5. HAARAUTUVAT VIRTAPIIRIT (511–520)

511. Rinnankytkennän kokonaisresistanssi

2022-09-27T16:02:28+03:00

Määritä vastussysteemin kokonaisresistanssi, kun [[$ R = 25 \ Ω $]].

Ratkaisu

Vastukset on kytketty rinnan

[[$ R_{\text{KOK}}=(\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{2R}+\dfrac{1}{3R})^{-1} $]]

[[$ R=20 \textrm{ }\Omega $]]

Kokonaisresistanssiksi saadaan

[[$ R_{\text{KOK}}= 10,909\dots \textrm{ }\Omega \approx 11 \textrm{ }\Omega $]]

512. Vastussysteemin kokonaisresistanssi

2022-09-27T16:05:05+03:00

Määritä vastussysteemin kokonaisresistanssi, kun [[$ R = 220 \ Ω $]].

Ratkaisu

Vastukset [[$ R $]] ja [[$ 3 R $]] on kytketty rinnan. Vastusten yhteinen resistanssi on

[[$ R_{R, 3R}=(\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{3R})^{-1} $]]

[[$ R=220 \textrm{ }\Omega $]]

Vastusten [[$ R $]] ja [[$ 3 R $]] yhteiseksi resistanssiksi saadaan

[[$ R_{R,3R}=165 \textrm{ }\Omega $]]

Vastus [[$ 2 R $]] on kytketty sarjaan vastusten [[$ R $]] ja [[$ 3 R $]] kanssa. Kokonaisresistanssi on

[[$ R_{\text{kok}}=2R+R_{R, 3R} $]]

[[$ R=220 \textrm{ }\Omega $]]

Kokonaisresistanssiksi saadaan

[[$ R_{\text{kok}}=605 \textrm{ }\Omega $]]

514. Sähkövirta rinnan- ja sarjaankytkennöissä

2022-09-27T15:51:52+03:00

Kahden vastuksen resistanssit ovat 22 Ω ja 33 Ω. Jännitelähteen lähdejännite on 24 V ja sisäinen resistanssi hyvin pieni. Määritä piirissä syntyvä kokonaissähkövirta, kun vastukset kytketään

sarjaan
rinnan.

Ratkaisu

a. Merkitään vastuksien resistansseja [[$R_1=22 \ \Omega$]] ja [[$R_2=33 \ \Omega$]]. Kytkettäessä vastukset sarjaan saadaan Kirchhoffin II lain mukaan [[$U-R_1I-R_2I=0$]]. Tästä voidaan ratkaista sähkövirta:

[[$I=\dfrac{U}{R_1+R_2}=\dfrac{24\text{ V}}{22 \ \Omega+33 \ \Omega}=0,436\dots\text{A}\approx 0,44\text{ A}$]].

b. Rinnankytkennässä kummankin vastuksen napajännite on sama kuin pariston napajännite. Ohmin lain avulla voidaan laskea kummankin vastuksen läpi kulkeva virta erikseen:

[[$I_1=\dfrac{U}{R_1}$]]

[[$I_2=\dfrac{U}{R_2}$]]

Kokonaissähkövirta on Kirchhoffin I lain mukaan näiden kahden summa:

[[$I=I_1+I_2=\dfrac{U}{R_1}+\dfrac{U}{R_2}=\dfrac{24\text{ V}}{22 \ \Omega}+\dfrac{24\text{ V}}{33 \ \Omega}=1,81\dots\text{A}\approx 1,8\text{ A}$]]

515. Vastusten rinnankytkentä

2022-09-27T16:06:41+03:00

Määritä virtapiirissä kulkevien sähkövirtojen suuruudet, kun pariston napajännite on [[$ U = 12 \text { V} $]] , ja vastusten suuruudet ovat [[$ R_1 = 10 \ Ω $]] , [[$ R_2 = 22 \ Ω $]] ja [[$ R_3 = 31 \ Ω $]].

Ratkaisu

Kirchhoffin I lain mukainen yhtälö

[[$ I=I_1+I_2+I_3 $]]

Kirchhoffin II lain mukaiset yhtälöt

[[$ U-I_1R_1=0\\ \, \\ U-I_2R_2=0\\ \, \\ U-I_3R_3=0 $]]

Ratkaistaan yhtälöryhmä

[[$ \begin{equation} \begin{cases} I=I_1+I_2+I_3\\ 12 \textrm{ V} - 10 \textrm{ }\Omega\cdot I_1=0\\ 12 \textrm{ V} - 22 \textrm{ }\Omega\cdot I_2=0\\ 12 \textrm{ V} - 31 \textrm{ }\Omega\cdot I_3=0 \end{cases} \end{equation} $]]

Ratkaisuksi saadaan

[[$ \begin{equation} \begin{cases} I= \textrm{2,1325}\dots \textrm{ A}\approx \textrm{2,1 A}\\ I_1= \textrm{1,2 A}\\ I_2= \textrm{0,54545}\dots \textrm{ A}\approx \textrm{0,55 A}\\ I_3= \textrm{0,38709}\dots \textrm{ A}\approx \textrm{0,39 A} \end{cases} \end{equation} $]]

516. Sähkövirtojen määritys

2022-09-27T16:29:20+03:00

Määritä virtapiirissä kulkevien sähkövirtojen suuruudet, kun pariston napajännite on [[$ U = 12 \ V $]], ja vastusten suuruudet ovat [[$ R_1 = 10 \ Ω$]], [[$ R_2 = 22 \ Ω $]] ja [[$ R_3 = 31 \ Ω $]].

