https://peda.net/id/7cc264e8bbd01 2026-09-29T09:39:14+03:00 https://peda.net/:static/548/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license noopener" href="https://peda.net/info" target="_blank">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/7cc2c6e8bbd01 2025-11-06T11:12:27+02:00 <h3><span class="editor underline"><b>Yleinen potenssifunktio ja juuri</b></span></h3> <div> </div> <div>Neliöjuuren määritelmän mukaan</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%7Ba%7D%3Db%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%20b%5Cge0%5C%20ja%5C%20b%5E2%3Da" alt="\sqrt{a}=b\ \ \Leftrightarrow\ \ b\ge0\ ja\ b^2=a"/></div> <br/> <div>Luvun a kuutiojuurta (3. juuri) merkitään</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%5B3%5D%7Ba%7D%7B%2C%7D%5C%20jonka%5C%20m%C3%A4%C3%A4ritelm%C3%A4%3A%5C%20%5Csqrt%5B3%5D%7Ba%7D%3Db%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%20b%5E3%3Da%5C%20%5Cleft(b%5C%20voi%5C%20olla%5C%20my%C3%B6s%5C%20negatiivinen%7B%2C%7D%5C%20samoin%5C%20a%5Cright)" alt="\sqrt[3]{a}{,}\ jonka\ määritelmä:\ \sqrt[3]{a}=b\ \ \Leftrightarrow\ \ b^3=a\ \left(b\ voi\ olla\ myös\ negatiivinen{,}\ samoin\ a\right)"/></div> <br/> <div>Luvun a yleistä juurta eli n. juurta merkitään</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D%7B%2C%7D%5C%20jonka%5C%20m%C3%A4%C3%A4ritelm%C3%A4%3A%5C%20%5Csqrt%5Bn%5D%7Ba%7D%3Db%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20b%5En%3Da" alt="\sqrt[n]{a}{,}\ jonka\ määritelmä:\ \sqrt[n]{a}=b\ \ \Leftrightarrow\ b^n=a"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Huom!%5C%20Jos%5C%20n%5C%20on%5C%20parillinen%5C%20niin%5C%20b%5Cge0" alt="Huom!\ Jos\ n\ on\ parillinen\ niin\ b\ge0"/><br/> <br/> <br/> <span>Ratkaise yhtälö</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a.%5C%20%5C%2054x%5E3%2B2%3D0%5C%20%5C%20%5Cleft(3.%5C%20asteen%5C%20yht%C3%A4l%C3%B6%5Cright)" alt="a.\ \ 54x^3+2=0\ \ \left(3.\ asteen\ yhtälö\right)"/></div> <span>ratkaistaan ensin x^3:n suhteen</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=54x%5E3%3D-2%5C%20%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%20x%5E3%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7B54%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B27%7D%5C%20%5C%20%5Cmid%5Csqrt%5B3%5D%7B%7D" alt="54x^3=-2\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x^3=-\frac{2}{54}=-\frac{1}{27}\ \ \mid\sqrt[3]{}"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5CLeftrightarrow%5C%20x%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B27%7D%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B1%7D%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B27%7D%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D" alt="\Leftrightarrow\ x=\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}=-\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}}=-\frac{1}{3}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Voidaan%5C%20p%C3%A4%C3%A4tell%C3%A4%5C%20my%C3%B6s%5C%20siten%7B%2C%7D%5C%20ett%C3%A4%5C%20%5Cleft(-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright)%5E3%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B27%7D" alt="Voidaan\ päätellä\ myös\ siten{,}\ että\ \left(-\frac{1}{3}\right)^3=-\frac{1}{27}"/><br/> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=b.