Algebra

Ryhmäteorian aksioomat

2020-02-25T14:10:24+02:00

Joukosta [[$G$]] ja operaatiosta [[$(a,b) \mapsto a \circ b$]] koostuva pari [[$(G,\circ)$]] on ryhmä, jos seuraavat ehdot toteutuvat:

Jos [[$a,b\in G$]], niin [[$a\circ b \in G$]].
Jos [[$a,b,c\in G$]], niin [[$a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c$]].
On olemassa sellainen [[$e\in G$]], että jos [[$a\in G$]], niin [[$a\circ e = e\circ a = a$]].
Jos [[$a\in G$]], niin on olemassa sellainen [[$a^{-1}\in G$]], että [[$a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a = e$]].

Potenssilausekkeiden algebra

2025-03-26T16:20:59+02:00

Lause
Olkoon [[$k\in\mathbb{R}_+$]], ja olkoot
[[$$G_k = \{k^x\ |\ x\in\mathbb{R}\}.$$]]

Tällöin [[$\ (G_k,\cdot)$]] on ryhmä, jonka on määritelmänsä nojalla isomorfinen ryhmän [[$\ (\mathbb{R},+)$]] kanssa.

Todistus
Olkoon [[$f:G_k\rightarrow\mathbb{R},\ f(x)=\log_k x$]]. Tällöin [[$f(x \cdot y)=f(x) + f(y)$]], [[$f(k^0)=f(1)=\log_k 1 = 0 = f(0)$]] ja [[$f(k^{-x})=-x=-f(x)$]], joten [[$f$]] on homomorfismi. Lisäksi [[$f$]] on [[$k$]]-kantaisena logaritmina bijektiivinen. Väite seuraa, m.o.t.

Seuraus
Potenssi on toistettua kertolaskua siinä, missä kertolasku on toistettua yhteenlaskua. Kertolaskun ja yhteenlaskun välisen yhteyden voi siis yleistää koskemaan potenssin ja kertolaskun välistä yhteyttä.

Polynomin määrittely

2020-03-03T18:56:02+02:00

Reaalikertoimisten polynomien joukoksi kutsutaan joukkoa
[[$$\mathbb{R}[X]=\left\{p_0+p_1X+p_2X^2+...+p_iX^i\ |\ p_0,...,p_i\in\mathbb{R}\right\}$$]]
Olkoot
[[$$P(X)=p_0+p_1X+p_2X^2+...+p_iX^i$$]]
ja
[[$$Q(X)=q_0+q_1X+q_2X^2+...+q_jX^j$$]]
polynomeja, ja oletetaan, että [[$i\leq j$]]. Tällöin määritellään summapolynomiksi [[$\ (P+Q)(X)$]] polynomi
[[$$(P+Q)(X)=(p_0+q_0)+(p_1+q_1)X+...+(p_i+q_i)X^i+q_{i+1}X^{i+1}+...+q_jX^j$$]]
ja tulopolynomiksi [[$\ (PQ)(X)$]] polynomi
[[$$(PQ)(X)=p_0q_0+(p_0q_1+p_1q_0)X+(p_0q_2+p_1q_1+p_2q_0)X^2...+p_iq_jX^{i+j}.$$]]

Lause. Struktuuri [[$\ \left(\mathbb{R}[X],+,\cdot\right)$]] on kokonaisalue.

Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteissa

2025-03-19T14:46:28+02:00

Tavoitealue T14 ohjata oppilasta ymmärtämään tuntemattoman käsite ja kehittämään yhtälönratkaisutaitojaan

Tavoitteista johdetut oppimisen tavoitteet

Oppilas ymmärtää tuntemattoman ja lausekkeen käsitteet sekä ratkaisee ensimmäisen asteen ja vaillinaisen toisen asteen yhtälöitä päättelemällä ja symbolisesti.

Sisältöalueet

Perehdytään muuttujan käsitteeseen ja lausekkeen arvon laskemiseen. Harjoitellaan potenssilausekkeiden sieventämistä. Tutustutaan polynomin käsitteeseen ja harjoitellaan polynomien yhteen-, vähennys- ja kertolaskua. Harjoitellaan muodostamaan lausekkeita ja sieventämään niitä. Muodostetaan ja ratkaistaan ensimmäisen asteen yhtälöitä ja vaillinaisia toisen asteen yhtälöitä. Ratkaistaan yhtälöpareja graafisesti ja algebrallisesti. Tutustutaan ensimmäisen asteen epäyhtälöihin ja ratkaistaan niitä. Syvennetään oppilaiden taitoa tutkia ja muodostaa lukujonoja. Käytetään verrantoa tehtävien ratkaisussa.

Kuvataan riippuvuuksia sekä graafisesti että algebrallisesti. Tutustutaan suoraan ja kääntäen verrannollisuuteen. Perehdytään funktion käsitteeseen. Piirretään suoria ja paraabeleja koordinaatistoon. Opitaan suoran kulmakertoimen ja vakiotermin käsitteet. Tulkitaan kuvaajia esimerkiksi tutkimalla funktion kasvamista ja vähenemistä. Määritetään funktioiden nollakohtia.

