https://peda.net/id/be763bce520 2019-03-29T11:05:05+02:00 https://peda.net/:static/535/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/b8d8d258552 2019-04-02T12:43:08+03:00 <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a%3Dnk%7B%2C%7D%5C%20k%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D" alt="a=nk{,}\ k\in\mathbb{Z}"/><br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=b%3Dnl%7B%2C%7D%5C%20l%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D" alt="b=nl{,}\ l\in\mathbb{Z}"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ab%3Dnknl" alt="ab=nknl"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ab%3Dn%5E2%5Ccdot%20k%5Ccdot%20l" alt="ab=n^2\cdot k\cdot l"/></div> <div>ab on jaollinen luvulla n²</div> 2019-04-02T12:43:08+03:00 https://peda.net/id/9bf3fbfa547 2019-04-01T15:43:49+03:00 <div>a) <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=q%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D" alt="q\in\mathbb{Z}"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B2q%5Ccdot2q%7D%7B2%7D%3D2q" alt="\frac{2q\cdot2q}{2}=2q"/></div> <div>pinta-ala on parillinen kokonaisluku<br/> <br/> b)<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ei%5C%20voida%7B%2C%7D%5C%20esimerkiksi%5C%202%2B6" alt="ei\ voida{,}\ esimerkiksi\ 2+6"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2%5E2%2B6%5E2%3Dx%5E2" alt="2^2+6^2=x^2"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%3D40%5C%20%5Cparallel%5Csqrt%7B%20%7D" alt="x^2=40\ \parallel\sqrt{ }"/><br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D6%7B%2C%7D324555..." alt="x=6{,}324555..."/><br/> ei ole parillinen kokonaisluku</div> </div> 2019-04-01T15:42:28+03:00 https://peda.net/id/3f3c6b20547 2019-04-01T15:36:41+03:00 Juha on todistanut että jos luku on jaollinen luvulla 3, se on jaollinen myös luvulla 6.<br/> <div>Mutta Juhan alkuperäistä väitettä vastoin, jos luku on jaollinen luvulla 3, se ei välttämättä ole jaollinen luvulla 6</div> <div>Esimerkiksi vaikkapa luku 9</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=9%3D3%5Ccdot3" alt="9=3\cdot3"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=9%3D1%5Ccdot6%2B3" alt="9=1\cdot6+3"/></div> 2019-04-01T15:18:24+03:00 https://peda.net/id/1d37b6ca547 2019-04-01T15:10:17+03:00 <div>nelikulmio ei ole välttämättä suorakulmio, se voi olla myös puolisuunnikas</div> <div>epätosi</div> <div> </div> <div>nelikulmion jäljelle jäävien kulmien summa, kun siinä on kaksi suoraa kulmaa:</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=360%C2%B0-90%C2%B0-90%C2%B0%3D180%C2%B0" alt="360°-90°-90°=180°"/><br/> tosi</div> <div> </div> 2019-04-01T15:10:17+03:00 https://peda.net/id/e7eb61a2547 2019-04-01T15:01:39+03:00 <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ab%3Ea" alt="ab&gt;a"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ab%3Eb" alt="ab&gt;b"/><br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%5Ccdot0%3D0" alt="1\cdot0=0"/></div> <div>0 ei ole suurempi kuin 0</div> <div>epätosi</div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7B1%7D%3D1" alt="\frac{1}{1}=1"/></div> <div>1 ei ole suurempi kuin 1</div> <div>epätosi</div> <div> </div> <div> </div> 2019-04-01T15:01:39+03:00 https://peda.net/id/b8a386fa547 