https://peda.net/id/7cc45fb6bbd01 2026-09-29T09:39:14+03:00 https://peda.net/:static/548/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license noopener" href="https://peda.net/info" target="_blank">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/7cc4b59dbbd01 2025-12-10T12:13:32+02:00 <b><span>Murtolauseke (rationaalilauseke)</span></b> <div> </div> <div>Murtolausekeessa on osoittaja ja nimittäjä, ja erityisesti nimittäjässä on muuttujatermi</div> <div>esim</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%7B%2C%7D%5C%20%5C%20%5Cfrac%7Bx-2%7D%7Bx%2B1%7D%7B%2C%7D%5C%20%5Cfrac%7Bx%5E2%2B1%7D%7B2x%7D" alt="\frac{1}{x}{,}\ \ \frac{x-2}{x+1}{,}\ \frac{x^2+1}{2x}"/></div> <div> </div> <div>1. Murtolausekkeiden yhteen- ja vähennyslasku</div> <div> </div> <div>- Nimittäjät on ensin lavennettava samannimisiksi, jonka jälkeen osoittajan lasketaan yhteen (sama ajatus kuin murtolukujen tapauksessa)</div> <div>esim. Sievennä</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a.%5C%20%5C%20%5Cfrac%7Bx-1%7D%7Bx%7D-%5Cfrac%7Bx-3%7D%7B3x%7D%3D%5Cfrac%7B3%5Cleft(x-1%5Cright)%7D%7B3x%7D-%5Cfrac%7Bx-3%7D%7B3x%7D%3D%5Cfrac%7B3x-3-%5Cleft(x-3%5Cright)%7D%7B3x%7D" alt="a.\ \ \frac{x-1}{x}-\frac{x-3}{3x}=\frac{3\left(x-1\right)}{3x}-\frac{x-3}{3x}=\frac{3x-3-\left(x-3\right)}{3x}"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cfrac%7B2x%7D%7B3x%7D%5C%20%5Cleft(x%5C%20on%5C%20yhteinen%5C%20tekij%C3%A4%5C%20osoittajassa%5C%20ja%5C%20nimitt%C3%A4j%C3%A4ss%C3%A4%5Cright)" alt="=\frac{2x}{3x}\ \left(x\ on\ yhteinen\ tekijä\ osoittajassa\ ja\ nimittäjässä\right)"/> <div>eli se voidaan supistaa pois</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D" alt="=\frac{2}{3}"/></div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=b.%5C%20%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-1%7D%2B%5Cfrac%7Bx%2B2%7D%7Bx%7D" alt="b.\ \ \frac{1}{x-1}+\frac{x+2}{x}"/></div> <div>eka lauseke lavennetaan x:llä ja toinen x - 1</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5Cleft(x-1%5Cright)%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(x%2B2%5Cright)%5Cleft(x-1%5Cright)%7D%7Bx%5Cleft(x-1%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7Bx%2Bx%5E2-x%2B2x-2%7D%7Bx%5Cleft(x-1%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7Bx%5E2%2B2x-2%7D%7Bx%5Cleft(x-1%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7Bx%5E2%2B2x-2%7D%7Bx%5E2-x%7D" alt="=\frac{x}{x\left(x-1\right)}+\frac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)}=\frac{x+x^2-x+2x-2}{x\left(x-1\right)}=\frac{x^2+2x-2}{x\left(x-1\right)}=\frac{x^2+2x-2}{x^2-x}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Huom!" alt="Huom!"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Murtolauseke%5C%20%5Cfrac%7Bx%5E2%2B2x-2%7D%7Bx%5Cleft(x-1%5Cright)%7D%5C%20%5Csup%20istuu%7B%2C%7D%5C%20jos%5C%20osoittajan%5C%20tekij%C3%A4n%C3%A4%5C%20on%5C%20x%5C%20tai%5C%20x-1" alt="Murtolauseke\ \frac{x^2+2x-2}{x\left(x-1\right)}\ \sup istuu{,}\ jos\ osoittajan\ tekijänä\ on\ x\ tai\ x-1"/><br/> <div>Nyt osoittajasta ei saadaa tekijää x eikä x - 1 (osoittajan nollakohta pitäisi olla x=1), joten murtolauseke ei sievene (ei voida supistaa)</div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=c.%5C%20%5C%20%5Cfrac%7Bx%5E2-x-2%7D%7Bx%5E2-1%7D" alt="c.\ \ \frac{x^2-x-2}{x^2-1}"/></div> Jaetaan nimittäjä ja osoittaja tekijöihin (2. asteen lausekkeet)</div> <div>Nimittäjä on helpompi jakaa, koska siinä on summan ja erotuksen tulo</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7Bx%5E2-x-2%7D%7Bx%5E2-1%7D%3D%5Cfrac%7B%20%7D%7B%5Cleft(x-1%5Cright)%5Cleft(x%2B1%5Cright)%7D" alt="\frac{x^2-x-2}{x^2-1}=\frac{ }{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}"/></div> <div>Voiko osoittajan tekijä olla x - 1 tai x + 1 eli onko osoittajan x=1 tai x =-1?