https://peda.net/id/c7f2f6c43e2 2018-04-12T11:48:57+03:00 https://peda.net/:static/533/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/f49fdeea415 2018-04-16T13:14:10+03:00 <p><b><span>Alkuluku</span><span> </span></b>on ykköstä suurempi kokonaisluku, joka on jaollinen vain itsellään ja luvulla 1. Kokonaisluku, joka ei ole alkuluku, on<span> </span><em><span>yhdistetty luku</span></em>.</p> <p><strong>HUOM!</strong><span> </span>Alkuluku on jaollinen myös vastaluvullaan ja luvulla –1.</p> <p><strong>HUOM!</strong><span> </span><span>Alkutekijä</span><span> </span>on luvun tekijä, joka on alkuluku.</p> <p><span><b>ESIM 1</b>.</span><span> </span>Jaa luku 12 a) tekijöihin b) alkutekijöihin.</p> <p>a) Luvun 12 voi jakaa luvuilla 2, 6, 3, 4, 12, 1.</p> <p>b) <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=12%3D2%5Ccdot2%5Ccdot3%3D2%5E2%5Ccdot3" alt="12=2\cdot2\cdot3=2^2\cdot3"/></p> <ul> <li><span><span><b>Aritmetiikan peruslause:</b><span> </span>Jokainen ykköstä suurempi kokonaisluku voidaan esittää vain yhdellä tavalla alkulukujen tulona. </span></span></li> </ul> <p><span><b>ESIM 2</b>.</span><span> </span>Jaa luvut alkutekijöihin a) 111 b) 2520.<br/> <br/> a) <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=111%3D3%5Ccdot37" alt="111=3\cdot37"/></p> b) <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2520%3D10%5Ccdot252%3D2%5Ccdot5%5Ccdot2%5Ccdot126%3D2%5Ccdot2%5Ccdot5%5Ccdot2%5Ccdot63" alt="2520=10\cdot252=2\cdot5\cdot2\cdot126=2\cdot2\cdot5\cdot2\cdot63"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D2%5Ccdot2%5Ccdot5%5Ccdot2%5Ccdot3%5Ccdot21%3D2%5Ccdot2%5Ccdot5%5Ccdot2%5Ccdot3%5Ccdot7%5Ccdot3%3D2%5E3%5Ccdot3%5E2%5Ccdot5%5Ccdot7" alt="=2\cdot2\cdot5\cdot2\cdot3\cdot21=2\cdot2\cdot5\cdot2\cdot3\cdot7\cdot3=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7"/><br/> tai<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2520%3D2%5Ccdot1260%3D2%5E3%5Ccdot315%3D2%5E3%5Ccdot5%5Ccdot63%3D2%5E3%5Ccdot5%5Ccdot7%5Ccdot3%5E2" alt="2520=2\cdot1260=2^3\cdot315=2^3\cdot5\cdot63=2^3\cdot5\cdot7\cdot3^2"/><br/> <br/> <em></em><br/> <ul> <li><em>Lause</em>: Alkulukuja on äärettömän paljon.</li> <li><span><em>Lause:</em><span> </span>Olkoon luvut a, b ja c ∈ ℤ. Tällöin, jos a = bc, niin <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=b%5Cle%5Csqrt%7Ba%7D" alt="b\le\sqrt{a}"/></span><span> tai <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=c%5Cle%5Csqrt%7Ba%7D" alt="c\le\sqrt{a}"/></span><span>. </span></li> </ul> <p>Lauseesta seuraa, että luvun<span> </span><em>n</em><span> </span>osoittamiseksi alkuluvuksi riittää, että luku<span> </span><em>n</em><span> </span>jaetaan jokaisella alkuluvulla<span> </span><em>p</em>, jolle pätee, että 1 &lt; p &lt; sqrt n. Jos mikään jakolasku ei tuota kokonaislukua, luku<span> </span><em>n</em><span> </span>on alkuluku.</p> <p><b>Eratostheneen seula</b></p> <p>Vedetään yli 2:lla jaolliset luvut, sitten 3:lla, sitten 5:llä jne. Jäljelle jäävät ovat alkulukuja. Seulan avulla on helppo etsiä tiettyä lukua pienemmät alkuluvut.</p> <p><b>ESIM 3.</b><span> </span>Etsi lukua 50 pienemmät alkuluvut.</p> <table> <tbody> <tr> <td> <p><b>1</b></p> </td> <td> <p>2</p> </td> <td> <p>3</p> </td> <td> <p><b>4</b></p> </td> <td> <p>5</p> </td> <td> <p><b>6</b></p> </td> <td> <p>7</p> </td> <td> <p><b>8</b></p> </td> <td> <p><b>9</b></p> </td> <td> <p><b>10</b></p> </td> </tr> <tr> <td> <p>11</p> </td> <td> <p><b>12</b></p> </td> <td> <p>13</p> </td> <td> <p><b>14</b></p> </td> <td> <p><b>15</b></p> </td> <td> <p><b>16</b></p> </td> <td> <p>17</p> </td> <td> <p><b>18</b></p> </td> <td> <p>19</p> </td> <td> <p><b>20</b></p> </td> </tr> <tr> <td> <p><b>21</b></p> </td> <td> <p><b>22</b></p> </td> <td> <p>23</p> </td> <td> <p><b>24</b></p> </td> <td> <p><b>25</b></p> </td> <td> <p><b>26</b></p> </td> <td> <p><b>27</b></p> </td> <td> <p><