Matematiikka

Matematiika 9 - Digi 8

2018-09-23T18:58:06+03:00

0 kommenttia

Matematiika 9 - Digi 7 Tehtävä 308

2018-09-23T18:57:29+03:00

0 kommenttia

Matematiika 9 - Digi 6 Tehtävä 291

2018-09-23T18:56:43+03:00

0 kommenttia

Matematiika 9 - Digi 5 Tehtävä 258

2018-09-23T18:56:13+03:00

Piirretään kuva

0 kommenttia

Matematiika 9 - Digi 4 Tehtävä 233

2018-09-23T18:55:36+03:00

a) Alueen [-2,1] x-arvoja vastaavat y-arvot selvitetty laskimen avulla.
Käyrä kulkee pisteiden (-2,-1) ja (1,4) kautta ja leikkaa x-akselin pisteessä (-1,0).
Mustalla on piirretty funktio ja vaaleanpunaisella katkoviivalla rajattu haluttu alue.

b)

0 kommenttia

Matematiika 9 - Digi 3 Tehtävä 197

2018-09-23T18:54:43+03:00

0 kommenttia

Matematiika 9 - Digi 2 Tehtävä 152

2018-09-23T18:54:15+03:00

0 kommenttia

Matematiika 9 - Digi 1 Tehtävä 96

2018-09-23T18:53:13+03:00

Tarkastellaan funktion f(x)=−x^3+2x^2+1 ja x-akselin välillä [0,2] rajaamaa aluetta.

a) Piirrä alueen kuva.

Rajatun alueen reunojen korkeudet:

Punaisella värillä on piirretty funktio f(x) ja vihreällä on rajattu fuktion f(x) ja x-akselin välille [0,2] jäävä alue.

b) Laske alueen pinta-ala.

Alueen pinta-ala saadaan integroimalla funktio f(x).

A=∫_0^2(−x^3+2x^2+1)dx

=/^2_0(−1/4x^4+2/3x^3+x)

=(−1/4(2)^4+2/3(2)^3+2)−(−1/4(0)^4+2/3(0)^3+0)

=−4+16/3+2−0+0+0

=16/3−2=16/3−6/3=10/3=3 1/3

0 kommenttia

Matematiikka 15 - Tehtävä 5

2018-09-23T18:48:16+03:00

0 kommenttia

Matematiikka 15 - Tehtävät 1, 2, 3, 4

2018-09-23T18:47:50+03:00

2. testi 2

0 kommenttia

Matematiikka 11 - Tehtävä 6

2018-09-23T18:44:35+03:00

0 kommenttia

Matematiikka 11 - Tehtävä 5

2018-09-23T18:44:13+03:00

0 kommenttia

Matematiikka 11 - Tehtävä 4

2018-09-23T18:42:01+03:00

0 kommenttia

Matematiikka 11 - Tehtävä 2

2018-09-23T18:42:27+03:00

0 kommenttia

Matematiikka 11 - Tehtävä 1

2018-09-23T18:42:46+03:00

0 kommenttia

Matematiikka 5 - 339

2018-09-23T18:35:04+03:00

0 kommenttia

Matematiikka 5 - 327

2018-09-23T18:34:43+03:00

0 kommenttia

Matematiikka 5 - 333

2018-09-23T18:34:28+03:00

0 kommenttia

Matematiikka 5 - 14

2018-09-23T18:34:15+03:00

0 kommenttia

Matematiikka 5 - 304

2018-09-23T18:34:00+03:00

0 kommenttia

Matematiikka 5 - 161

2018-09-23T18:33:40+03:00

0 kommenttia

Matematiikka 5 - 160

2018-09-23T18:33:22+03:00

0 kommenttia

Matematiikka 5 - 156

2018-09-23T18:33:04+03:00

0 kommenttia

Matematiikka 5 - 153a

2018-09-23T18:32:48+03:00

0 kommenttia

Matematiikka 5 - 84

2018-09-23T18:32:27+03:00

0 kommenttia

Matematiikka 6 - Digitehtävä 6

2018-09-23T18:29:14+03:00

a)
Funktio f on määritelty kun x≠1.

b)

Tangentin kuvaajat ovat vaakasuoria, kun ne piirtää pisteisiin (5,10) ja (-3,-6)

c)
Funktio f on aidosti vähenevä väleillä −3≤x<1 ja 1<x≤5.

d)

Funktion f derivaatta on negatiivinen väleillä−3<x<1 ja 1<x<5.