Laaja-alaisen osaamisen alueet

Arvioinnin kohde

Tuntemattoman käsite ja yhtälönratkaisutaito

Matematiikan päättöarvioinnin kriteerit oppimäärän päättyessä

Arvosana	Osaamisen kuvaus
Osaamisen kuvaus arvosanalle 5	Oppilas yhdistää samanmuotoisia termejä. Oppilas ratkaisee ohjattuna ensimmäisen asteen yhtälöitä ja päättelee ohjattuna vaillinaisen toisen asteen yhtälön jonkin ratkaisun.
Osaamisen kuvaus arvosanalle 7	Oppilas sieventää lausekkeita. Oppilas ymmärtää yhtäsuuruuden säilymisen ja ratkaisee ensimmäisen asteen yhtälön symbolisesti ja vaillinaisen toisen asteen yhtälön joko päättelemällä tai symbolisesti.
Osaamisen kuvaus arvosanalle 8	Oppilas ymmärtää yhtäsuuruuden käsitteen ja ratkaisee vaillinaisen toisen asteen yhtälön symbolisesti.
Osaamisen kuvaus arvosanalle 9	Oppilas käyttää sujuvasti tuntematonta yhtälön muodostami

Tavoitealue T15 ohjata oppilasta ymmärtämään muuttujan käsite ja tutustuttaa funktion käsitteeseen; ohjata oppilasta harjoittelemaan funktion kuvaajan tulkitsemista ja tuottamista

Tavoitteista johdetut oppimisen tavoitteet

Oppilas laajentaa käsitystään muuttujista kahden muuttujan yhtälöihin ja piirtää ensimmäisen ja toisen asteen funktion kuvaajia. Oppilas tekee päätelmiä funktion ja sen kuvaajan välisestä yhteydestä.

Sisältöalueet

Laaja-alaisen osaamisen alueet

Arvioinnin kohde

Muuttujan ja funktion käsitteet sekä kuvaajien tulkitseminen ja tuottaminen

Matematiikan päättöarvioinnin kriteerit oppimäärän päättyessä

Arvosana	Osaamisen kuvaus
Osaamisen kuvaus arvosanalle 5	Oppilas laskee lausekkeen arvon ja lukee leikkauspisteiden koordinaatteja. Oppilas tunnistaa nousevan ja laskevan suoran yhtälöstä. Oppilas piirtää ohjattuna ensimmäisen asteen funktion kuvaajan koordinaatistoon.
Osaamisen kuvaus arvosanalle 7	Oppilas sijoittaa muuttujan paikalle lukuarvoja ja saatuja pisteitä koordinaatistoon. Oppilas piirtää ensimmäisen asteen funktion kuvaajan ja ratkaisee ohjattuna yhtälöparin graafisesti tai algebrallisesti.
Osaamisen kuvaus arvosanalle 8	Oppilas ymmärtää muuttujan ja funktion käsitteet sekä osaa piirtää funktion kuvaajia. Oppilas ratkaisee annetun yhtälöparin graafisesti ja algebrallisesti.
Osaamisen kuvaus arvosanalle 9	Oppilas käyttää yhtälöparia ongelmanratkaisussa ja ymmärtää yhtälönratkaisun geometrisen merkityksen. Oppilas osaa tulkita kuvaajia monipuolisesti.

Jaollisuussäntöjä

2020-03-08T17:26:19+02:00

Luku on jaollinen kahdella, jos ja vain jos sen viimeinen numero on jaollinen kahdella.
Luku on jaollinen kolmella, jos ja vain jos sen numeroiden summa on jaollinen kolmella.
Luku on jaollinen viidellä, jos ja vain jos sen viimeinen numero on 0 tai 5.
Luku on jaollinen kuudella, jos ja vain jos se on jaollinen kahdella ja kolmella.
Luku on jaollinen yhdellätoista, jos ja vain jos luvun joka toisesta numerosta koostuvat summat ovat yhtä suuret tai luvulla yksitoista jaolliset.
Luvulla on aina tekijä, joka on pienempi kuin jaettavan luvun neliöjuuri.

Erastotheneen seula

2026-03-24T18:50:11+02:00

Muodosta taulukko luvuista [[$1,...,100$]].
Ruksita [[$1$]].
Ympyröi seuraava luku, jota ei ole merkitty ympyröimällä tai ruksittamalla.
Ruksita kaikki ympyröimäsi luvun moninkerrat.
Jatka askeleesta 3, kunnes kaikki taulukkosi luvut on merkitty joko ympyröimällä tai ruksittamalla.
Tutki, kuinka monta ympyröimääsi lukua osuu seuraaville väleille:
- [[$1,...,10$]]
- [[$1,...,20$]]
- [[$1,...,50$]]
- [[$1,...,100$]]

Sieve of Erastothenes.pdf

Yhtälön ratkaiseminen ryhmässä

2020-02-25T14:23:43+02:00

Olkoon [[$\ (G,\circ)$]] ryhmä, ja olkoot [[$a,b\in G$]]. Tällöin
[[$a \circ x = b$]]
[[$ \iff a^{-1}\circ(a\circ x)=a^{-1}\circ b $]]
[[$\iff (a^{-1}\circ a)\circ x=a^{-1}\circ b $]]
[[$\iff e\circ x = a^{-1}\circ b$]]
[[$ \iff x = a^{-1}\circ b$]]

Cognitive reflection test

2024-01-17T15:12:49+02:00

Linkki testiin

Pystytkö siihen, mihin 83 prosenttia ei pysty?

Potenssilausekkeet ylioppilaskokeissa

2025-03-26T16:23:28+02:00

Kevään 2025 lyhyen matematiikan kokeen avoimessa konstruktiotehtävässä pohdittiin potenssi- ja eksponenttiyhtälön välistä eroa.