2019-04-01T14:53:10+03:00 <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cin%5Cmathbb%7BZ4%5Cin%5Cmathbb%7BN%5Cmathbb%7BC%5Cin%7D%7D%7D" alt="\in\mathbb{Z4\in\mathbb{N\mathbb{C\in}}}"/></div> <div> </div> <div> </div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%2B6x%2B10%3E1" alt="x^2+6x+10&gt;1"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D" alt="x\in\mathbb{R}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-3" alt="x=-3"/><br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(-3%5Cright)%5E2%2B6%5Ccdot%5Cleft(-3%5Cright)%2B10%3D1%3E1" alt="\left(-3\right)^2+6\cdot\left(-3\right)+10=1&gt;1"/></div> <div>epätosi</div> 2019-04-01T14:53:10+03:00 https://peda.net/id/916cb358521 2019-03-29T13:12:40+02:00 <div>onko kolmen peräkkäisen kokonaisluvun summa aina jaollinen kolmella?</div> <div>olkoon n∈ℤ</div> <div>olkoon luvut n, n+1 ja n+2</div> <div>luku a on jaollinen luvulla 3 jos ja vain jos a:3 jakojäännös on 0<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a%3D3q%2B0%7B%2C%7D%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20q%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D" alt="a=3q+0{,}\ \ \ \ \ q\in\mathbb{Z}"/><br/> toisin sanoen <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a%5Cequiv0%5C%20%5Cleft(mod%5C%203%5Cright)" alt="a\equiv0\ \left(mod\ 3\right)"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%2B%5Cleft(n%2B1%5Cright)%2B%5Cleft(n%2B2%5Cright)%5Cequiv0%5C%20%5Cleft(mod%5C%203%5Cright)" alt="n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)\equiv0\ \left(mod\ 3\right)"/></div> <div>n voi olla kongruentti joko luvun 0, 1 tai 2 kanssa</div> <div>käydään kaikki vaihtoehdot läpi</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%5Cequiv0%5C%20%5Cleft(mod%5C%203%5Cright)" alt="n\equiv0\ \left(mod\ 3\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%2B%5Cleft(n%2B1%5Cright)%2B%5Cleft(n%2B2%5Cright)%5Cequiv0%2B1%2B2%5C%20%3D3%5Cequiv0%5Cleft(mod%5C%203%5Cright)" alt="n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)\equiv0+1+2\ =3\equiv0\left(mod\ 3\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%5Cequiv1%5C%20%5Cleft(mod%5C%203%5Cright)" alt="n\equiv1\ \left(mod\ 3\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%2B%5Cleft(n%2B1%5Cright)%2B%5Cleft(n%2B2%5Cright)%5Cequiv1%2B2%2B0%3D3%5Cequiv0%5C%20%5Cleft(mod%5C%203%5Cright)" alt="n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)\equiv1+2+0=3\equiv0\ \left(mod\ 3\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%5Cequiv2%5C%20%5Cleft(mod%5C%203%5Cright)" alt="n\equiv2\ \left(mod\ 3\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%2B%5Cleft(n%2B1%5Cright)%2B%5Cleft(n%2B2%5Cright)%5Cequiv2%2B0%2B1%5C%20%3D3%5Cequiv0%5Cleft(mod%5C%203%5Cright)" alt="n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)\equiv2+0+1\ =3\equiv0\left(mod\ 3\right)"/></div> <div>summa on aina jaollinen kolmella, väite on siis tosi</div> <div> </div> 2019-03-29T13:12:40+02:00 https://peda.net/id/11637888521 2019-03-29T12:54:47+02:00 <div>4.1</div> <div> </div> <div>-Väite on tosi tai epätosi</div> <div>- Väitteen epätodeksi osoittamiseen riittää jo yksi vastaesimerkki</div> <div>onko kaikilla reaaliluvuilla x (x∈ℝ)<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2-4x%2B4%3E0" alt="x^2-4x+4&gt;0"/>?