0 kommenttia

Matematiikka 6 - Digitehtävä 5

2018-09-23T18:28:44+03:00

a)

Funkiot h ääriarvokohdat ovat x=−1 ja x=1. Funktion s nollakohdat ovat x=−1 ja x=1.
Ne ovat samat kohdat.

b)
Funktio h on aidosti kasvava välillä −1<x<1 ja aidosti vähenevä kun x<−1 ja x>1

c)
Funktio s on negatiivinen kun x<−1 ja x>1 ja positiivinen välillä −1<x<1.

d)
Kun funktio s on negatiivinen funktio h on vähenevä ja kun funktio s on positiivinen funktio h on kasvava.

e)
Funktio h on alkuperäinen ja funktio s on sen derivaattafunktio.

0 kommenttia

Matematiikka 6 - Digitehtävä 4

2018-09-23T18:28:03+03:00

f(x)=x^4+2x^3
f′(x)=4x^3+6x^2

nollakohdat tulon nollasäännön avulla

4x^3+6x^2=0→x⋅x⋅(4x+6)=0
x=0 tai x=0 tai 4x+6=0→x=−3/2

tehdään merkki- ja kulkukaavio

		−3/2	0
x	-	-	+
x	-	-	+
4x+6	-	+	+
f'(x)	-	+	+
f(x)	vähenee	kasvaa	kasvaa

a) Määritä funktion ääriarvokohdat
minimikohta−3/2

b) Määritä funktion ääriarvot
f(−3/2)=−27/16

c) Onko funktiolla terassikohtia?
On, kun x=0

0 kommenttia

Matematiikka 6 - Digitehtävä 3

2018-09-23T18:26:49+03:00

1) Määritä laskimella funktion f derivattafunktio.

2) Päättele ilman laskinta funktion f derivaattafunktio. Tarkista laskimella.
a) f′(x)=8x^7
b) f′(x)=11x^(10)
c) f′(x)=nx^(n−1)

3) Määritä laskimella funktion f derivattafunktio.

4) Päättele ilman laskinta funktion f(x)=3x4+x2 derivaattafunktio. Tarkista laskimella.
f′(x)=D(3x^4+x^2)=12x^3+2x

0 kommenttia

Matematiikka 6 - Digitehtävä 2

2018-09-23T18:25:50+03:00

0 kommenttia

Matematiikka 6 - Digitehtävä 1

2018-09-23T18:25:13+03:00

0 kommenttia

Matematiikka 7 - Digitehtävä 7

2018-09-23T18:22:27+03:00

Määritetään päätykolmioiden avulla puuttuvat mitat eli loppuosa kannasta ja korkeus.
Muodostetaan pinta-alan funktio ja derivoidaan se.
Pinta-ala on suurin joko välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa.
Kun saadaan selville, missä pinta-ala on suurin, muutetaan radiaanit asteiksi kyseisestä kohdasta.

Kulman suuruus asteina on 63°

0 kommenttia

Matematiikka 7 - Digitehtävä 6

2018-09-23T18:21:56+03:00

Funktioilla on samat suurin ja pienin arvo, koska niillä on sama arvojoukko [-1,1], joten sin(x) voi korvata t:llä.

Suurin arvo on 13 ja pienin on 39/16.

Sama lasku, mutta laskettu ilman, että sin(x) olisi muutettu t:ksi.

0 kommenttia

Matematiikka 7 - Digitehtävä 5

2018-09-23T18:20:48+03:00

Määritä funktion f(x)=x^2+sin3x kuvaajalle kohtaan x=π/2 piirretyn tangentin yhtälö.