%5C%20%5C%20%5C%20x%5E4-1%3D0%5C%20%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%20x%5E4%3D1%5C%20%5C%20%5Cmid%5Csqrt%5B4%5D%7B%7D" alt="b.\ \ \ x^4-1=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x^4=1\ \ \mid\sqrt[4]{}"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5CLeftrightarrow%20x%3D%5Cpm%5Csqrt%5B4%5D%7B1%7D%3D%5Cpm1" alt="\Leftrightarrow x=\pm\sqrt[4]{1}=\pm1"/> <div>Huom!</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%5E4%3D1%5C%20%5C%20ja%5C%20%5Cleft(-1%5Cright)%5E4%3D1" alt="1^4=1\ \ ja\ \left(-1\right)^4=1"/></div> <div> </div> 2026-09-29T09:39:14+03:00 https://peda.net/id/7cc32dcdbbd01 2025-11-28T10:47:06+02:00 <h3><b><span>Korkeamman asteen yhtälöt</span></b></h3> <div> </div> <div>- ovat muotoa p(x) = 0 (määritetään polynomin p(x) nollakohdat), jossa polynomin asteluku on 3, 4, 5, jne</div> <div> </div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2.%5C%20asteen%5C%20yht%C3%A4l%C3%B6t%3A%5C%20ax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0" alt="2.\ asteen\ yhtälöt:\ ax^2+bx+c=0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3.%5C%20asteen%5C%20yht%C3%A4l%C3%B6t%3A%5C%20ax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd%3D0" alt="3.\ asteen\ yhtälöt:\ ax^3+bx^2+cx+d=0"/><br/> <br/> </div> <div>- ei löydy yleistä ratkaisukaavaa</div> <div>- ratkaiseminen:</div> <div>1. Jaetaan polynomi p(x) enintään 2. astetta oleviin tekijöihin</div> <div>2. Käytetään tulon nollasääntöä</div> <div> </div> <div>Huom! Yhtälöissä, joissa on vain korkeimman asteluvun termi ja vakiotermi, ei tarvita tekijöihinjakoa</div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=esim.%5C%20%5C%20%5C%2016x%5E3%2B2%3D0%5C%20%5C%20tai%5C%20x%5E4-16%3D0" alt="esim.\ \ \ 16x^3+2=0\ \ tai\ x^4-16=0"/><br/> <br/> <b>Kotitehtävät: 422, 424, 429b, 387</b><br/> <br/> <span>Ratkaise yhtälö</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a.%5C%20%5C%20x%5E3-x%5E2-2x%3D0" alt="a.\ \ x^3-x^2-2x=0"/></div> <span>Huomataan, että saadaan x yhteiseksi tekijäksi</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5Cleft(x%5E2-x-2%5Cright)%3D0" alt="x\left(x^2-x-2\right)=0"/></div> <span>tulon nollasäännön mukaan</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D0%5C%20%5C%20tai%5C%20x%5E2-x-2%3D0%5C%20%5C%20%5Cleft(ratk%5C%20viel%C3%A4%5C%202.%5C%20asteen%5C%20yht%C3%A4l%C3%B6%5Cright)" alt="x=0\ \ tai\ x^2-x-2=0\ \ \left(ratk\ vielä\ 2.\ asteen\ yhtälö\right)"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B1%5Cpm%5Csqrt%7B%5Cleft(-1%5Cright)%5E2-4%5Ccdot1%5Ccdot%5Cleft(-2%5Cright)%7D%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B1%5Cpm3%7D%7B2%7D" alt="x=\frac{1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)}}{2}=\frac{1\pm3}{2}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D2%5C%20%5C%20tai%5C%20x%3D-1" alt="x=2\ \ tai\ x=-1"/><br/> <div>Yhtälön ratkaisut: x = 0, x = 2 ja x = -1</div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=b.%5C%20%5Cleft(2x%2B1%5Cright)%5Cleft(x%5E2%2B3x%5Cright)%3D0" alt="b.