https://peda.net/id/7cc39e58bbd01 2026-09-29T09:39:14+03:00 https://peda.net/:static/548/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license noopener" href="https://peda.net/info" target="_blank">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/7cc3ef49bbd01 2025-11-30T10:55:21+02:00 <b><span>2. asteen polynomin jakaminen tekijöihin</span></b> <div> </div> <div>- voidaan jakaa tekijöihin</div> <div> </div> <div><span class="editor underline">1. Yhteisen tekijön avulla (kun vakiotermi c = 0)<br/> <br/> </span></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-x%5E2%2B3x%3Dx%5Cleft(-x%2B3%5Cright)" alt="-x^2+3x=x\left(-x+3\right)"/></div> <br/> <div><span class="editor underline">2. Muistikaavojen avulla<br/> <br/> </span></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2-9%3D%5Cleft(x-3%5Cright)%5Cleft(x%2B3%5Cright)%5C%20%5C%20%5Cleft(summan%5C%20ja%5C%20erotuksen%5C%20tulo%5Cright)" alt="x^2-9=\left(x-3\right)\left(x+3\right)\ \ \left(summan\ ja\ erotuksen\ tulo\right)"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%2B4x%2B4%3D%5Cleft(x%2B2%5Cright)%5E2%5C%20%5C%20%5Cleft(bino%5Cmin%5C%20neli%C3%B6%5Cright)" alt="x^2+4x+4=\left(x+2\right)^2\ \ \left(bino\min\ neliö\right)"/><br/> <div> </div> <div><span class="editor underline">3. Nollakohtien avulla</span></div> <div> </div> <div><b>Tekijälause</b>: Polynomilla p(x) on tekijä x - a silloin ja vain silloin kun polynomin nollakohta on x = a eli p(a) = 0<br/> <br/> </div> <div>esimerkiksi polynomin</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=p%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E2-9%5C%20nollakohdat%5C%20saadaan%5C%20ratkaisemalla%5C%20yht%C3%A4l%C3%B6%5C%20x%5E2-9%3D0%5C%20%5C%20joko" alt="p\left(x\right)=x^2-9\ nollakohdat\ saadaan\ ratkaisemalla\ yhtälö\ x^2-9=0\ \ joko"/></div> <span>a) perinteisesti</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%3D9%5C%20%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%20x%3D%5Cpm3%5C%20%5C%20" alt="x^2=9\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm3\ \ "/><br/> eli kun nollakohta on x = 3 ⇒ tekijänä on x - 3 ja kun nollakohta on x = - 3 ⇒ tekijänä on x + 3</div> <div> </div> <div>b) tulon nollasäännöllä jakamalla p(x) tekijöihin summan ja erotuksen tulon avulla</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2-9%3D%5Cleft(x-3%5Cright)%5Cleft(x%2B3%5Cright)%3D0" alt="x^2-9=\left(x-3\right)\left(x+3\right)=0"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x-3%3D0%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20x%3D3%5C%20%5C%20tai%5C%20%5C%20x%2B3%3D0%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%20x%3D-3" alt="x-3=0\ \ \Leftrightarrow\ x=3\ \ tai\ \ x+3=0\ \ \Leftrightarrow x=-3"/> <div> </div> <div>Olkoon 2. asteen polynomin </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=p%5Cleft(x%5Cright)%3Dax%5E2%2Bbx%2Bc%5C%20nollakohdat%5C%20%5Cleft(eli%5C%20yht%C3%A4l%C3%B6n%5C%20ax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0%5C%20ratkaisut%5Cright)%5C%20x%3Dx_1%5C%20%5C%20ja%5C%20x%3Dx_2" alt="p\left(x\right)=ax^2+bx+c\ nollakohdat\ \left(eli\ yhtälön\ ax^2+bx+c=0\ ratkaisut\right)\ x=x_1\ \ ja\ x=x_2"/></div> <div>Nyt polynomin tekijät ovat</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x-x_1%5C%20%5C%20ja%5C%20x-x_2%5C%20sek%C3%A4%5C%20koko%5C%20polynomi%5C%20jaettuna%5C%20tekij%C3%B6ihin" alt="x-x_1\ \ ja\ x-x_2\ sekä\ koko\ polynomi\ jaettuna\ tekijöihin"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ax%5E2%2Bbx%2Bc%3Da%5Cleft(x-x_1%5Cright)%5Cleft(x-x_2%5Cright)" alt="ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)"/></div> <div> </div> <div>Esimerkki: Jaa polynomi p(x) tekijöihin, kun </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=p%5Cleft(x%5Cright)%3D2x%5E2%2B3x%2B1" alt="p\left(x\right)=2x^2+3x+1"/><br/> <div> </div> <div>Kyseessä