Lasketaan leikkauskohdan koordinaatit

x=π/2 ja y=f(π/2)=(π/2)2+sin3⋅π/2=(π^2)/4−1

(π/2,(π^2)/4−1)

Derivoidaan funktio, jolloin voidaan selvittää tangentin kulmakerroin, kun sijoitetaan x=π/2 derivaatan yhtälöön.

f′(x)=D(x^2+sin3x)=2x+3cos3x
f′(π/2)=2⋅π/2+3cos3⋅π/2=π+3⋅0=π

Sijoitetaan tiedot tangentin yhtälöön:

0 kommenttia

Matematiikka 7 - Digitehtävä 4

2018-09-23T18:18:46+03:00

a)

Sinifunktion kaava y=0,4sin(0.2618x−2.618)+37

b)

Klo 7.30 Taikan ruumiinlämpötila on 36,8 °C ja klo 11.00 se on 37,1 °C.

c)

Lämpötila on 37 °C kun klo on 10.00 tai 22.00, ja kuvaajasta näkyy, että kyseisten kellonaikojen välillä lämpötila on suurempi kuin 37 °C, joten lämpötila on yli 37 °C välillä 10.00-22.00.

0 kommenttia

Matematiikka 7 - Digitehtävä 3

2018-09-23T18:18:06+03:00

Kuopiossa vuonna 2019 pisimmän päivän 21.6. pituus auringon noususta auringon laskuun on 20,25 tuntia ja lyhimmän päivän 22.12. pituus 4,75 tuntia. Oletetaan, että vuoden x:nnen päivän pituuden tunteina ilmaisee funktio f(x)=asin(b(x−c))+d

a) Määritä funktion f lauseke.

f(x)=asin(b(x−c))+d

X-akselilla on päivä ja y-akselilla on päivän pituus eli tunnit. Tästä seuraa, että perusjaksona on vuosi eli 365 päivää.

Koska tehtävässä annetut tiedot ovat kokeellisen tuloksen vastuksia lasketaan c:n arvo molemmilla annetuilla tiedoilla (sijoitetaan x:n ja y:n paikalle annetut luvut) ja käytetään c:n arvona niiden keskiarvoa.

Koska kaikki muuttujat ovat selvitetty, sijoitetaan ne funktion lausekkeeseen ja pyöristetään kolmen numeron tarkkuudelle.

f(x)=asin(b(x−c))+d
f(x)=7,75sin(0,0172(x−81,5))+12,5

b) Arvioi tunnin tarkkuudella päivän pituus maaliskuun 20. päivänä

Lasketaan monesko päivä vuodesta 20.3. on ja sijoitetaan se x:n paikalle ja lasketaan y:n arvo.

Piirretään funktion kuvaaja ja tarkistetaan vastaus.

Maaliskuun 20. päivänä päivän pituus on tunnin tarkkuudella 12 tuntia.

c) Ratkaise graafisesti, kuinka mones vuoden 2019 päivä on mallin mukaan ensimmäinen, jonka pituus Kuopiossa on yli 15 tuntia.

Tarkistetaan laskemalla.

Ensimmäisenä päivistä tulee pienempi eli 100,6. päivä eli 101 päivä on ensimmäinen, jonka pituus on yli 15 tuntia.

0 kommenttia

Matematiikka 7 - Digitehtävä 2

2018-09-23T18:17:05+03:00

0 kommenttia

Matematiikka 7 - Digitehtävä 1

2018-09-23T18:15:52+03:00

0 kommenttia

Matematiikka 8 - Digi 6

2018-09-23T18:11:24+03:00

a) Suorakulmio, jonka yksi sivu on positiivisella x-akselilla, yksi sivu negatiivisella y-akselilla ja yksi kärki käyrällä y=ln(x).

b) Ympyrälieriö, joka muodostuu edellisen suorakulmion pyörähdettyä y-akselin ympäri.

c) Ympyrälieriön tilavuus.

Muodostetaan yhtälö ympyrälieriön tilavuudelle

V(x)=π(x)2⋅|y|=π(x)2⋅|ln(x)|

d) Ympyrälieriön suurin mahdollinen tilavuus.

Suurin tilavuus on yhtälön V(x) derivaatan jossain nollakohdassa, joka on välillä ]0,1[ tai välin [0,1] päätepisteessä.

Derivaatta:
V′(x)=2πx|ln(x)|+πx⋅sgn(ln(x))

Nollakohdat:
2πxln(x)+πx⋅sgn(ln(x))=0
x=e−12≈0,6065306597 on välillä ]0,1[

Kulkukaavio:

	V′(0,1)=1,13		V′(0,9)=−2,23
0	+	e−12	-	1
	kasvava	maksimi	vähenevä

Sijoitetaan x=e−12 funktioon V(x)=π(x)2⋅|ln(x)|

V(e−12)=πe−12≈0,5778636749

Ympyrälieriön suurin tilavuus on πe−12.