Ratkaisu

Kirchhoffin I lain mukainen yhtälö

[[$ I=I_1+I_2 $]]

Kirchhoffin II lain mukaiset yhtälöt

[[$ U-I_1R_1=0\\ U-I_2R_2-I_2R_3=0 $]]

Ratkaistaan yhtälöryhmä

[[$ \begin{equation} \begin{cases} I=I_1+I_2\\ 12 \textrm{ V} - 10 \textrm{ }\Omega\cdot I_1=0\\ 12 \textrm{ V} - 22 \textrm{ } \Omega\cdot I_2 -31 \textrm{ }\Omega \cdot I_2=0 \end{cases} \end{equation} $]]

Ratkaisuksi saadaan

[[$ \begin{equation} \begin{cases} I= \textrm{1,4264}\dots \textrm{ A}\approx \textrm{1,4 A}\\ I_1=\textrm{1,2 A}\\ I_2= \textrm{0,22641} \dots \textrm{ A}\approx \textrm{0,23 A} \end{cases} \end{equation} $]]

517. Pariston tuottama teho

2022-09-12T16:39:55+03:00

Kun kytkin on alhaalla virtamittarin lukema on 0,5 A ja jännitemittarin 6,0 V. Pariston sisäinen resistanssi on hyvin pieni.

Kuinka suuri on pariston tehontuotto, kun kytkin on suljettu?
Kuinka suuri on pariston tehontuotto, kun kytkin avataan?

Ratkaisu

Koska pariston sisäinen resistanssi on hyvin pieni, on pariston napajännite yhtä suuri kuin pariston lähdejännite. Koska vastukset ovat yhtä suuret, kulkee molempien vastusten läpi yhtä suuri sähkövirta. Vastuksen läpikulkevan sähkövirran suuruus on 0,25 A.

a. Vastukset on rinnan kytketty paristoon. Pariston napajännite on yhtä suuri kuin jännitemittarin lukema.

Sähköteho

[[$ P=EI=UI\\ \,\\P=6,0 \textrm{ V}\cdot 0,5 \textrm{ A}=3,0 \textrm{ W} $]]

b. Kytkin nostetaan ylös. Paristoa kuormittaa ainoastaan yksi vastus. Pariston tehontuotto on yhtä suuri kuin vastuksen tehonkulutus.

Sähköteho

[[$ P=EI=UI\\ \,\\ P=6,0 \textrm{ V}\cdot 0,25 \textrm{ A} = 1,5 \textrm{ W} $]]

518. Sähkövirrat kahden pariston kytkennässä

2022-09-27T17:59:53+03:00

Määritä virtapiirissä kulkevien sähkövirtojen suuruudet, kun paristojen napajännitteet ovat [[$ U_1 = 5,5 \text { V} $]] ja [[$ U_2 = 4,5 \text { V} $]], sekä vastusten resistanssit ovat [[$ R_1 = 18 \ Ω$]] ja [[$ R_2 = 14 \ Ω $]].

Ratkaisu

Kirchhoffin I lain mukainen yhtälö

[[$ I_1+I_2=I_3 $]]

Kirchhoffin II lain mukaiset yhtälöt

[[$ U_1-I_1R_1=0\\ U_2-I_2R_2=0 $]]

Ratkaistaan yhtälöryhmä

[[$ \begin{equation} \begin{cases} I_1+I_2=I_3\\ \textrm{5,5 V}-18\textrm{ } \Omega \cdot I_1=0\\ \textrm{4,5 V}-14\textrm{ } \Omega \cdot I_2=0 \end{cases} \end{equation} $]]

Ratkaisuksi saadaan

[[$ \begin{equation} \begin{cases} I_1= \textrm{0,30555} \dots \textrm{ A} \approx 310 \textrm{ mA}\\ I_2= \textrm{0,32142} \dots \textrm{ A} \approx 320 \textrm{ mA}\\ I_3= \textrm{0,62698} \dots\textrm{ A} \approx 630 \textrm{ mA} \end{cases} \end{equation} $]]

519. Akun lataus

2022-09-27T21:14:50+03:00

Akkua ladataan. Laturin lähdejännite on 5,2 V. Lataus tehdään läpi vastuksen, jonka resistanssi on 220 Ω. Laturin ja akun sisäiset resistanssit ovat merkityksettömän pienet. Ohessa on kytkentäkaavio latauksesta.

Kuinka suuri on latausvirta, kun akku on täysin tyhjä?
Kuinka suuri on latausvirta, kun akun napajännite on kasvanut arvoon 2,5 V?

