https://peda.net/id/7cbe945abbd01 2026-09-29T09:39:14+03:00 https://peda.net/:static/548/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license noopener" href="https://peda.net/info" target="_blank">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/7cbef1adbbd01 2026-09-29T09:43:33+03:00 <b><span>Kuvaaja ja nollakohdat</span></b> <div> </div> <div>- on yleisesti muotoa f(x) = ax + b, jossa a ja b ovat vakioita</div> <div>jos esim a = 2 ja b = 1 niin f(x) = 2x +1<br/> <br/> </div> <div>- kuvaaja on suora y = ax + b (usein suoran yhtälö ajatellaan: y = kx + b (a = k))</div> <div>jossa a (=k) on suoran kulmakerroin<br/> <br/> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=kulma%5Cker%20roin%5C%20k%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%20y%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%5Cfrac%7By-koord%5C%20muutos%7D%7Bx-koord%5C%20muutos%7D" alt="kulma\ker roin\ k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y-koord\ muutos}{x-koord\ muutos}"/><br/> <br/> </div> <div>jos k &gt; 0 niin suora on nouseva ja jos k &lt; 0 niin suora on laskeva</div> <div> (jos k = 0 niin suora on x-akselin suuntainen)</div> <div> </div> <div>vakiotermi b kertoo missä kohdassa suora leikkaa y-akselin<br/> <br/> </div> <div> </div> <div>Esim. piirrä suorat (xy-koordinaatistoon)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D2x%2B1%5C%20%5C%20ja%5C%20%5C%20y%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx-2%5C%20%5C%20%5Cleft(eli%5C%20funktioiden%5C%20f%5Cleft(x%5Cright)%3D2x%2B1%5C%20ja%5C%20g%5Cleft(x%5Cright)%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx-2%5C%20kuvaajat%5Cright)" alt="y=2x+1\ \ ja\ \ y=-\frac{2}{3}x-2\ \ \left(eli\ funktioiden\ f\left(x\right)=2x+1\ ja\ g\left(x\right)=-\frac{2}{3}x-2\ kuvaajat\right)"/><br/> <br/> Funktion f(x) nollakohta on kohta, jossa kuvaaja leikkaa x-akselin. Se on yhtälön f(x) = 0 ratkaisu.<br/> <br/> Funktio saa positiivisia arvoja eli f(x) &gt; 0 niillä muuttujan x arvoilla, joilla funktion kuvaaja on x-akselin yläpuolella.<br/> Vastaavasti funktio saa negatiivisia arvoja eli f(x) &lt; 0, kun funktion kuvaaja on x-akselin alapuolella.<br/> <br/> <div> </div> <br/> <div><span class="editor underline"><b>Ensimmäisen asteen epäyhtälö</b></span></div> <div> </div> <div>Eroaa yhtälöistä siten että = -merkin tilalla on jokin epäyhtälömerkeistä &gt;, &lt;, ≥, ≤</div> <div>ja epäyhtälön ratkaisujoukkona on aina jokin lukusuora osa esim x &lt; 2</div> <div> </div> <div>- Yksinkertaiset epäyhtälöt<br/> <br/> ovat esimerkiksi muotoa 2x + 5 &lt; 0 tai -x+2 &gt; 0<br/> <br/> </div> <div>esim ratkaise epäyhtälö 2x + 5 &lt; 0</div> <div>Etsitään funktion f(x) = 2x + 5 nollakohta</div> <div>2x + 5 = 0  </div> <div>2x = -5 ‖ :2</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%3D-2%5C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D" alt="x=-\frac{5}{2}=-2\ \frac{1}{2}"/></div> <div>Funktion kuvaaja on suora, joka on nouseva (ja nollakohta on -2.5)</div> <div>Laaditaan merkkikaavio eli hahmotellaan kuvaaja ja merkitään nollakohta</div> <span>Merkkikaaviosta nähdään että </span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%2B5%3C0%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x%5C%20%3C-%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D" alt="2x+5&lt;0{,}\ kun\ x\ &lt;-\frac{5}{2}"/></div> <span>Huom!</span> <div>Kaikki nousevat suorat (kulmakerroin &gt; 0) saavat nollakohtaa pienemmillä arvoilla negatiivisia arvoja ja nollakohtaa suuremmilla arvoilla positiivisia arvoja</div> <div>Vastaavasti kaikki laskevat suorat (kulmakerroni &lt; 0) saavat nollakohtaa pienemillä arvoilla positiivisia arvoja ja nollakohtaa suuremmilla arvoilla negatiivisia arvoja.