\ \left(2x+1\right)\left(x^2+3x\right)=0"/></div> <span>Nyt voidaan suoraan käyttää tulon nollasääntöä</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%2B1%3D0%5C%20%5C%20%5C%20tai%5C%20x%5E2%2B3x%3D0" alt="2x+1=0\ \ \ tai\ x^2+3x=0"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%20%5C%20tai%5C%20%5C%20x%5Cleft(x%2B3%5Cright)%3D0%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20x%3D0%5C%20tai%5C%20x%3D-3" alt="x=-\frac{1}{2}\ \ tai\ \ x\left(x+3\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ x=0\ tai\ x=-3"/><br/> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=c.%5C%202x%5E4%2B3x%5E2%3D0" alt="c.\ 2x^4+3x^2=0"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nyt%5C%20yhteinen%5C%20tekij%C3%A4%5C%20on%5C%20x%5E2%7B%2C%7D%5C%20sill%C3%A4%5C%20x%5E4%3Dx%5E2%5Ccdot%20x%5E2" alt="nyt\ yhteinen\ tekijä\ on\ x^2{,}\ sillä\ x^4=x^2\cdot x^2"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%5Cleft(2x%5E2%2B3%5Cright)%3D0%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%20x%5E2%3D0%5C%20%5C%20tai%5C%202x%5E2%2B3%3D0" alt="x^2\left(2x^2+3\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=0\ \ tai\ 2x^2+3=0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D0%5C%20tai%5C%20x%5E2%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5C%20%5C%20%5Cleft(ei%5C%20ole%5C%20ratkaisua%5Cright)" alt="x=0\ tai\ x^2=-\frac{3}{2}\ \ \left(ei\ ole\ ratkaisua\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=d.%5C%20%5C%20x%5E2%5Cleft(2x-3%5Cright)-4%5Cleft(2x-3%5Cright)%3D0" alt="d.\ \ x^2\left(2x-3\right)-4\left(2x-3\right)=0"/><br/> <div>Huomataan, että yhteinen tekijä on 2x - 3</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(2x-3%5Cright)%5Cleft(x%5E2-4%5Cright)%3D0" alt="\left(2x-3\right)\left(x^2-4\right)=0"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x-3%3D0%5C%20%5C%20tai%5C%20x%5E2-4%3D0" alt="2x-3=0\ \ tai\ x^2-4=0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5C%20%5C%20tai%5C%20x%5E2%3D4%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20x%3D%5Cpm2" alt="x=\frac{3}{2}\ \ tai\ x^2=4\ \ \Leftrightarrow\ x=\pm2"/><br/> <div> </div> <div> </div> <div> </div> <div>Ratkaise yhtälö</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E3%2B3x%5E2%2B2x%2B6%3D0" alt="x^3+3x^2+2x+6=0"/></div> <span>Yhteistä tekijää ei näyttäisi olevan. Yritetään jakaa tekijöihin ryhmittelemällä: katsotaan polynomin kahta eka termiä ja viimeisiä termejä erikseen</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E3%2B3x%5E2%3Dx%5E2%5Cleft(x%2B3%5Cright)%5C%20ja%5C%202x%2B6%3D2%5Cleft(x%2B3%5Cright)" alt="x^3+3x^2=x^2\left(x+3\right)\ ja\ 2x+6=2\left(x+3\right)"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%5Cleft(x%2B3%5Cright)%2B2%5Cleft(x%2B3%5Cright)%3D0%5C%20%5C%20%5Cleft(yhteinen%5C%20tekij%C3%A4%5C%20on%5C%20x%2B3%5Cright)" alt="x^2\left(x+3\right)+2\left(x+3\right)=0\ \ \left(yhteinen\ tekijä\ on\ x+3\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(x%2B3%5Cright)%5Cleft(x%5E2%2B2%5Cright)%3D0" alt="\left(x+3\right)\left(x^2+2\right)=0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-3%5C%20%5C%20tai%5C%20x%5E2%3D-2%5C%20%5Cleft(ei%5C%20ratkaisua%5Cright)" alt="x=-3\ \ tai\ x^2=-2\ \left(ei\ ratkaisua\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=eli%5C%20x%3D-3" alt="eli\ x=-3"/><br/> <h3>Kotitehtävät: 430, 435 ja 440 ab<br/> <br/> <br/> <span><b>Korkeamman asteen epäyhtälö</b>t</span></h3> <div> </div> <div>Ratkaise epäyhtälö</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-x%5E3%2B4x%5E2%3E3x" alt="-x^3+4x^2&gt;3x"/><!