10. Derivointi (bonus)

Miten lasket derivaatan arvoja?

2022-01-09T12:18:42+02:00

Merkitseminen:
Derivaatan arvoja voidaan laskea funktioille tai esimerkiksi polynomeille. Funktion [[$ f $]] derivaattaa merkitään [[$ f' $]]. Vastaavasti lausekkeiden derivaattoja merkitään yleisesti kirjaimella [[$D$]], esimerkiksi lausekkeen [[$x^2$]] derivaatta on [[$D(x^2)=2x$]].

Vakion derivaatta:
Vakion derivaatta on aina 0.
[[$ D(1) = 0$]]
[[$ D(5) = 0$]]
[[$ D(0) = 0$]]
[[$ D(2) = 0$]]

Muuttujan sisältävän termin derivaatta:
Muuttujan sisältävän termin derivaatta saadaan kertomalla termi sen asteluvulla, ja pienentämällä sen astelukua yhdellä. Muuttujan eksponentti siis siirtyy siis termin eteen kertoimeksi (mikäli edessä on jo kerroin, kerrotaan se tällä asteluvulla), ja muuttujan eksponenttia pienennetään yhdellä.
[[$ D(x^2) = 2x $]]
[[$ D(x^3) = 3x^2 $]]
[[$ D(x^{10}) = 10x^9$]]
[[$ D(x^{100})=100x^{99}$]]
[[$ D(2x^2) = 2\cdot 2x^{2-1} = 4x $]]
[[$ D(3x^5) = 5\cdot 3x^{5-1} = 15x^4$]]
[[$ D(6x^{10}) =10\cdot 6x^{10-1} = 60x^9$]]

Ensimmäisen asteen termin derivoiminen:
Jos derivoitavan termin asteluku on 1, derivointi tapahtuu vastaavasti kuin yllä:
[[$ D(x) = 1\cdot x^{1-1} = 1\cdot x^0 = 1\cdot 1 = 1 $]]
[[$ D(5x) = 5\cdot x^{1-1} = 5\cdot x^0 = 5\cdot 1 = 5 $]]
Ensimmäisen asteen termin derivaatta on näin siis aina sama kuin tämän ensimmäisen asteen termin kerroin, eli
[[$ D(x) = 1 $]]
[[$ D(2x) = 2$]]
[[$ D(10x) = 10$]]
[[$ D(20x) = 20$]]

Yleisesti siis:
[[$ D(x^n) = nx^{n-1}$]]

Polynomin derivoiminen:
Jos derivoitavana on polynomi, derivointi tehdään jokaiselle termille erikseen.
[[$ D(2x^2+2x) = D(2x^2) + D(2x) = 4x + 2 $]]

Funktion derivoiminen:
Funktion derivoiminen tapahtuu vastaavasti kuin edellä, merkintänä käytetään vaan funktiomerkintää. Jos siis pyydetään derivoimaan [[$ f(x) = 3x^2 $]], niin vastaus merkitään [[$f'(x) = 6x$]].

Huomioita

2022-01-09T11:58:13+02:00

Tunnin tärkein opetus: jos et osaa YO-kokeissa derivaattaa, älä tee derivaattatehtäviä. Todennäköisesti sana "derivaatta" esiintyy tällaisessa tehtävässä. Huomaa myös, että esimerkiksi f′(4) ei ole sama asia kuin f(4). Pilkku f:n jälkeen tarkoittaa f:n derivaattaa.

Disclaimer: Tunnilla käsitellään vain oleellisimpia perusasiota. Pelkästään tämän tunnin pohjalta et tule osaamaan kaikkia derivaattatehtäviä.

Huomaa, että tämä on uutta asiaa, jota ei ole aiemmin opetettu. Tämä voi olla vaikea käsite hahmottaa, ja suosittelen katsomaan opetusvideoita aiheeseen tai kysymään apua opettajalta, jos asia tuntuu haastavalta.

Mitä derivaatta tarkoittaa ja mihin sitä käytetään?