on täydellinen 2.asteen polynomi (kaikki eriasteiset termit ovat mukana) niin nyt polynomi joudutaan jakamaan tekijöihin nollakohtien avulla (binomin neliö ei toimi tässä)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%5E2%2B3x%2B1%3D0" alt="2x^2+3x+1=0"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B-3%5Cpm%5Csqrt%7B3%5E2-4%5Ccdot2%5Ccdot1%7D%7D%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B-3%5Cpm1%7D%7B4%7D" alt="x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot2\cdot1}}{4}=\frac{-3\pm1}{4}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%20%5C%20tai%5C%20x%3D-1%5C%20%5C%20%5CRightarrow%5C%20tekij%C3%A4t%5C%20x-%5Cleft(-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%3Dx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%20%5C%20ja%5C%20x-%5Cleft(-1%5Cright)%3Dx%2B1" alt="x=-\frac{1}{2}\ \ tai\ x=-1\ \ \Rightarrow\ tekijät\ x-\left(-\frac{1}{2}\right)=x+\frac{1}{2}\ \ ja\ x-\left(-1\right)=x+1"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nyt%5C%20koko%5C%20polynomi%5C%20tulomuodossa" alt="nyt\ koko\ polynomi\ tulomuodossa"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=p%5Cleft(x%5Cright)%3D2x%5E2%2B3x%2B1%3D2%5Cleft(x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%5Cleft(x%2B1%5Cright)%3D%5Cleft(2x%2B1%5Cright)%5Cleft(x%2B1%5Cright)" alt="p\left(x\right)=2x^2+3x+1=2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+1\right)=\left(2x+1\right)\left(x+1\right)"/><br/> <br/> <div><span class="editor underline">4. Ryhmittelemällä</span><br/> <br/> - koskee korkeamman asteen polynomeja<br/> <br/> <br/> <br/> <span>Määritä vakio a siten, että polynomin p(x) tekijänä on x + 3, kun</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=p%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E2%2B2x%2Ba" alt="p\left(x\right)=x^2+2x+a"/></div> <span>Mikä on polynomin toinen tekijä?</span> <div> </div> <div>tekijänä on x + 3 ⇒ nollakohtana on x = -3 eli p(-3) = 0</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(-3%5Cright)%5E2%2B2%5Ccdot%5Cleft(-3%5Cright)%2Ba%3D0%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%20a%3D-3" alt="\left(-3\right)^2+2\cdot\left(-3\right)+a=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a=-3"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=eli%5C%20p%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E2%2B2x-3%3D%5Cleft(x%2B3%5Cright)%5Cleft(x-1%5Cright)" alt="eli\ p\left(x\right)=x^2+2x-3=\left(x+3\right)\left(x-1\right)"/><br/> <div>Nyt toinen tekijä x - 1 voidaan päätellä ihan polynomin kertolaskun avulla, koska on tiedossa, että yksi tekijä on varmuudella x + 3</div> <div>polynomin toinen nollakohta on nyt x=1 (saadaan, kun x - 1 = 0)</div> <div>Huom! Nollakohdat tai toinen nollakohta saadaan yhtälöstä</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=p%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cleft(x%2B3%5Cright)%5Cleft(x-1%5Cright)%3D0" alt="p\left(x\right)=\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0"/></div> <div>tulon nollasäännön mukaan (x + 3 = 0) tai x - 1 = 0 eli (x = -3) tai x = 1</div> <div> </div> <div>Muodosta polynomin lauseke, kun tiedetään, että polynomin nollakohdat ovat x = -1, x = 0 ja x = 2 sekä kuvaaja kulkee pisteen (1, -2) kautta.