b>28</b></p> </td> <td> <p>29</p> </td> <td> <p><b>30</b></p> </td> </tr> <tr> <td> <p>31</p> </td> <td> <p><b>32</b></p> </td> <td> <p><b>33</b></p> </td> <td> <p><b>34</b></p> </td> <td> <p><b>35</b></p> </td> <td> <p><b>36</b></p> </td> <td> <p>37</p> </td> <td> <p><b>38</b></p> </td> <td> <p><b>39</b></p> </td> <td> <p><b>40</b></p> </td> </tr> <tr> <td> <p>41</p> </td> <td> <p><b>42</b></p> </td> <td> <p>43</p> </td> <td> <p><b>44</b></p> </td> <td> <p><b>45</b></p> </td> <td> <p><b>46</b></p> </td> <td> <p>47</p> </td> <td> <p><b>48</b></p> </td> <td> <p><b>49</b></p> </td> <td> <p><b>50</b></p> </td> </tr> </tbody> </table> <p><span><em>Ratkaisu</em>: Koska<span> </span><b>sqrt 50</b></span><span><b> </b>= 7,01..., rittää, että vedetään yli luvut, jotka on jaollisia alkuluvuilla 2, 3, 5 ja 7.<br/> </span><b><span><br/> ESIM 4.</span></b><span> </span>Tutki, onko luku a) 113 b) 137 alkuluku.</p> <p>a) <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%7B113%7D%3D10%7B%2C%7D63..." alt="\sqrt{113}=10{,}63..."/>, joten tutkitaan, onko 113 jaollinen alkuluvuilla 2, 3, 5, 7.<br/> 113 / 2 = 56,5<br/> 113 / 3 = 37,66...<br/> 113 / 5 = 22,6<br/> 113 / 7 = 16,14...<br/> Ei ole jaollinen näillä, joten <b>on alkuluku</b>.<br/> <br/> b) <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%7B137%7D%3D11%7B%2C%7D7..." alt="\sqrt{137}=11{,}7..."/><br/> tutkitaan, onko 137 jaollinen alkuluvuilla 2, 3, 5, 7, 11.<br/> Ei ole jaollinen millään noista, joten <b>on alkuluku</b>.<br/> <br/> </p> <p>---------</p> <p><b>Suurin yhteinen tekijä</b><br/> Jos kaksi lukua on molemmat jaollisia luvulla<span> </span><em>n</em><span> </span>∈ ℤ₊, on<span> </span><em>n</em><span> </span>silloin lukujen<span> </span><em><span>yhteinen tekijä</span></em>.</p> <p>Suurin lukujen<span> </span><em>a</em><span> </span>ja<span> </span><em>b</em><span> </span>yhteisistä tekijöistä on lukujen<span> </span><em>a</em><span> </span>ja<span> </span><em>b</em><span> </span><em>suurin yhteinen tekijä</em>. Merkitään<span> </span><b>syt(a, b)</b>.<br/> <br/> <b>ESIM.</b> <span> </span>Etsi lukujen 12 ja 30 suurin yhteinen tekijä.<br/> <br/> 12 = 2*<b>2*3</b><br/> 30 =<span> </span><b>2*3</b>*5<br/> <br/> Yhteiset<span> </span>tekijät 2*3, joten suurin yhteinen tekijä on<span> </span><span class="editor underline"><b>6</b></span>.<br/> <br/> <b><span>Pienin yhteinen jaettava</span></b></p> <p>Lukujen<span> </span><span>a</span><span> </span>ja<span> </span><span>b</span><span> </span><em><span>pienin yhteinen jaettava</span></em>on pienin positiivinen kokonaisluku, joka on jaollinen molemmilla luvuilla<span> </span><span>a</span><span> </span>ja<span> </span><span>b</span>. Merkitään<span> </span><b>pyj(<span>a</span>,<span> </span><span>b</span>)</b>.</p> <ul> <li>HUOM! Voidaan myös puhua<span> </span><em><span>pienimmästä yhteisestä monikerrasta</span></em>.</li> <li>Kun murtoluvut lavennetaan samannimisiksi, niiden nimittäjäksi yritetään saada nimittäjien pienin yhteinen jaettava.</li> <li>(Murtolukujen supistaminen on osoittajan ja nimittäjän jakamista niiden suurimmalla yhteisellä tekijällä.)</li> </ul> <p><b>Miten</b>: Jaetaan molemmat alkutekijöihin. Pienimmän yhteisen monikerran tekijöitä ovat molempien tekijät mutta yhteiset vain kerran.</p> <p><b>ESIM</b>. Etsi lukujen 12 ja 30<span> </span>pienin yhteinen monikerta.<br/> <br/> 12 =<span> </span><b>2 *<span> </span><span class="editor underline">2</span></b><span> </span>*<span> </span><span class="editor underline"><b>3</b></span><br/> 30 =<span> </span><span class="editor underline">2</span><span> </span>*<span> </span><span class="editor underline">3</span><span> </span>*<span> </span><b>5 <br/> </b><br/> (2 ja 3 valittiin jo) Pienin yhteinen monikerta on 2 * 2 * 3 * 5 =<span> </span><b><span class="editor underline">60</span></b>.</p> 2018-04-16T12:31:35+03:00