Esimerkkien ratkaisut

Esimerkin 1 ratkaisu

2024-09-05T11:56:24+03:00

Typen isotooppi N-13 on beeta⁺-aktiivinen.

Laske hajoamisreaktion energia.
Miksi hajoamisen tuotteena syntyneen beeta⁺ -hiukkasen nopeus voi olla erilainen eri N-13 ytimien hajoamisreaktioissa?

Ratkaisu

a. Beeta⁺-säteilyssä tytärytimen järjestysluku pienenee yhdellä, mutta massaluku pysyy samana. Taulukkokirjasta saadaan tieto, että N-13-isotoopin tytärydin olisi hiilen isotooppi C-13.

[[$ \quad ^{13}_{\ \ 7}\text{N} \rightarrow {^{13}_{\ \ 6}\text{C}}+{^{\ \ \ 0}_{+1}\text{e}}^++\nu $]]

Lasketaan aluksi hajoamisreaktion massan muutos.

[[$ \quad \begin{align*} \Delta m&=m_\text{N-ydin}-m_\text{C-ydin}-m_\text{e} \\ \, \\ &=(m_\text{N-atomi}-7m_\text{e})-(m_\text{C-atomi}-6m_\text{e})-m_\text{e} \\ \, \\ &=m_\text{N-atomi}-m_\text{C-atomi}-2m_\text{e} \\ \, \\ &=13{,}005738\text{ u}-13{,}003355\text{ u} - 2 \cdot 5{,}4857990\cdot 10^{-4} \text{ u} \\ \, \\ &=0{,}00128584\ldots \text{u}\approx 0{,}001286\text{u} \end{align*} $]]

Reaktioenergia on

[[$ \quad Q=\Delta mc^2=0{,}0012858\cdot 931{,}49 \text{ MeV}/c^2\cdot c^2 =1{,}1977 \ldots \text{MeV} \approx 1{,}198 \text{ MeV} $]]

Reaktion energia on n. 1,198 MeV.

b. Hajoamisreaktiossa syntyvät hiiliatomi, positroni ja neutriino. Liikemäärä ja energia säilyvät reaktiossa.

Liikemäärän määritelmä:

[[$\quad p=mv$]]

Kaavassa [[$v$]] on nopeus.

Koska liikemäärä voi jakaantua kolmelle hiukkaselle, voi positronin liikemäärä saada monenlaisia arvoja. Positronin liikemäärä ja edelleen liikemäärään kytkeytynyt nopeus voi täten olla mitä tahansa maksiminopeuden ja nollan välillä.

Takaisin

Esimerkin 2 ratkaisu

2024-09-05T11:55:04+03:00

Berylliumin isotooppi Be-7 hajoaa elektronisieppauksen kautta. Kirjoita hajoamisreaktio, ja laske reaktion energia.

Ratkaisu

Elektronisieppauksessa tytärytimen järjestysluku pienenee yhdellä, mutta massaluku pysyy samana. Taulukkokirjasta saadaan tieto, että Be-7-isotoopin tytärydin on litiumin isotooppi Li-7.

Kirjoitetaan berylliumin hajoamisreaktio

[[$ \quad ^{7}_{4}\text{Be} +{^{0}_{ -1}\text{e}}\rightarrow {^{7}_{3}\text{Li}}+\nu $]]

Lasketaan aluksi hajoamisreaktion massan muutos.

[[$ \begin{align*} \Delta m&=m_\text{Be-ydin}+m_\text{e}-m_\text{Li-ydin} \\ \, \\ &=(m_\text{Be-atomi}-4\cdot m_\text{e})+m_\text{e}-(m_\text{Li-atomi}-3\cdot m_\text{e})\\ \, \\ &=m_\text{Be-atomi}-4\cdot m_\text{e}+m_\text{e}-m_\text{Li-atomi}+3\cdot m_\text{e} \\ \, \\ &=m_\text{Be-atomi}-m_\text{Li-atomi} \\ \, \\ &=7,0169299 \text{ u}-7,016003 \text{ u}\\ \, \\ &=0,0009269 \text{ u} \end{align*} $]]

Reaktioenergia on

[[$ \quad Q=\Delta mc^2=0,000925\cdot 931,49 \text{ MeV}/c^2\cdot c^2 =0,8633 \ldots \text{ MeV} \approx 0,863 \text{ MeV} $]]

Reaktion energia on n. 0,863 MeV.

Takaisin

Esimerkin 3 ratkaisu

2024-09-05T11:59:46+03:00

Uraanin isotooppi U-235 on alfa-aktiivinen.

Kirjoita isotoopin hajoamisreaktio, ja laske hajoamisreaktion energia.
Laske alfahiukkasen liike-energia ja nopeus.