</div> <div> </div> <div>- Monimutkaisemmat epäyhtälöt</div> <div>Käytetään samoja ratkaisumenetelmiä kuin vastaavissa yhtälöissä (nimittäjien poistaminen, termien siirtäminen epäyhtälön puolelta toiselle sekä termien yhdistäminen), MUTTA:</div> <div><b><b>Jos epäyhtälö jaetaan (tai kerrotaan) negatiivisella luvulla niin epäyhtälömerkin suunta kääntyy<br/> </b></b> <div><br/> <br/> <br/> </div> <div>Ratkaise epäyhtälö<br/> a)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=5-%5Cfrac%7Bx-2%7D%7B3%7D%5Cle%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D%5C%20%5C%20%5Cparallel%5Ccdot6" alt="5-\frac{x-2}{3}\le\frac{x}{2}+\frac{5}{6}\ \ \parallel\cdot6"/></div> <b><b><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=30-2%5Cleft(x-2%5Cright)%5Cle3x%2B5" alt="30-2\left(x-2\right)\le3x+5"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=30-2x%2B4%5Cle3x%2B5" alt="30-2x+4\le3x+5"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-2x-3x%5Cle5-34" alt="-2x-3x\le5-34"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-5x%5Cle-29%5C%20%5C%20%5Cparallel%3A%5Cleft(-5%5Cright)%5C%20%5Cleft(ep%C3%A4yht%C3%A4l%C3%B6merkin%5C%20suunta%5C%20k%C3%A4%C3%A4ntyy%5Cright)" alt="-5x\le-29\ \ \parallel:\left(-5\right)\ \left(epäyhtälömerkin\ suunta\ kääntyy\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5Cge%5Cfrac%7B29%7D%7B5%7D%5Cleft(%3D5%5C%20%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D%5Cright)" alt="x\ge\frac{29}{5}\left(=5\ \frac{4}{5}\right)"/></b></b> <div> </div> <div>Jos x-termit siirtää epäyhtälön oikealle puolelle niin saadaan</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=29%5Cle5x%5C%20%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%20%5Cfrac%7B29%7D%7B5%7D%5Cle%20x%5C%20%5C%20eli%5C%20x%5Cge%5Cfrac%7B29%7D%7B5%7D" alt="29\le5x\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{29}{5}\le x\ \ eli\ x\ge\frac{29}{5}"/></div> <div>b)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7Bx%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7Bx-2%7D%7B12%7D%3E%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7Bx%2B6%7D%7B4%7D%5C%20%5C%20%5Cparallel%5Ccdot12" alt="\frac{x}{3}-\frac{x-2}{12}&gt;\frac{x}{2}+\frac{x+6}{4}\ \ \parallel\cdot12"/><!--filtered attribute: style="max-width: 100%; max-height: 1000px; vertical-align: middle; margin: 4px; padding: 3px 10px; cursor: pointer; border: 1px solid #e6f2f8; background: #edf9ff;"--></div> <b><b><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=4x-%5Cleft(x-2%5Cright)%3E6x%2B3%5Cleft(x%2B6%5Cright)" alt="4x-\left(x-2\right)&gt;6x+3\left(x+6\right)"/><!--filtered attribute: style="max-width: 100%; max-height: 1000px; vertical-align: middle; margin: 4px; padding: 3px 10px; cursor: pointer; border: 1px solid #e6f2f8; background: #edf9ff; color: #333333; font-family: 'Times New Roman'; font-size: 17px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 2; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial;"--><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=4x-x%2B2%3E6x%2B3x%2B18" alt="4x-x+2&gt;6x+3x+18"/><!--filtered attribute: style="max-width: 100%; max-height: 1000px; vertical-align: middle; margin: 4px; padding: 3px 10px; cursor: pointer; border: 1px solid #e6f2f8; background: #edf9ff; color: #333333; font-family: 'Times New Roman'; font-size: 17px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 2; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial;"--><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-6x%3E16%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Cleft(-16%3E6x%5Cright)" alt="-6x&gt;16\ \ \ \ \ \left(-16&gt;6x\right)"/><!--filtered attribute: style="max-width: 100%; max-height: 1000px; vertical-align: middle; margin: 4px; padding: 3px 10px; cursor: pointer; border: 1px solid #e6f2f8; background: #edf9ff; color: #333333; font-family: 'Times New Roman'; font-size: 17px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 2; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial;"--><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3C-%5Cfrac%7B16%7D%7B6%7D%3D-%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D" alt="x&lt;-\frac{16}{6}=-\frac{8}{3}"/><br/> </b></b> <div> </div> <div> </div> </div> </div> 2026-09-29T09:39:14+03:00