</div>
<div>Toisen asteen yhtälön <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0" alt="ax^2+bx+c=0"/>ratkaisut (eli juuret) saadaan kaavalla <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D" alt="x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}"/></div>
<div>Ratkaisut ovat siis<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B-b%2B%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D" alt="x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}"/>ja <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B-b-%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D" alt="x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}"/></div>
<div> </div>
2018-10-04T10:24:51+03:00