--filtered attribute: style="max-width: 100%; max-height: 1000px; vertical-align: middle; margin: 4px; padding: 3px 10px; cursor: pointer; border: 1px solid #e6f2f8; background: #edf9ff;"--></div> <div>Muokataan epäyhtälö perusmuotoon eli muotoon p(x) &gt; 0 (p(x)&lt;0)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-x%5E3%2B4x%5E2-3x%3E0" alt="-x^3+4x^2-3x&gt;0"/><!--filtered attribute: style="max-width: 100%; max-height: 1000px; vertical-align: middle; margin: 4px; padding: 3px 10px; cursor: pointer; border: 1px solid #e6f2f8; background: #edf9ff;"--><br/> <br/> </div> <span><b>Ratkaistaan vastaava yhtälö p(x) = 0 eli määritetään polynomin p(x) nollakohdat</b>, koska polynomifunktio merkki voi vaihtua vain nollakohdissa (eli funktion arvo voi muuttua positiivisesta negatiiviseksi tai päivastoin vain nollakohdissa).<br/> </span><br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-x%5E3%2B4x%5E2-3x%3D0" alt="-x^3+4x^2-3x=0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5Cleft(-x%5E2%2B4x-3%5Cright)%3D0" alt="x\left(-x^2+4x-3\right)=0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D0%5C%20tai%5C%20-x%5E2%2B4x-3%3D0" alt="x=0\ tai\ -x^2+4x-3=0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B-4%5Cpm%5Csqrt%7B4%5E2-4%5Ccdot%5Cleft(-1%5Cright)%5Ccdot%5Cleft(-3%5Cright)%7D%7D%7B-2%7D%3D%5Cfrac%7B-4%5Cpm2%7D%7B-2%7D" alt="x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-3\right)}}{-2}=\frac{-4\pm2}{-2}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D1%5C%20%5C%20tai%5C%20x%3D3" alt="x=1\ \ tai\ x=3"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=eli%5C%20p%5Cleft(x%5Cright)%3An%5C%20nollakohdat%5C%20ovat%5C%20x%3D0%7B%2C%7D%5C%20x%3D1%5C%20ja%5C%20x%3D3" alt="eli\ p\left(x\right):n\ nollakohdat\ ovat\ x=0{,}\ x=1\ ja\ x=3"/></div> <div> </div> <div>Laaditaan merkkikaavio, johon merkitään nollakohdat sekä lasketaan polynomin arvoja nollakohtien välissä</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0Ap%5Cleft(x%5Cright)%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%2B%5C%20%5C%20%260%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20-%5C%20%5C%20%5C%20%261%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%2B%5C%20%5C%20%5C%20%263%5C%20%5C%20%5C%20-%5C%20%5C%20%5C%5C%0A%5Chline%0A%26%26%26%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l}&#10;p\left(x\right)\ \ \ \ \ \ +\ \ &amp;0\ \ \ \ -\ \ \ &amp;1\ \ \ \ +\ \ \ &amp;3\ \ \ -\ \ \\&#10;\hline&#10;&amp;&amp;&amp;&#10;\end{array}"/></div> <div>p(-1) &gt;0, p(0,5) &lt; 0, p(2) &gt; 0 ja p(4) &lt;0</div> <div> </div> <div>Merkkikaaviosta nähdään, että </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-x%5E3%2B4x%5E2-3x%3E0%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x%3C0%5C%20tai%5C%201%3Cx%3C3" alt="-x^3+4x^2-3x&gt;0{,}\ kun\ x&lt;0\ tai\ 1&lt;x&lt;3"/></div> <div><br/> <br/> Kotitehtävät: 445, 449c, 451</div> 2026-09-29T09:39:14+03:00