</div> <div> </div> <div>sijoitetaan x paikalle lukuja ja testataan</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D1" alt="x=1"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%5E2-4%5Ccdot1%2B4%3D1%3E0" alt="1^2-4\cdot1+4=1&gt;0"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D2" alt="x=2"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2%5E2-4%5Ccdot2%2B4%3E0" alt="2^2-4\cdot2+4&gt;0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=4-8%2B4%3D0%3E0" alt="4-8+4=0&gt;0"/></div> <div>epätosi</div> <div> </div> <div>- Jos tehtävä on muotoa &quot;osoita, että&quot;, on väite todistettava oikeaksi</div> <div> </div> <div>Esim. osoita, että</div> <div>a) parittoman kokonaisluvun neliö on pariton</div> <div> </div> <div>Olkoon n∈ℤ pariton.</div> <div>n voidaan esittää muodossa <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%3D2k%2B1%7B%2C%7D%5C%20%5C%20%5C%20k%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D" alt="n=2k+1{,}\ \ \ k\in\mathbb{Z}"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%5E2%3D%5Cleft(2k%2B1%5Cright)%5E2%3D4k%5E2%2B4k%2B1%3D2%5Cleft(2k%5E2%2B2k%5Cright)%2B1%3D2m%2B1%7B%2C%7D%5C%20m%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D" alt="n^2=\left(2k+1\right)^2=4k^2+4k+1=2\left(2k^2+2k\right)+1=2m+1{,}\ m\in\mathbb{Z}"/></div> <div>Siis n² on pariton</div> <div>Väite on todistettu</div> <div> </div> <div>b) kolmen peräkkäisen parillisen kokonaisluvun tulo on jaollinen luvulla 8</div> <div>Oletus: Olkoon n∈ℤ parillinen eli <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%3D2k%7B%2C%7D%5C%20n%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D" alt="n=2k{,}\ n\in\mathbb{Z}"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--></div> <div>Tällöin peräkkäiset parilliset luvut ovat n, n+2 ja n+4</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%3D2k" alt="n=2k"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%2B2%3D2k%2B2" alt="n+2=2k+2"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%2B2%3D2k%2B4" alt="n+2=2k+4"/></div> <div>väite:<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%5Cleft(n%2B2%5Cright)%5Cleft(n%2B4%5Cright)%3D8c%7B%2C%7D%5C%20c%5Cin%5Cmathbb%7B%5Cmathbb%7B%5Cmathbb%7BZ%7D%7D%7D" alt="n\left(n+2\right)\left(n+4\right)=8c{,}\ c\in\mathbb{\mathbb{\mathbb{Z}}}"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%5Cleft(n%2B2%5Cright)%5Cleft(n%2B4%5Cright)%3D2k%5Cleft(2k%2B2%5Cright)%5Cleft(2k%2B4%5Cright)" alt="n\left(n+2\right)\left(n+4\right)=2k\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3Dn%5Cleft(n%5E2%2B6n%2B8%5Cright)%3Dn%5E3%2B6n%5E2%2B8n%3D8k%5E3%2B24k%5E2%2B16k" alt="=n\left(n^2+6n+8\right)=n^3+6n^2+8n=8k^3+24k^2+16k"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=8%5Cleft(k%5E3%2B3k%5E2%2B2%5Cright)%7B%2C%7D%3D8c%7B%2C%7D%5C%20c%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D" alt="8\left(k^3+3k^2+2\right){,}=8c{,}\ c\in\mathbb{Z}"/><br/> siis n(n+2)(n+4) on jaollinen luvulla 8</div> <div> </div> <div>c) kolmen peräkkäisen kokonaisluvun tulo on jaollinen luvulla 6</div> <div>Oletus: Olkoon n∈ℤ</div> <div>tällöin peräkkäiset kokonaisluvut ovat n, n+1, n+2</div> <div>väite: <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%5Cleft(n%2B1%5Cright)%5Cleft(n%2B2%5Cright)%5Cequiv0%5C%20%5Cleft(mod%5C%206%5Cright)" alt="n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\equiv0\ \left(mod\ 6\right)"/><br/> luku a on jaollinen luvulla 6 jos ja vain jos a:6 jakojäännös on 0</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a%3D6q%2B0%7B%2C%7D%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20q%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D" alt="a=6q+0{,}\ \ \ \ \ q\in\mathbb{Z}"/></div> <div>toisin sanoen <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a%5Cequiv0%5C%20%5Cleft(mod%5C%206%5Cright)" alt="a\equiv0\ \left(mod\ 6\right)"/></div> <div>kun luku jaetaan luvulla 6, jakojäännös voi olla kokonaisluku väliltä 0-5, luku on muotoa <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=6q%7B%2C%7D%5C%206q%2B1%7B%2C%7D%5C%206q%2B2%7B%2C%7D%5C%206q%2B3%7B%2C%7D%5C%206q%2B4%7B%2C%7D%5C%206q%2B5" alt="6q{,}\ 6q+1{,}\ 6q+2{,}\ 6q+3{,}\ 6q+4{,}\ 6q+5"/></div> <div>Käytetään kongruenssia mod 6</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%5Cleft(n%2B1%5Cright)%5Cleft(n%2B2%5Cright)%5Cequiv0%5C%20%5Cleft(mod%5C%206%5Cright)" alt="n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\equiv0\ \left(mod\ 6\right)"/></div> <div>nyt n voi olla </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%5Cequiv0%7B%2C%7D%5C%20n%5Cequiv1%7B%2C%7D%5C%20n%5Cequiv2%7B%2C%7D%5C%20n%5Cequiv3%7B%2C%7D%5C%20n%5Cequiv4%7B%2C%7D%5C%20n%5Cequiv5%5C%20%5Cleft(mod%5C%206%5Cright)" alt="n\equiv0{,}\ n\equiv1{,}\ n\equiv2{,}\ n\equiv3{,}\ n\equiv4{,}\ n\equiv5\ \left(mod\ 6\right)"/></div> <div>käydään kaikki vaihtoehdot läpi</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%5Cequiv0%5C%20%5Cleft(mod%5C%206%5Cright)" alt="n\equiv0\ \left(mod\ 6\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%5Cleft(n%2B1%5Cright)%5Cleft(n%2B2%5Cright)%5Cequiv0%5Cleft(0%2B1%5Cright)%5Cleft(0%2B2%5Cright)" alt="n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\equiv0\left(0+1\right)\left(0+2\right)"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%5Cequiv1%5C%20%5Cleft(mod%5C%206%5Cright)" alt="n\equiv1\ \left(mod\ 6\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%5Cleft(n%2B1%5Cright)%5Cleft(n%2B2%5Cright)%5Cequiv1%5Ccdot2%5Ccdot3%3D6%5Cequiv0%5C%20%5Cleft(mod%5C%206%5Cright)" alt="n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\equiv1\cdot2\cdot3=6\equiv0\ \left(mod\ 6\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%5Cequiv2%5C%20%5Cleft(mod%5C%206%5Cright)" alt="n\equiv2\ \left(mod\ 6\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%5Cleft(n%2B1%5Cright)%5Cleft(n%2B2%5Cright)%3D2%5Ccdot3%5Ccdot4%3D24%5Cequiv0%5C%20%5Cleft(mod%5C%206%5Cright)" alt="n\left(n+1\right)\left(n+2\right)=2\cdot3\cdot4=24\equiv0\ \left(mod\ 6\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%5Cequiv3%5C%20%5Cleft(mod%5C%206%5Cright)" alt="n\equiv3\ \left(mod\ 6\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%5Cleft(n%2B1%5Cright)%5Cleft(n%2B2%5Cright)%3D3%5Ccdot4%5Ccdot5%3D60%5Cequiv0%5Cleft(mod%5C%206%5Cright)" alt="n\left(n+1\right)\left(n+2\right)=3\cdot4\cdot5=60\equiv0\left(mod\ 6\right)"/></div> <div>etc.</div> 2019-03-29T12:54:47+02:00