</div> <div>Nyt huomataan, että x = 1 ei ole (1^2-1-2=-2≠0) mutta x = -1 on</div> <div> ((-1)^2 - (-1) -2 = 0) eli on tekijä x +1</div> <div>Toinen tekijä voidaan päätellä polynomin kertolaskun avulla</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(x%2B1%5Cright)%5Cleft(x-2%5Cright)%7D%7B%5Cleft(x-1%5Cright)%5Cleft(x%2B1%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7Bx-2%7D%7Bx-1%7D" alt="=\frac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x-2}{x-1}"/><br/> <div> </div> <div>Kotitehtävät: 609, 610 ja 613<br/> <br/> Kotitehtävät (10.12.): 615, 619, 644</div> </div> 2026-09-29T09:39:14+03:00 https://peda.net/id/7cc51660bbd01 2025-12-10T12:12:42+02:00 <span>MURTOFUNKTIOT</span> <div> </div> <div> <div>- ovat muotoa</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7Bp%5Cleft(x%5Cright)%7D%7Bq%5Cleft(x%5Cright)%7D%7B%2C%7D%5C%20jossa%5C%20p%5C%20ja%5C%20q%5C%20ovat%5C%20polynomeja" alt="f\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}{,}\ jossa\ p\ ja\ q\ ovat\ polynomeja"/></div> <span>f on määritelty, kun q(x) ≠ 0</span> <div>f:n nollakohdat ovat osoittajan, p(x) nollakohdat</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=eli%5C%20%5Cfrac%7Bp%5Cleft(x%5Cright)%7D%7Bq%5Cleft(x%5Cright)%7D%3D0%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20p%5Cleft(x%5Cright)%3D0%5C%20ehdolla%5C%20q%5Cleft(x%5Cright)%5Cne0" alt="eli\ \frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=0{,}\ kun\ p\left(x\right)=0\ ehdolla\ q\left(x\right)\ne0"/></div> <span>esimerkiksi funktio</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7Bx%5E2-x-2%7D%7Bx%5E2-1%7D" alt="f\left(x\right)=\frac{x^2-x-2}{x^2-1}"/></div> <span> nyt määrittelyehtona on </span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2-1%5Cne0" alt="x^2-1\ne0"/></div> <span>Helpompi on todeta nimittäjän nollakohdat</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2-1%3D0%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%20x%5E2%3D1%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20x%3D%5Cpm1" alt="x^2-1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=1\ \ \Leftrightarrow\ x=\pm1"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5CRightarrow%20f%5C%20on%5C%20m%C3%A4%C3%A4ritelty%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x%5Cne%5Cpm1" alt="\Rightarrow f\ on\ määritelty{,}\ kun\ x\ne\pm1"/> <div>Tämä tarkoittaa sitä, että funktion lausekkeeseen voidaan sijoittaa kaikkia muita x:n arvoja paitsi x:n arvoja 1 ja -1 (f(1) ja f(-1) ei ole määritelty)</div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=funktion%5C%20nollakohdat%3A%5C%20f%5Cleft(x%5Cright)%3D0%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x%5E2-x-2%3D0" alt="funktion\ nollakohdat:\ f\left(x\right)=0{,}\ kun\ x^2-x-2=0"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20x%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D" alt="ax^2+bx+c=0\ \ \Leftrightarrow\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ratkaisukaavalla%3A%5C%20x%3D%5Cfrac%7B1%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cleft(-1%5Cright)%5E2-4%5Ccdot1%5Ccdot%5Cleft(-2%5Cright)%7D%7D%7B2%5Ccdot1%7D%3D%5Cfrac%7B1%5Cpm3%7D%7B2%7D" alt="ratkaisukaavalla:\ x=\frac{1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm3}{2}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5CLeftrightarrow%5C%20x%3D2%5C%20tai%5C%20x%3D-1" alt="\Leftrightarrow\ x=2\ tai\ x=-1"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Koska%5C%20m%C3%A4%C3%A4rittelyehtona%5C%20on%5C%20x%5C%20%5Cne%5Cpm1%5C%20niin%5C%20nollakohdaksi%5C%20hyv%C3%A4ksyt%C3%A4%C3%A4n%5C%20vain%5C%20x%3D2" alt="Koska\ määrittelyehtona\ on\ x\ \ne\pm1\ niin\ nollakohdaksi\ hyväksytään\ vain\ x=2"/><br/> <br/> <br/> <br/> <span>Ratkaise yhtälö (murtoyhtälö)<br/> </span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7Bx%2B2%7D%7Bx%7D%3Dx%2B1%5C%20%5C%20%7B%2C%7D%5C%20x%5C%20%5Cne0" alt="\frac{x+2}{x}=x+1\ \ {,}\ x\ \ne0"/><br/> <span>Yhtälö on murtoyhtälö, koska siinä yhtälön vasemmalla puolelle on murtolauseke.<br/> </span><br/> <br/> </div> <span>Tapa 1:</span> <div>lavennetaan samannimisiksi ja siirretään termit samalle puolelle yhtälöä</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7Bx%2B2%7D%7Bx%7D%3D%5Cfrac%7Bx%5Cleft(x%2B1%5Cright)%7D%7Bx%7D%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%20%5Cfrac%7Bx%2B2%7D%7Bx%7D-%5Cfrac%7Bx%5E2%2Bx%7D%7Bx%7D%3D0" alt="\frac{x+2}{x}=\frac{x\left(x+1\right)}{x}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{x+2}{x}-\frac{x^2+x}{x}=0"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B2-x%5E2%7D%7Bx%7D%3D0%5C%20%5C%20%7B%2C%7Dkun%5C%202-x%5E2%3D0%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%20x%5E2%3D2%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%20x%3D%5Cpm%5Csqrt%7B2%7D" alt="\frac{2-x^2}{x}=0\ \ {,}kun\ 2-x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm\sqrt{2}"/><br/> <div>Tapa 2:</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7Bx%2B2%7D%7Bx%7D%3Dx%2B1%5C%20%5C%20%5C%20%5Cmid%5Ccdot%20x%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20ehtona%5C%20x%5Cne0" alt="\frac{x+2}{x}=x+1\ \ \ \mid\cdot x{,}\ kun\ ehtona\ x\ne0"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7Bx%5Cleft(x%2B2%5Cright)%7D%7Bx%7D%3Dx%5Cleft(x%2B1%5Cright)%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%20x%2B2%3Dx%5E2%2Bx%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%202%3Dx%5E2%5C%20%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%20x%3D%5Cpm%5Csqrt%7B2%7D" alt="\frac{x\left(x+2\right)}{x}=x\left(x+1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ x+2=x^2+x\ \ \Leftrightarrow\ \ 2=x^2\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm\sqrt{2}"/><br/> <div> </div> <div><br/> <br/> <span>Ratkaise yhtälö</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B6%7D%7Bx-1%7D-x%3D4" alt="\frac{6}{x-1}-x=4"/></div> <span>Yhtälö on määritelty, kun x ≠ 1 (x - 1 ≠ 0)</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B6%7D%7Bx-1%7D%3Dx%2B4%5C%20%5C%20%5C%20%5Cmid%5Ccdot%5Cleft(x-1%5Cright)" alt="\frac{6}{x-1}=x+4\ \ \ \mid\cdot\left(x-1\right)"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=6%3D%5Cleft(x%2B4%5Cright)%5Cleft(x-1%5Cright)%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%206%3Dx%5E2-x%2B4x-4" alt="6=\left(x+4\right)\left(x-1\right)\ \ \Leftrightarrow\ 6=x^2-x+4x-4"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5CLeftrightarrow%5C%200%5C%20%3D%5C%20x%5E2%2B3x-10" alt="\Leftrightarrow\ 0\ =\ x^2+3x-10"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B-3%5Cpm%5Csqrt%7B3%5E2-4%5Ccdot1%5Ccdot%5Cleft(-10%5Cright)%7D%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B-3%5Cpm7%7D%7B2%7D" alt="x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot\left(-10\right)}}{2}=\frac{-3\pm7}{2}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D2%5C%20tai%5C%20x%3D-5" alt="x=2\ tai\ x=-5"/><br/> <br/> Kotitehtävät: 615, 619, 644 </div> </div> 2026-09-29T09:39:14+03:00