https://peda.net/id/7cc5968bbbd01 2026-09-29T09:39:14+03:00 https://peda.net/:static/548/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license noopener" href="https://peda.net/info" target="_blank">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/7cc5f01ebbd01 2026-01-07T12:12:45+02:00 <h3><span class="editor underline">Juurifunktio</span></h3> <div> </div> <div>Määritelmä: </div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%5Bn%5D%7Bx%7D%3Da%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20a%5En%3Dx" alt="\sqrt[n]{x}=a\ \ \Leftrightarrow\ a^n=x"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Lis%C3%A4ksi%5C%20jos%5C%20n%5C%20on%5C%20parillinen%5C%20niin%5C%20a%5C%20%5Cge0%5C%20sek%C3%A4%5C%20x%5Cge0" alt="Lisäksi\ jos\ n\ on\ parillinen\ niin\ a\ \ge0\ sekä\ x\ge0"/><br/> <div> </div> <div>Juurifunktiota voidaan merkitä yleisesti</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Csqrt%5Bn%5D%7Bg%5Cleft(x%5Cright)%7D%7B%2C%7D%5C%20miss%C3%A4%5C%20g%5Cleft(x%5Cright)%5C%20on%5C%20juurrettava" alt="f\left(x\right)=\sqrt[n]{g\left(x\right)}{,}\ missä\ g\left(x\right)\ on\ juurrettava"/></div> <span>Yleisimmin n = 2 tai 3, joskus n = 4 mutta harvemmin näitä suurempi kokonaisluku</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=esimerkiksi" alt="esimerkiksi"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a.%5C%20%5C%20%5C%20f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Csqrt%7B2x%2B2%7D" alt="a.\ \ \ f\left(x\right)=\sqrt{2x+2}"/><br/> <div>nyt juurrettava on g(x) = 2x + 2 ja n = 2 (kyseessä neliöjuurifunktio)</div> <div>funktio f on määritelty, kun 2x + 2 ≥ 0 eli x ≥ -1</div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=b.%5C%20%5C%20f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B3%7D%5C%20on%5C%20m%C3%A4%C3%A4ritelty%5C%20kaikilla%5C%20x%3An%5C%20arvoilla" alt="b.\ \ f\left(x\right)=\sqrt[3]{x+3}\ on\ määritelty\ kaikilla\ x:n\ arvoilla"/></div> <span> ja nyt f voi saada myös negatiivisia arvoja (n on 3 (pariton))</span> <div> </div> <div>Ratkaise yhtälö</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a.%5C%20%5C%20%5Csqrt%7B2x%2B2%7D%3D4" alt="a.\ \ \sqrt{2x+2}=4"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%2B2%3D4%5E2%5Cleft(%3D16%7B%2C%7D%5C%20koska%5C%20%5Csqrt%7B16%7D%3D4%5Cright)" alt="2x+2=4^2\left(=16{,}\ koska\ \sqrt{16}=4\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%3D14%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20x%3D7" alt="2x=14\ \ \Leftrightarrow\ x=7"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Huom!%5C%20%5C%20yht%C3%A4l%C3%B6ll%C3%A4%5C%20%5Csqrt%7B2x%2B2%7D%3D-1%5C%20ei%5C%20ole%5C%20ratkaisua" alt="Huom!\ \ yhtälöllä\ \sqrt{2x+2}=-1\ ei\ ole\ ratkaisua"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=b.%5C%20%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B3%7D%3D-2" alt="b.\ \sqrt[3]{x+3}=-2"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%2B3%3D%5Cleft(-2%5Cright)%5E3%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%20x%3D-8-3%3D-11" alt="x+3=\left(-2\right)^3\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-8-3=-11"/></div> <div> </div> <div><br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Juurilauseke%5C%20%5Csqrt%5Bn%5D%7Bg%5Cleft(x%5Cright)%7D%5C%20on%5C%20m%C3%A4%C3%A4ritelty" alt="Juurilauseke\ \sqrt[n]{g\left(x\right)}\ on\ määritelty"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-%5C%20kaikilla%5C%20x%3An%5C%20arvoilla%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20n%5C%20on%5C%20pariton%5C%20%5Cleft(3%7B%2C%7D%5C%205%7B%2C%7D%5C%20...%5Cright)" alt="-\ kaikilla\ x:n\ arvoilla{,}\ kun\ n\ on\ pariton\ \left(3{,}\ 5{,}\ ...