https://peda.net/id/87f57dec005 2026-02-02T18:52:16+02:00 https://peda.net/:static/537/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/7c60a9a2005 2026-02-05T14:14:46+02:00 <div>- Määritelmä<br/> <br/> </div> <div>Funktio, jonka derivaattafunktio on f, on tämän funktion integraalifunktio F</div> <div>ts </div> <div>Funktio F on funktion f integraalifunktio jos ja vain jos F '(x) = f(x) </div> <div>(funktion f määrittelyjoukon jokaisessa pisteessä)</div> <div> </div> <div>esimerkiksi funktiolla</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D2x-4%5C%20on%5C%20useita%5C%20integraalifunktioita%7B%2C%7D%5C%20kuten" alt="f\left(x\right)=2x-4\ on\ useita\ integraalifunktioita{,}\ kuten"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2-4x%7B%2C%7D%5C%20x%5E2-4x%2B2%7B%2C%7D%5C%20x%5E2-4x%5C%20-5%7B%2C%7D%5C%20jne" alt="x^2-4x{,}\ x^2-4x+2{,}\ x^2-4x\ -5{,}\ jne"/><br/> <br/> <div>yleisesti funktion f(x) = 2x - 4 kaikki integraalifunktiot ovat muotoa</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2-4x%2Bc%7B%2C%7D%5C%20miss%C3%A4%5C%20c%5C%20%3D%5C%20integroimisvakio" alt="x^2-4x+c{,}\ missä\ c\ =\ integroimisvakio"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=sill%C3%A4%5C%20D%5Cleft(x%5E2-4x%2Bc%5Cright)%3D2x-4" alt="sillä\ D\left(x^2-4x+c\right)=2x-4"/> <div> </div> <div>- funktion f(x) integraalia merkitään (tai kun funktio f(x) integroidaan)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7Df%5Cleft(x%5Cright)dx%3DF%5Cleft(x%5Cright)%2Bc" alt="\int_{ }^{ }f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+c"/></div> <span>F(x) on funktion f(x) jokin integraalifunktio ja F(x) + c on kaikki integraalifunktiot<br/> <br/> <br/> </span> <div>esimerkiksi</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7D%5Cleft(3x%5E2-x%2B1%5Cright)dx%3Dx%5E3-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bx%2Bc%7B%2C%7D%5C%20sill%C3%A4" alt="\int_{ }^{ }\left(3x^2-x+1\right)dx=x^3-\frac{1}{2}x^2+x+c{,}\ sillä"/></div> <span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%5Cleft(x%5E3-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%2Bx%2Bc%5Cright)%3D3x%5E2-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot2x%2B1%3D3x%5E2-x%2B1" alt="D\left(x^3-\frac{1}{2}x^2+x+c\right)=3x^2-\frac{1}{2}\cdot2x+1=3x^2-x+1"/><br/> </span> <div> </div> <div>- Integrointi ja derivointi ovat käänteisiä operaatioita</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=D%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7Df%5Cleft(x%5Cright)dx%3Df%5Cleft(x%5Cright)%5C%20%5C%20ja%5C%20%5C%20%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7DDf%5Cleft(x%5Cright)dx%3Df%5Cleft(x%5Cright)%5Cleft(%2Bc%5Cright)" alt="D\int_{ }^{ }f\left(x\right)dx=f\left(x\right)\ \ ja\ \ \int_{ }^{ }Df\left(x\right)dx=f\left(x\right)\left(+c\right)"/><br/> <br/> Tehtäviä 101 eteenpäin</div> <div><br/> <br/> </div> 2026-02-02T18:51:57+02:00 https://peda.net/id/b4f7e28a005 2026-02-09T12:09:23+02:00 <div> <div>Koska integrointi ja derivointi ovat käänteisiä operaatioita niin integroitaessa polynomia jokainen polynomin termi eli yhteenlaskettava voidaan integroida erikseen. Lisäksi tarvittaessa on mahdollista käyttää vakiotekijän siirtosääntöä.</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7D%5Cleft(f%5Cleft(x%5Cright)%2Bg%5Cleft(x%5Cright)%5Cright)dx%3D%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7Df%5Cleft(x%5Cright)dx%2B%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7Dg%5Cleft(x%5Cright)dx" alt="\int_{ }^{ }\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)dx=\int_{ }^{ }f\left(x\right)dx+\int_{ }^{ }g\left(x\right)dx"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7Da%5Ccdot%20f%5Cleft(x%5Cright)dx%3Da%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7Df%5Cleft(x%5Cright)dx%5C%20%5C%20%5Cleft(vakiotekij%C3%A4n%5C%20a%5C%20siirtos%C3%A4%C3%A4nt%C3%B6%5Cright)" alt="\int_{ }^{ }a\cdot f\left(x\right)dx=a\int_{ }^{ }f\left(x\right)dx\ \ \left(vakiotekijän\ a\ siirtosääntö\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Dx%5En%3Dn%5Ccdot%20x%5E%7Bn-1%7D%7B%2C%7D%5C%20josta%5C%20k%C3%A4%C3%A4nt%C3%A4en%5C%20%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7Dn%5Ccdot%20x%5E%7Bn-1%7Ddx%3Dx%5En%2Bc" alt="Dx^n=n\cdot x^{n-1}{,}\ josta\ kääntäen\ \int_{ }^{ }n\cdot x^{n-1}dx=x^n+c"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Voidaanko%5C%20p%C3%A4%C3%A4tell%C3%A4%5C%20s%C3%A4%C3%A4nt%C3%B6%5C%20x%5E%7Bn%5C%20%7Dintegroimiseksi%3F" alt="Voidaanko\ päätellä\ sääntö\ x^{n\ }integroimiseksi?"