Todennäköisyys

Vaihtoehtojen lukumäärä

2021-03-24T12:24:27+02:00

Jotta voitaisiin laskea tapahtumien todennäköisyyksiä, täytyy osata laskea kaikkien mahdollisten vaihtoehtojen lukumäärä

Tuloperiaate

Tuloperiaatteella voidaan laskea peräkkäisten toisistaan riippumattomien vaihtoehtojen lukumäärä
Puukaavio ja taulukko kirjan s. 72-3.
Avoinoppikirja.fi (s.86)
Internetix.fi

Järjestys ja osajoukot

Joskus vaihtoehtojen valintajärjestys vaikuttaa jäljelläoleviin vaihtoehtoihin
Esim.
pussissa on keltainen, punainen ja sininen pallo. Jos ensimmäisenä nostetaan punainen pallo, niin jäljelle jää vain kaksi vaihtoehtoa. Seuraavan pallon jälkeen vaihtoehtoja on enää yksi. Erilaisten nostojärjestysten lukumäärä on siis [[$$ 3\cdot2\cdot1=6 $$]]
- Taulukkoon on listattu mahdolliset järjestykset (P=punainen, S=sininen, K=keltainen):
  
  PSK PKS
  
  SPK SKP
  
  KPS KSP

Taulukot ja päättely

Kaikkia ongelmia ei voi ratkaista suoraan puukaavion tai kertolaskun avulla. Usein on hyvä hahmotella ongelmaa piirtämällä tai taulukon avulla

Todennäköisyys

2021-03-24T12:24:39+02:00

Todennäköisyys

Tapahtuman todennäköisyys kuvaa sitä kuinka todennäköisesti jokin asia tulee tapahtumaan (Eh?)
- Jos todennäköisyys on 0, tapahtuma ei voi tapahtua ja
- jos todennäköisyys on 1, tapahtuma tapahtuu varmasti
- Yleensä todennäköisyys on jotakin näiden väliltä
Todennäköisyyksiä voidaan ilmoittaa myös prosentteina tai murtolukuna esim. [[$$ 0,25 = 25\% = \frac{1}{4} $$]]
Yksinkertaisimmillaan tapahtuman todennäköisyys saadaan laskettua jakamalla tapahtuman kannalta suotuisten tapausten lukumäärä kaikkien vaihtoehtojen lukumäärällä [[$$ \text{Todennäköisyys} = \frac{\text{suotuisat tapaukset}}{\text{kaikki vaihtoehdot}} $$]]
Todennäköisyys (wikipedia)

Satunnaiskoe

Jos vaihtoehdot ovat täysin satunnaisia (tulosta ei voida ennustaa), esim. kolikon tai nopan heitto, ruletti(?), puhutaan satunnaiskokeesta.

Tilastollinen todennäköisyys

Suuria aineistomääriä tarkasteltaessa voidaan olettaa myös tulevien tapahtumien seurailevan tilastosta laskettua todennäköisyyttä (tilastollinen todennäköisyys)
Toistamalla satunnaiskoetta hyvin monta kertaa, tuloksen pitäisi lähestyä klassisen todennäköisyyslaskennan tulosta

Nopanheittoa tietokoneella, esimerkki tilastollisesta todennäköisyydestä: Nopanheittoa

Klassinen todennäköisyys

2021-04-26T14:58:31+03:00

[[$$ \text{Todennäköisyys } P=\frac{\text{suotuisten alkeistapausten lukumäärä}}{\text{kaikkien mahdollisten tapausten lukumäärä}} $$]]

Alkeistapauksia ovat kokeen kaikki mahdolliset tapahtumat
- esim. nopanheiton alkeistapaukset ovat [1,2,3,4,5,6]
Suotuisat alkeistapaukset riippuvat tutkittavasta tapahtumasta
esim.
- Millä todennäköisyydellä nopan tulos on 2?
  - suotuisa alkeistapaus ainoastaan tulos [2] [[$$ P(2) = \frac{1}{6}=0,1666\ldots\approx16,6\% $$]]
- Millä todennäköisyydellä nopan tulos on vähintään 4?
  - Suotuisat alkeistapaukset [4,5,6] [[$$ P(\text{vähintään }4)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\% $$]]
  - (eli suotuisia tapauksia 4 TAI 5 TAI 6) [[$$ P(4,5,6)=\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}=50\% $$]]
Klassisessa todennäköisyyslaskennassa oletetaan, että kaikki alkeistapaukset ovat symmetrisiä eli yhtä todennäköisiä (satunnaisia tapahtumia!)
Klassinen todennäköisyys (Wikipedia)