</div> <div> </div> <div>Nollakohtien avulla saadaan tekijät</div> <div>Nollakohta x = -1 ⇒ tekijä x + 1</div> <div>nollakohta x = 0 ⇒ tekijä x - 0 = x</div> <div>nollakohta x =2 ⇒ tekijä x - 2</div> <div>Polynomi on näiden tekijöiden tulo</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=p%5Cleft(x%5Cright)%3Da%5Ccdot%20x%5Cleft(x%2B1%5Cright)%5Cleft(x-2%5Cright)" alt="p\left(x\right)=a\cdot x\left(x+1\right)\left(x-2\right)"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=vakio%5C%20a%5C%20saadaan%5C%20selville%5C%20kun%5C%20tie%5Cdet%C3%A4%C3%A4n%7B%2C%7D%5C%20ett%C3%A4%5C%20p%5Cleft(1%5Cright)%3D-2%5C%20%5Cleft(kulkee%5C%20%5Cleft(1%7B%2C%7D-2%5Cright)%5C%20kautta%5Cright)" alt="vakio\ a\ saadaan\ selville\ kun\ tie\detään{,}\ että\ p\left(1\right)=-2\ \left(kulkee\ \left(1{,}-2\right)\ kautta\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a%5Ccdot1%5Ccdot2%5Ccdot%5Cleft(-1%5Cright)%3D-2%5C%20%5C%20%5Cleft(a%5Ccdot1%5Ccdot%5Cleft(1%2B1%5Cright)%5Cleft(1-2%5Cright)%3D-2%5Cright)" alt="a\cdot1\cdot2\cdot\left(-1\right)=-2\ \ \left(a\cdot1\cdot\left(1+1\right)\left(1-2\right)=-2\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-2a%3D-2%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%20a%3D1" alt="-2a=-2\ \ \Leftrightarrow\ \ a=1"/><br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=joten%5C%20p%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5Cleft(x%2B1%5Cright)%5Cleft(x-2%5Cright)%3Dx%5Cleft(x%5E2-2x%2Bx-2%5Cright)%3Dx%5Cleft(x%5E2-x-2%5Cright)%3Dx%5E3-x%5E2-2x" alt="joten\ p\left(x\right)=x\left(x+1\right)\left(x-2\right)=x\left(x^2-2x+x-2\right)=x\left(x^2-x-2\right)=x^3-x^2-2x"/></div> <br/> <div><br/> <br/> <br/> <span>Ratkaise epäyhtälö</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a.%5C%20%5C%20%5Cleft(x%2B3%5Cright)%5Cleft(2x-1%5Cright)%3C0" alt="a.\ \ \left(x+3\right)\left(2x-1\right)&lt;0"/></div> <div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=b.%5C%20%5C%20x%5E3-3x%5Cge3x%5E2-9" alt="b.\ \ x^3-3x\ge3x^2-9"/></div> </div> <div>Muokataan perusmuotoon p(x) ≥ 0 siirtämällä termit samalle puolelle</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E3-3x%5E2-3x%2B9%5Cge0" alt="x^3-3x^2-3x+9\ge0"/></div> <div>Jaetaan tekijöihin ryhmittelemällä</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E3-3x%5E2%3Dx%5E2%5Cleft(x-3%5Cright)%5C%20%5C%20ja%5C%20-3x%2B9%3D-3%5Cleft(x-3%5Cright)" alt="x^3-3x^2=x^2\left(x-3\right)\ \ ja\ -3x+9=-3\left(x-3\right)"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%5Cleft(x-3%5Cright)-3%5Cleft(x-3%5Cright)%3D%5Cleft(x-3%5Cright)%5Cleft(x%5E2-3%5Cright)%3D0" alt="x^2\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)=\left(x-3\right)\left(x^2-3\right)=0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x-3%3D0%5C%20%5C%20tai%5C%20x%5E2-3%3D0" alt="x-3=0\ \ tai\ x^2-3=0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D3%5C%20%5C%20tai%5C%20x%5E2%3D3%5C%20%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20x%3D%5Cpm%5Csqrt%7B3%7D" alt="x=3\ \ tai\ x^2=3\ \ \ \Leftrightarrow\ x=\pm\sqrt{3}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=eli%5C%20nollakohdat%5C%20ovat%5C%20x%3D3%7B%2C%7D%5C%20x%3D%5Csqrt%7B3%7D%5C%20ja%5C%20x%3D-%5Csqrt%7B3%7D" alt="eli\ nollakohdat\ ovat\ x=3{,}\ x=\sqrt{3}\ ja\ x=-\sqrt{3}"/><br/> <div>laaditaan merkkikaavio, josta nähdään epäyhtälön p(x) ≥ 0 ratkaisut</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0A%5C%20-%26-%5Csqrt%7B3%7D%5C%20%5C%20%2B%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%26%5Csqrt%7B3%7D%5C%20-%5C%20%5C%20%5C%20%263%5C%20%5C%20%2B%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%5C%0A%5Chline%0A%26%26%26%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l}&#10;\ -&amp;-\sqrt{3}\ \ +\ \ \ \ &amp;\sqrt{3}\ -\ \ \ &amp;3\ \ +\ \ \ \ \\&#10;\hline&#10;&amp;&amp;&amp;&#10;\end{array}"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=eli%5C%20p%5Cleft(x%5Cright)%5Cge0%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20-%5Csqrt%7B3%7D%5Cle%20x%5Cle%5Csqrt%7B3%7D%5C%20%5C%20%5C%20tai%5C%20x%5Cge3" alt="eli\ p\left(x\right)\ge0{,}\ kun\ -\sqrt{3}\le x\le\sqrt{3}\ \ \ tai\ x\ge3"/><br/> <div> </div> </div> </div> </div> 2026-09-29T09:39:14+03:00