5.3-5.4 Aritmeettinen lukujono (ja summa)

Opetusvideot aritmeettisesta jonosta ja summasta

2016-09-05T20:32:10+03:00

Aritmeettinen jono

Aritmeettinen summa

Esimerkkitehtävät

2017-08-13T21:57:50+03:00

1. Mitkä jonoista voisivat olla aritmeettisia? Jos jono on aritmeettinen, selvitä sen erotusluku eli differenssi sekä yleinen jäsen [[$ a_n $]].

[[$ 4,7,10,13,... $]]
[[$ 3,9,27,81,... $]]
[[$ 3, 6, 9, 12, ... $]]
[[$ 1,-1,2,-2,... $]]
[[$ \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4},1,... $]]

2. Aritmeettisen jonon ensimmäinen jäsen on 4 ja differenssi 0,5.

Mikä on jonon 100.jäsen?
Onko 60 jokin tämän jonon jäsen? Monesko jäsen?

3. Laske

aritmeettisen jonon [[$ 5,10,15,20,... $]]kymmenen ensimmäisen jäsenen summa!
aritmeettinen summa [[$$ \sum_{k=1}^{70} (2k-1). $$]]

Vastaukset:

1. Aritmeettisia jonoja ovat 1. (erotusluku 3 ja yleinen termi [[$ a_n = 3n+1 $]]), 3. (erotusluku 3 ja yleinen termi [[$ a_n = 3n $]]) ja 5. (erotusluku [[$ \frac{1}{2} $]] ja yleinen termi [[$ a_n = \frac{1}{4}n $]]).

2. [[$ a_{100} = 53,5 $]]
Kyllä, 113. jäsen.

3. [[$ S_{10} = 275 $]]
Summa on 4900.

Marian teoriat

2018-09-12T12:10:31+03:00

Aritmeettinen lukujono:

Jono, jossa seuraava jäsen saadaan lisäämällä edelliseen aina sama luku (erotusluku eli differenssi, merkitään usein [[$ d $]])

Esim.1. Jonossa [[$ 4, 8, 12, 16, ... $]] erotuslukuna [[$ d = 4. $]] Erotusluku voidaan selvittää esimerkiksi laskemalla [[$ d = a_2-a_1=8-4 $]] tai [[$ d=a_4-a_3=16-12 $]].

Esim.2. Jono [[$ a_n=6n-4 $]] on aritmeettinen (ensimmäiset jäsenet [[$ 2,8,14,20,26,... $]]), erotuslukuna on [[$ d=6 $]].

Esim. 3. Jono [[$ 2,4,8,16,... $]] ei ole aritmeettinen lukujono. Miksi?

Yleinen jäsen [[$ a_n $]]: Kun tiedetään jonon yleinen jäsen = jonon lauseke = jonon sääntö (esim. [[$ a_n=6n-4 $]]), voidaan sen avulla selvittää mikä tahansa jonon jäsen. Yleisen jäsenen muodostaminen:

Esim.4. Aritmeettisessa jonossa ensimmäinen jäsen on 22 ja erotusluku 3. Muodosta yleisen jäsenen lauseke.

[[$ \begin{split} \qquad a_1&=22 \\ a_2&=22+3 =25 \\a_3 &= 22+2\cdot 3=28 \\a_4&=22+3\cdot 3 = 31 \\ ...\\ a_n&=22+(n-1)\cdot 3 \\ \to a_n&=22+3n-3=3n+19 \end{split} $]]

Yleinen lauseke ja mikä tahansa jäsen saadaan aina näin:
[[$$ a_n=a_1+(n-1)\cdot d $$]]

Esim.5. Määritä edellisen esimerkin jonosta jäsen [[$ a_{24} $]].

Aritmeettinen summa:

Aritmeettisen jonon [[$ 4, 8, 12, ... $]] 13 ensimmäisen jäsenen summa [[$ 4+8+12+16+...+52 $]] on helppo laskea seuraavan kaavan avulla: [[$$ \begin{split} S_n&=n\cdot\frac{a_1+a_n}{2}\\ \\ S_{13}&=13\cdot \frac{4+52}{2}=364 \end{split} $$]]

Esim.6. Määritä jonon [[$ 2, 5, 8, 11,... $]] 10 ensimmäisen jäsenen summa [[$ S_{10}. $]]

Määritetään ensin yleinen jäsen [[$ a_{n}=a_1+(n-1) \cdot d=2+(n-1)\cdot 3 = 3n-1 $]]
[[$ a_1= \\\\n= \\\\ a_{10}= \\\\S_{10}= $]]

Summamerkintä:

Edellisen esimerkin summaa voidaan merkitä myös
[[$$ S_{10}=\sum_{n=1}^{10} (3n-1). $$]]