Ratkaisu

a. Kirchhoffin II lain mukainen yhtälö

[[$ \begin{align} E_{\text{laturi}}-IR-U_{\text{akku}}&=0\\ \, \\ E_{\text{laturi}}-IR&=0\\ \, \\ E_{\text{laturi}}&=IR \\ \, \\ I&=\dfrac{E_{\text{laturi}}}{R}\\ \, \\ I&=\dfrac{5,2 \textrm{ V}}{220 \textrm{ }\Omega}= 0,023636\dots \textrm{ A}\approx 24 \textrm{ mA} \end{align} $]]

b. Kirchhoffin II lain mukainen yhtälö

[[$ \begin{align} E_{\text{laturi}}-U_{\text{akku}}-IR&=0\\ \, \\ E_{\text{laturi}}-U_{\text{akku}}&=IR\\ \, \\ I&=\dfrac{E_{\text{laturi}}-U_{\text{akku}}}{R}\\ \, \\ I&=\dfrac{5,2 \textrm{ V} - 2,5 \textrm{ V}}{220 \textrm{ }\Omega}= 0,012272\dots \textrm{ A}\approx 12 \textrm{ mA} \end{align} $]]

520. Akun teho ja jännite (YO-koe S2009)

2022-09-12T13:56:12+03:00

Akun lähdejännite on 13,14 V ja siitä otetaan 2,60 A:n sähkövirta.

Kuinka suuri on akun tuottama teho?
Kuinka suuri on ulkoisessa vastuksessa kuluva teho ja akkua lämmittävä teho, kun 2,60 A:n virralla akun napajännite on 11,97 V?
Kuinka suuri on akun napajännite, kun akkua ladataan 1,50 A:n virralla?

(Ylioppilaskoe, syksy 2009)

Ratkaisu

a. Sähköteho

[[$ P=EI\\ \,\\ P=13,14 \textrm{ V}\cdot 2,60 \textrm{ A}=34,164 \textrm{ W}\approx 34,2 \textrm{ W} $]]

b.

Kirchhoffin II lain mukainen yhtälö

[[$ E_\text{akku}-IR_s-IR=0 $]]

Akun napajännite

[[$ U=E_\text{akku}-IR_s $]]

Ulkoisen vastuksen tehon kulutus

[[$ P_\text{vastus}=RI^2 $]]

Akun tehon kulutus aiheutuu sisäisestä resistanssista

[[$ P_\text{sisres}=R_sI^2 $]]

Ratkaistaan yhtälöryhmä

[[$ \begin{equation} \begin{cases} 13,14 \textrm{ V} - 2,60 \textrm{ A}\cdot R_s-2,60 { A}\cdot R=0\\ 11,97 \textrm{ V}=13,14 \textrm{ V}-2,60 \textrm{ A}\cdot R_s\\ P_\text{vastus}=R \cdot (2,60 \textrm{ A})^2\\ P_\text{sisres}=R_s \cdot (2,60 \textrm{ A})^2 \end{cases} \end{equation} $]]

Saadaan tulokseksi

[[$ \begin{equation} \begin{cases} R_s=0,45 \textrm{ }\Omega\\ R\approx 4,6039 \textrm{ }\Omega\approx 4,6 \textrm{ }\Omega P_\text{vastus}= 31,122 \textrm{ W}\approx 31,2 \textrm{ W}\\ P_\text{sisres}=3,042 \textrm{ W}\approx 3,04 \textrm{ W} \end{cases} \end{equation} $]]

tai

Vastuksen teho

[[$ P_\text{vastus}=UI\\ \, \\ P_\text{vastus}=11,97 \textrm{ V}\cdot 2,60 \textrm{ A}=31,122 \textrm{ W}\approx 31,1 \textrm{ W} $]]

Akun tehon kulutus

[[$ P_\text{akku}-P_\text{sisres}-P_\text{vastus}=0\\ \, \\ P_\text{akku}-P_\text{vastus}=P_\text{sisres}\\\, \\ P_\text{sisres}=34,164 \textrm{ W}-31,122 \textrm{ W}=3,042 \textrm{ W}\approx 3,04 \textrm{ W} $]]

c.

Akkua ladataan.

[[$ U=E_\text{akku}+IR_s\\ \, \\ U=13,14 \textrm{ V}+1,50 \textrm{ A}\cdot 0,45 \textrm{ }\Omega=13.815 \textrm{ V}\approx 13,8 \textrm{ V} $]]

tai

Akun napajännite akkua käytettäessä 2,60 A virralla

[[$ U_\text{akku}=E_\text{akku}-IR_s $]]

Akun napajännite ladattaessa 1,50 A virralla

[[$ U=E_\text{akku}+IR_s $]]

Ratkaistaan yhtälöryhmä

[[$ \begin{equation} \begin{cases} 11,97 \textrm{ V}=13,14 \textrm{ V}-2,60 \textrm{ A}\cdot R_s\\ U=13,14 \textrm{ V}+1,50\textrm{ A}\cdot R_s \end{cases} \end{equation} $]]

Saadaan ratkaisuksi

[[$ \begin{equation} \begin{cases} R_s=0,45 \textrm{ }\Omega\\ U=13.815 \textrm{ V}\approx 13,8 \textrm{ V} \end{cases} \end{equation} $]]