Ratkaisu

a. Uraanin isotoopin järjestysluku on Z = 92 ja massaluku on A = 235. Alfa-hajoamisen seurauksena syntyvän tytärytimen järjestysluku on Z = 92 - 2 = 90 ja massaluku on A = 235 - 4 = 231. Taulukkokirjasta saadaan tieto, että tytärydin on toriumin isotooppi Th-231.

[[$ \quad ^{235}_{\ \ 92}\text{U}\rightarrow{^{231}_{\ \ 90}\text{Th}}+ {^4_2\text{He}} $]]

Lasketaan aluksi hajoamisreaktion massan muutos.

[[$ \quad \begin{align*} \Delta m&=m_\text{U-ydin}-m_\text{Th-ydin}-m_\text{He-ydin} \\ \, \\ &=(m_\text{U-atomi}-92m_e)-(m_\text{Th-atomi}-90m_e)-(m_\text{He-atomi}-2m_e) \\ \, \\ &=m_\text{U-atomi}-m_\text{Th-atomi}-m_\text{He-atomi} \\ \, \\ &=235,043925 \text{ u}-231,036298 \text{ u}-4,0026033 \text{ u} \\ \, \\ &=0,0050237 \text{ u} \end{align*} $]]

Reaktioenergia on

[[$ \quad Q=\Delta mc^2=0,0050236 \cdot 931,49 \text{ MeV}/c^2\cdot c^2 =4,6795 \ldots \text{ MeV} \approx 4,680 \text{ MeV} $]]

Reaktion energia on n. 4,680 MeV.

b. Oletetaan, että emoydin on aluksi levossa, ja että tytärydin on reaktion jälkeen jäänyt perustilaan. Liikemäärän säilymislain mukaan

[[$ \quad \begin{align*} m_\text{He}v_\text{He}&=m_\text{U}v_\text{U} \\ \, \\ v_\text{U}&=\dfrac{m_\text{He}v_\text{He}}{m_\text{U}} \end{align*} $]]

Energian säilymislain mukaan reaktioenergia jakaantuu alfahiukkaselle ja tytärytimelle.

[[$ \quad \begin{align*} Q&=\dfrac{1}{2}m_\text{He}v_\text{He}^2+\dfrac{1}{2}m_\text{U}v_\text{U}^2 \quad &&||v_\text{U}=\frac{m_\text{He}v_\text{He}}{m_\text{U}} \\ \, \\ Q&=\dfrac{1}{2}m_\text{He}v_\text{He}^2+\dfrac{1}{2}m_\text{U}\Big( \frac{m_\text{He}v_\text{He}}{m_\text{U}}\Big)^2 \\ \, \\ Q&=\dfrac{1}{2}m_\text{He}v_\text{He}^2+\dfrac{1}{2}m_\text{U}\frac{m_\text{He}^2v_\text{He}^2}{m_\text{U}^2} \\ \, \\ Q&=\dfrac{1}{2}m_\text{He}v_\text{He}^2+\dfrac{1}{2}\frac{m_\text{He}^2v_\text{He}^2}{m_\text{U}} \\ \, \\ Q&=(1+\dfrac{m_\text{He}}{m_\text{U}})\cdot \dfrac{1}{2}m_\text{He}v_\text{He}^2 \\ \, \\ \dfrac{1}{2}m_\text{He}v_\text{He}^2&=\dfrac{Q}{1+\dfrac{m_\text{He}}{m_\text{U}}} \end{align*} $]]

Lasketaan alfahiukkasen liike-energian suuruus.

[[$ \quad \dfrac{1}{2}m_\text{He}v_\text{He}^2=\dfrac{4,6795\dots \cdot 10^6 \text{ eV}}{1+\dfrac{4,0026033 \text{ u}}{235,043925 \text{ u}}}=4601172,1\ldots \text{ eV} = 7,3718 \ldots \cdot 10^{-13} \text{ J}\approx 7,372\cdot 10^{-13}\text{ J}$]]

Lasketaan alfahiukkasen nopeus.

[[$ \quad \begin{align*} \dfrac{1}{2}m_\text{He}v_\text{He}^2&=E_\text{K He} \\ \, \\ v_\text{He}&=\sqrt{\dfrac{2E_\text{K He}}{m_\text{He}}} \\ \, \\ v_\text{He}&=\sqrt{\dfrac{2\cdot 7,3718\dots\cdot 10^{-13} \text{ J}}{4,0026033 \cdot 1,6605402 \cdot 10^{-27} \text{ kg} }}=14\,893\,904,1\ldots \text{ m/s} \approx 14,89 \text{ Mm/s} \end{align*} $]]

Takaisin