\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-%5C%20ehdolla%5C%20g%5Cleft(x%5Cright)%5Cge0%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20n%5C%20on%5C%20parillinen%5C%20%5Cleft(2%7B%2C%7D%5C%204%7B%2C%7D%5C%20...%5Cright)" alt="-\ ehdolla\ g\left(x\right)\ge0{,}\ kun\ n\ on\ parillinen\ \left(2{,}\ 4{,}\ ...\right)"/><br/> <br/> Kotitehtävät: 724a, c , 725 ja 726a</div> </div> 2026-09-29T09:39:14+03:00 https://peda.net/id/7cc64be1bbd01 2025-12-12T13:32:41+02:00 <h3>Juuriyhtälöt</h3> <div> </div> <div>Juuriyhtälöissä ratkaistava muuttuja on aina juurrettavassa</div> <div>esimerkiksi</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%2B1%7D%3D2x%5C%20%5C%20%5C%20tai%5C%20%5Csqrt%7Bx%5E2%2B5%7D%3Dx%2B1" alt="\sqrt[3]{x+1}=2x\ \ \ tai\ \sqrt{x^2+5}=x+1"/></div> <br/> <div> </div> <span>Ratkaise yhtälö</span><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a.%5C%20%5C%20%5Csqrt%7Bx%5E2%2B5%7D%3Dx%2B1" alt="a.\ \ \sqrt{x^2+5}=x+1"/> <div>Tässä voidaan käyttää apuna neliöjuuren määritelmää</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%7Ba%7D%3Db%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%20b%5E2%3Da%5C%20%5C%20ja%5C%20b%5Cge0" alt="\sqrt{a}=b\ \ \Leftrightarrow\ \ b^2=a\ \ ja\ b\ge0"/></div> <div>Nyt on huomioitava myös, että juurrettava ≥0</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nyt%5C%20x%5E2%2B5%3E0%5C%20kaikilla%5C%20x%3An%5C%20arvoilla" alt="nyt\ x^2+5&gt;0\ kaikilla\ x:n\ arvoilla"/><!--filtered attribute: style="max-width: 100%; max-height: 1000px; vertical-align: middle; margin: 4px; padding: 3px 10px; cursor: pointer; border: 1px solid #e6f2f8; background: #edf9ff;"--></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%7Bx%5E2%2B5%7D%3Dx-1%5C%20%5C%20%5Cmid%5C%20%5Cleft(%5Cright)%5E2%5C%20eli%5C%20suoritetaan%5C%20neli%C3%B6%C3%B6nkorotus%5C%20ehdolla%5C%20x%5C%20-%5C%201%5Cge0" alt="\sqrt{x^2+5}=x-1\ \ \mid\ \left(\right)^2\ eli\ suoritetaan\ neliöönkorotus\ ehdolla\ x\ -\ 1\ge0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%2B5%3D%5Cleft(x-1%5Cright)%5E2" alt="x^2+5=\left(x-1\right)^2"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%2B5%3Dx%5E2-2x%2B1" alt="x^2+5=x^2-2x+1"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%3D-4%5C%20%5C%20" alt="2x=-4\ \ "/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-2%5C%20" alt="x=-2\ "/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ei%5C%20toteuta%7B%2C%7D%5C%20sill%C3%A4%5C%20x-1%3D-3%3C0%5C%20%5Cleft(eli%5C%20%5Csqrt%7B9%7D%3D-3%5Cright)" alt="ei\ toteuta{,}\ sillä\ x-1=-3&lt;0\ \left(eli\ \sqrt{9}=-3\right)"/><br/> <div>Yhtälöllä ei ole ratkaisua</div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=b.%5C%20%5C%20x%2B%5Csqrt%7Bx%7D-2%3D0" alt="b.\ \ x+\sqrt{x}-2=0"/></div> <span>määrittelyehtona: x ≥0 </span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%7Bx%7D%3D2-x%5C%20%5C%20%5Cmid%5C%20%5Cleft(%5Cright)%5E2%5C%20%5C%20ehtona%5C%202-x%5Cge0" alt="\sqrt{x}=2-x\ \ \mid\ \left(\right)^2\ \ ehtona\ 2-x\ge0"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D4-4x%2Bx%5E2%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%20x%5E2-5x%2B4%3D0" alt="x=4-4x+x^2\ \ \Leftrightarrow x^2-5x+4=0"/></div> <span>ratkaisukaavalla ratkaisut ovat x = 4 ja x = 1</span> <div>Toteuttavatko molemmat?</div> <div>x = 1 toteuttaa<span> </span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(%5Csqrt%7B1%7D%3D2-1%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow1%3D1%5Cright)" alt="\left(\sqrt{1}=2-1\ \ \Leftrightarrow1=1\right)"/></div> <span>x=4 ei toteuta sillä 2-4 = -2 &lt;0</span><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(%5Csqrt%7B4%7D%3D-2%5C%20eli%5C%20ep%C3%A4tosi%5Cright)" alt="\left(\sqrt{4}=-2\ eli\ epätosi\right)"/> <div> </div> <div> </div> 2026-09-29T09:39:14+03:00