2022-01-09T12:36:12+02:00

Derivaatta kertoo funktion kasvunopeuden. Esimerkiksi funktion [[$ f(x) = 2x^2-3x$]] derivaatta on [[$ f'(x) = 4x-3$]], joten sen kasvunopeus
pisteessä 2 on [[$ f(2) = 4\cdot 2-3 = 8-3 = 5$]] . Oikeanpuoleisessa kuvassa ollaan zoomattu funktioon kohdan [[$x=2$]] lähelle, ja funktio tosiaankin näyttää kasvavan tässä kohdassa n. 5 ruutua yhden vaakaruudun aikana.

Lukiomatikassa ja YO-kirjoituksissa derivaatan suosituin käyttätarkoitus on funktion suurimpien ja pienimpien arvojen etsiminen. Nämä kohdat ovat yleensä funktion derivaatan nollakohdissa. Esimerkiksi ylläolevan funktion derivaatta oli [[$ f'(x) = 4x-3$]], josta voidaan laskea derivaatan nollakohta: jos [[$f'(x) = 4x-3 = 0$]], on oltava [[$x=\frac{3}{4}$]]. Ylläolevasta kuvasta näkyy, että funktio saa tässä pienimmän arvonsa, joka on

[[$f(\cfrac{3}{4}) = 2(\cfrac{3}{4})^2-3\cdot \cfrac{3}{4} = -\cfrac{9}{8} $]]

Derivaatan nollakohdan lisäksi funktion suurin arvo voi olla sen määrittelyvälin päätepisteissä tai epäderivoituvuus/-jatkuvuuskohdissa. Tästä enemmän oppikirjoissa.

Esimerkki.
Kahvilan katuterassin aitaamiseen on käytettävissä 15 metriä köyttä. Terassista tehdään suorakulmio, ja yksi sitä rajaava sivu on ravintolan seinä. Mitkä terassin sivujen mitat on oltava, että sen pinta-ala olisi mahdollisimman suuri? Mikä pinta-ala tällöin on?

Ratkaisu.
Piiretään ensin kuva:

Vasemmalla mustalla on kahvilan seinä ja punaisella on terassia rajaava köysi. Jos merkataan kahta samanpituista sivua [[$x$]]:llä, kolmanteen sivuun jää köyttä [[$15-2x$]] metriä. Tällöin terassin pinta-ala on [[$A(x) = x\cdot (15-2x) = 15x-2x^2 $]].

Derivoidaan pinta-alan funktio: [[$ A'(x) = 15-4x$]]. Lasketaan derivaatan nollakohta: [[$15-4x=0$]], jos [[$4x=15$]], eli jos [[$x=3.75$]].
Tällöin kolmannen sivun pituus on [[$15-2\cdot 3.75 = 7.5$]] metriä, ja terassin mittojen pitäisi siis olla 3.75m x 7.5 m. Suurin mahdollinen pinta-ala terassille on siis [[$3.75\cdot 7.5 = 28.125 m^2$]]

Apua tehtäviin

2022-01-09T11:11:47+02:00

Matikkamatskut - kurssi 7
(perustuu Tekijän 7-kirjaan)
Opetus.tv: MAA6
Opetus.tv:llä ei ole omaa MAB7-kurssia.

Asian voi opetella myös vanhempien opetussuunnitelmien kirjoista, joita on saatavilla helposti kirjastoista ja ilmaiseksi tai puoli-ilmaiseksi käytettyinä. Esimerkiksi kirjaa Lyhyt Sigma 4 matemaattinen analyysi on saatavilla Helmet-kirjastoissa.

Esimerkkejä ja lisätehtäviä

2022-01-09T11:13:21+02:00

Monisteesta osio 5

YO-tehtäviä

2024-01-07T14:03:41+02:00

: YOLS16T1.jpg
: YOLK16T1.jpg
: YOLS18T13.jpg
: YOLs17T6.jpg
: YOLK18T6.jpg
: YOLK17T12.jpg
: YOLS15T3.jpg
: YOLS18T5.jpg