Tasokuvioiden pinta-aloja (1h)

Teoria T1 Suunnikkaiden pinta-aloja

2020-04-17T13:46:42+03:00

Suunnikas on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset.

Suorakulmio on suunnikkaan erikoistapaus, jossa vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät ja kaikki kulmat 90 astetta (suorakulma).
Neliö on suunnikkaan erikoistapaus, jossa kaikki sivut ovat yhtäpitkät ja kaikki kulmat 90 astetta (suorakulma).

Teoria T2 Kolmioiden pinta-aloja

2020-04-17T14:02:14+03:00

Kolmiot voidaan luokitella kulman suuruuden mukaan tai sivujen pituuksien mukaan:

Teräväkulmainen kolmio: kaikki kulmat alle 90 astetta.
Tylppäkulmainen kolmio: yksi kulma yli 90 astetta.
Suorakulmainen kolmio: yksi kulma tasan 90 astetta.
Tasasivuinen kolmio: kaikki sivut yhtä pitkät, kaikki kulmat yhtä suuret eli [[$ \frac{180^{o}}{3}=60^{o} $]].
Tasakylkinen kolmio: molemmat kyljet yhtä pitkät, kantakulmat yhtä suuret.

Oli kolmio minkälainen hyvänsä, pinta-ala lasketaan aina samalla tavalla eli kanta kertaa korkeus jaettuna kahdella. Kolmion pinta-ala muodostuu, kun suunnikas jaetaan kahteen yhtäsuureen osaan, jolloin pinta-ala on suunnikkaan pinta-ala jaettuna kahdella. Huom! tylppäkulmaisen kolmion tapauksessa korkeusjana eli kohtisuora etäisyys kolmion kannasta kolmion kärkipisteeseen ei sijaitse kolmion sisällä.

Teoria T3 Puolisuunnikkaan pinta-ala

2020-04-17T14:15:01+03:00

Puolisuunnikas on nelikulmio, jossa jommat kummat vastakkaisista sivuista ovat yhdensuuntaiset.
Puolisuunnikkaan pinta-ala lasketaan laskemalla ensin vastakkaisten sivujen pituudet yhteen, jakamalla tulos kahdella ja kertomalla se puolisuunnikkaan korkeudella.
Toisin sanoen lasketaan ensin yhdensuuntaisten sivujen keskiarvo joka kerrotaan puolisuunnikkaan korkeudella.

Kaava voidaan perustella ottamalla toinen samanlainen puolisuunnikas ja asettamalla se edellisen puolisuunnikkaan jatkoksi toisin päin käännettynä. Tällöin saadaan suunnikas, jonka kanta on a+b. Suunnikkaan pinta-ala lasketaan kanta kertaa korkeus, mutta saadaksemme pelkän puolisuunnikkaan pinta-alan, on tulos jaettava vielä kahteen osaan.

Teoria T4 Ympyrän ja ympyrästä otetun sektorin piiri ja pinta-ala

2020-04-18T10:31:45+03:00

Piiri tarkoittaa ympärysmittaa. Esimerkiksi kasvimaan piiri tarkoittaa, kuinka monta metriä joudut kävelemään kasvimaan reunaa pitkin, ennen kuin pääset takaisin lähtöpisteeseesi.
Kaikilla edellä mainituilla tasokuvioilla piiri lasketaan samalla tavalla eli kaikkien sivujen pituudet lasketaan yhteen.
Ympyrän tapauksessa piiri lasketaan ympyrän säteen r ja luvun pii [[$ \pi $]] avulla.
Aikaisemmista kursseita muistamme, että luku pii on ympyrän kehän pituuden ja halkaisian välinen suhde eli jakolasku [[$ \pi =\frac{p}{d}$]]. Jokaisella ympyrällä kehän pituuden suhde halkaisijaan on sama eli vakio.
Koska ympyrän asteluku on 360°, ympyrästä lohkaistun pitsasiivun eli sektorin kehän pituus on vastaava osa sektorin asteluvusta.
Jos sektorin asteluku on 60°, on sektorin kaaren pituus kuusi kertaa pienempi kuin koko ympyrän piiri.
Sama tulos pätee myös ympyrän pinta-alan kohdalla.

Esimerkki 1: Ympyrän säde r on 5 cm. Laske ympyrän pinta-ala ja piiri.

Ratkaisu:

Piiri: Käytetään ympyrän piirin kaavaa, jolloin saadaan
[[$ p=2 \pi r = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \pi \cdot 5 = 31,459... \approx 31,5$]]cm.

Pinta-ala: Käytetään ympyrän pinta-alan kaavaa, jolloin saadaan
[[$ A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot r \cdot r = \pi \cdot 5 \cdot 5 = 78,539... \approx 78,5 cm^2.$]]

Esimerkki 2: Laske edellisestä ympyrästä lohkaistun sektorin kaaren pituus ja pinta-ala, kun sektorin keskuskulma on 40 astetta.

Ratkaisu:

Koko ympyrän asteluku on 360°, joten 40° menee yhteensä 9 kertaa 360° asteeseen. Kysytyn sektorin kaaren pituus on siis yhdeksän kertaa pienempiä kuin koko ympyrän.

sektorin kaaren pituus:

[[$ b= \frac{p}{9} = \frac{2 \pi r}{9} =\frac{31,459...}{9} = 3,4954444... \approx 3,5 $]]cm

Samaan tulokseen päästään myös sektorin kaaren pituuden laskukaavan avulla, jolloin

[[$ b = \frac{\alpha}{360^o} \cdot 2 \pi r = \frac{40^o}{360^o} \cdot 31,459... = 3,4954444... \approx 3,5$]]cm

sektorin pinta-ala:

Koko ympyrän asteluku on 360°, joten 40° menee yhteensä 9 kertaa 360° asteeseen. Kysytyn sektorin pinta-ala on siis yhdeksän kertaa pienempiä kuin koko ympyrän.

[[$ A_s= \frac{A}{9} = \frac{\pi r^2}{9} =\frac{78,539...}{9} = 8,726555... \approx 8,7 cm^2$]]

Samaan tulokseen päästään myös sektorin pinta-alan laskukaavan avulla, jolloin

[[$ A = \frac{\alpha}{360^o} \cdot \pi r^2 = \frac{40^o}{360^o} \cdot 78,538... = 8,726555... \approx 8,7 cm^2$]]