/><br/> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7Dx%5Endx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B1%7Dx%5E%7Bn%2B1%7D%2Bc%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20n%5Cne-1" alt="\int_{ }^{ }x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c{,}\ kun\ n\ne-1"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Perustelu%3A%5C%20D%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B1%7D%5Ccdot%20x%5E%7Bn%2B1%7D%2Bc%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B1%7D%5Ccdot%5Cleft(n%2B1%5Cright)%5Ccdot%20x%5En%2B0%3Dx%5En" alt="Perustelu:\ D\left(\frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}+c\right)=\frac{1}{n+1}\cdot\left(n+1\right)\cdot x^n+0=x^n"/><br/> <div> </div> <div>Polynomin integroinnissa voidaan käyttää yllämainittuja sääntöjä, mutta voidaan myös käyttää käänteistä ajattelua eli minkä lausekkeen derivaatta on integroitava lauseke.</div> <div> </div> <div>esim <br/> Määritä</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7D%5Cleft(6x%5E4-3x%5E2-4x%2B1%5Cright)dx%3D6%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7Dx%5E4dx-x%5E3-4%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7Dx%5E1dx-x" alt="\int_{ }^{ }\left(6x^4-3x^2-4x+1\right)dx=6\int_{ }^{ }x^4dx-x^3-4\int_{ }^{ }x^1dx-x"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D6%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7Dx%5E5-x%5E3-4%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2-x%2Bc" alt="=6\cdot\frac{1}{5}x^5-x^3-4\cdot\frac{1}{2}x^2-x+c"/> <div> </div> <div> </div> </div> <div>Kirjan tehtäviä alkaen tehtävästä 122<br/> <br/> Kotitehtäviä: 129, 130, 131a, 133</div> 2026-02-02T18:53:32+02:00 https://peda.net/id/263a141a058 2026-02-11T10:46:30+02:00 <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Potenssifunktion%5C%20x%5En%5C%20integrointi%5C%20yleisesti" alt="Potenssifunktion\ x^n\ integrointi\ yleisesti"/> <div> </div> <div>Tapaus 1: kun n ≠ -1 niin</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7Dx%5Endx%5C%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%2B1%7D%5Ccdot%5C%20x%5E%7Bn%2B1%7D%2Bc%3D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7Bn%2B1%7D%2Bc" alt="\int_{ }^{ }x^ndx\ =\frac{1}{n+1}\cdot\ x^{n+1}+c=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c"/></div> <span> Tämä sääntö on voimassa myös, kun n on negatiivinen kokonaisluku tai mikä tahansa murtoluku.</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Huom!%5C%20%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E4%7D%3Dx%5E%7B-4%7D%5C%20%5C%20tai%5C%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5E2%7D%3D2%5Ccdot%20x%5E%7B-2%7D" alt="Huom!\ \ \frac{1}{x^4}=x^{-4}\ \ tai\ \frac{2}{x^2}=2\cdot x^{-2}"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Juurimuoto%5C%20muutetaan%5C%20murtopotenssiksi%3A%5C%20" alt="Juurimuoto\ muutetaan\ murtopotenssiksi:\ "/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%7Bx%7D%3Dx%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%7B%2C%7D%5C%20%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D%3Dx%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%5C%20jne%7B%2C%7D%5C%20yleisesti%5C%20%5Csqrt%5Bn%5D%7Bx%5Ep%7D%3Dx%5E%7B%5Cfrac%7Bp%7D%7Bn%7D%7D" alt="\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}{,}\ \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}\ jne{,}\ yleisesti\ \sqrt[n]{x^p}=x^{\frac{p}{n}}"/><br/> <div> </div> <div>Tapaus 2: kun n = -1</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nyt%5C%20%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7Dx%5En%5C%20dx%3D%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7Dx%5E%7B-1%7Ddx%3D%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7Ddx%3D%5Cln%5Cleft%7Cx%5Cright%7C%2Bc%7B%2C%7D%5C%20sill%C3%A4%5C%20D%5Cln%20x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%3Dx%5E%7B-1%7D" alt="nyt\ \int_{ }^{ }x^n\ dx=\int_{ }^{ }x^{-1}dx=\int_{ }^{ }\frac{1}{x}dx=\ln\left|x\right|+c{,}\ sillä\ D\ln x=\frac{1}{x}=x^{-1}"/><br/> <br/> <br/> <span>Määritä</span> <div>a)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7D%5Cfrac%7Bx%5E3-2x%2B3%7D%7Bx%5E2%7Ddx" alt="\int_{ }^{ }\frac{x^3-2x+3}{x^2}dx"/></div> <span>b)</span><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7D%5Cleft(%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%7D%7D%5Cright)dx" alt="\int_{ }^{ }\left(\sqrt[3]{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx"/><br/> <br/> Kotitehtävät: 151, 154 ja 155</div> 2026-02-09T09:22:54+02:00