Esimerkkejä

2026-03-20T09:24:56+02:00

https://fi.wikipedia.org/wiki/Noppa#Nopanheiton_matematiikka

Peräkkäisten tapausten todennäköisyydet

2021-04-26T15:01:37+03:00

Millä todennäköisyydellä kolmea noppaa heitettäessä

saadaan kolme kutosta
- Todennäköisyys sille, että kaikki heitot ovat kutosia (eli 1. JA 2. JA 3 on kutonen) on [[$ \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{216} = 0,00462\ldots \approx 0,5\% $]]
saadaan kolme samaa numeroa?
- Tässä tapauksessa ensimmäinen voi olla mikä tahansa numero, eli [[$ \frac{6}{6} $]]
- seuraavat kaksi riippuvat ensimmäisestä heitosta, ja niille on molemmille vain yksi vaihtoehto [[$ \frac{6}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}=0,0277\ldots\approx2,8\% $]]
saadaan vähintään yksi kutonen
- Ajatellaan toista kautta. Mahdollisuus sille, että ei saada kutosta on joka heitolla 5/6 eli [[$ \frac{5}{6} \cdot\ \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{125}{216} $]]
- jos kaikenkaikkiaan mahdollisuuksia on 216 ([[$ 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 $]]) ja mahdollisuuksia joissa ei ole kutosta on 125, niin mahdollisuuksia joissa on kutonen on [[$ 216 - 125 = 91 $]]. Todennäköisyys on siis [[$ \frac{91}{216} $]]
- Todennäköisyys voidaan laskea myös suoraan vastatapahtuman kautta (100% - mahdollisuus sille, että ei tule kutosta)[[$$ 1 - \frac{125}{216} = \frac{216}{216} - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} = 0,42129 \ldots \approx 42 \% $$]]

Liikennevalot

2018-04-11T10:41:57+03:00

Koulumatkalla on kolmet liikennevalot (jalankulkijoille). Jokaisessa liikennevalossa on punainen ja vihreä valo. Mikä on todennäköisyys sille, että:

Joutuu pysähtymään kaikissa valoissa
- Kaikki vaihtoehdot (mahdolliset yhdistelmät) ovat PPP, PPV, PVP, PVV, VPP, VPV, VVP, VVV (8)
- Ainoa suotuisa on PPP eli 1/8 = 0,125 = 12,5%
Ei joudu pysähtymään kertaakaan
- Jokainen vaihtoehto on yhtä todennäköinen (1. vihreä on 1/2, 2. vihreä 1/2, 3. vihreä on 1/2)
- Ainoa suotuisa on VVV
- Valot eivät riipu toisistaan eli nyt pitää olla 1V JA 2V JA 3V → lasketaan kertolaskulla
  - [[$ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,125 =12,5\% $]]
  - (tämä pätee oikeastaan myös 1. kohtaan ja kaikkiin muihinkin yksittäisiin vaihtoehtoihin...)
Joutuu pysähtymään tasan kerran
- suotuisat vaihtoehdot PVV, VPV, VVP
- jokaisen vaihtoehdon todennäköisyys on 1/8, mutta nyt riittää jos joku toteutuu eli 1P TAI 2P TAI 3P → lasketaan yhteenlaskulla
  - [[$ \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8} = 0,375 = 37,5\% $]]
Joutuu pysähtymään ainakin kerran
- joutuu pysähtymään 7 eri vaihtoehdolla eli
  - [[$ 7 \cdot \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0,875 = 87,5\% $]] (yhteenlasku lyhennetty kertolaskuksi)
- toisaalta tämä on 2. kohdan vastatapahtuma eli ainoa joka ei käy on VVV (1/8) → todennäköisyys on siis 7/8
  - [[$ 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0,875 = 87,5\% $]]
  - kaikkien vaihtoehtojen yhteenlaskettu todennäköisyys on 1 (100 %) eli todennäköisyyden voi laske myös vähentämällä epäsuotuisten vaihtoehtojen todennäköisyydet

Hankalamman ja ehkä mielenkiintoisemman ongelmasta saa jos vihreä ja punainen valo ei palakaan yhtä kauan: Internetix

PSK	PKS
SPK	SKP
KPS	KSP