0 kommenttia

Matematiikka 8 - Digi 5

2018-09-23T18:10:48+03:00

Tutki geometriaohjelmalla funktion f(x)=ax kuvaajalle kohtaan x=0 piirrettyä tangenttia seuraavien ohjeiden mukaisesti.

1) Luo geometriaohjelmalla liukusäädin kantaluvulle a>0
2) Piirrä funktion f(x)=ax kuvaaja.
3) Piirrä funktion kuvaajalle tangentti kohtaan x=0

4) Tutki liukusäätimen avulla millaisia arvoja funktion f(x)=ax kuvaajalle kohtaan x=0 piirretyn tangentin kulmakerroin saa, kun kantaluku a saa eri arvoja

Kun kantaluvun arvo kasvaa, myös tangentin kulmakertoimen arvo kasvaa.

5) Millaisia arvoja funktion f(x)=ax derivaatta f′(0) voi saada, kun kantaluku saa eri arvoja?

Funktion derivaatta f′(0) voi saada arvoja välillä [0,∞[.

6) Tutki, millä kantaluvun a arvolla funktion f(x)=ax derivaatta kohdassa 0 on 1, eli selvitä, millä kantaluvun a arvolla f′(0)=1. Etsi tälle kantaluvulle likiarvo 4 desimaalin tarkkuudella.

Koska GeoGebralla ei saa tarkempaa vastausta, pitää tarkempi likiarvo laskea.

Kantaluvun a likiarvo neljän desimaalin tarkkuudella on a≈2,7183, kun f′(0)=1.

0 kommenttia

Matematiikka 8 - Digi 4

2018-09-23T18:10:07+03:00

a)
3x=2
x≈0,6

b)
3x=15
x≈2,5

c)
3x=100
x≈4

0 kommenttia

Matematiikka 8 - Digi 3

2018-09-23T18:08:50+03:00

Määritä funktion f(x)=16xx−x2‾‾‾‾‾‾√

a) ääriarvokohdat

Määrittelyehto:

Derivoidaan funktio:

Funktion ääriarvokohdat ovat derivaatan nollakohdat, jotka osuvat välille ]0,1[ sekä välin [0,1] päätepisteet.

Derivaatan nollakohta on välillä ]0,1[

Kulkukaaviosta näkyy ovatko pisteet minimeitä vai maksimeita.

Funktion maksimikohta on x=34 ja minimikohdat x=0 ja x=1.

b) suurin ja pienin arvo

Suurin ja pienin arvo saadaan, kun sijoitetaan ääriarvokohdat funktioon.

Suurin arvo on 33‾√ ja pienin 0.

0 kommenttia

Matematiikka 8 - Digi 2

2018-09-23T18:08:13+03:00

1.
Funktio f on määritelty kaikkialla, kun a ≥ 0.

2.
a)
Funktio on aidosti kasvava, kun a > 1.

b) aidosti vähenevä
Funktio on aidosti vähenevä, kun 0 < a < 1.

3. Mikä yhteinen piste kaikilla kuvaajilla on? Osaatko perustella havaintosi?
(0,1)
Koska siinä kohdassa x=0, jolloin a on potenssiin 0, jolloin sen vastaus on aina 1.

4. Mikä on funktion f arvojoukko kuvaajan perusteella?
]0,∞[

0 kommenttia

Matematiikka 8 - Digi 1

2018-09-23T18:07:42+03:00

1.

2.

f(x) on määritelty kun x ≥ 0 ja sillä on tangentti kun x > 0

g(x) on määritelty kun x kuuluu reaalilukuihin ja sillä ei ole tangenttia kun x = 0

h(x) on määriteltty kun x kuuluu reaalilukuihin ja sillä ei ole tangenttia kun x = 1

3.

Funktio ei ole derivoituva koko määrittelyjoukossaan.

0 kommenttia

Matematiikka 3 - Tehtävät 7 ja 8

2018-09-23T18:43:22+03:00

https://drive.google.com/open?id=1wVfP8Odt_i8cfdplRvPnkWK6UwdBTqJB

0 kommenttia

Matematiikka 11 - Tehtävä 144

2018-09-23T18:43:01+03:00

https://drive.google.com/open?id=1bgu13my-BR9BfvF3UyjR701UjMm8QQx4

0 kommenttia