Todennäköisyyksien teoriaa

Kuinka monella tapaa

2018-03-06T22:55:56+02:00

Jos valittavana on useita vaihtoehtoja peräkkäin saadaan kaikkien valintavaihtoehtojen kokonaislukumäärä kertomalla peräkkäisten valintavaihtoehtojen määrät keskenään.

ESIMERKKI

Jaanalla on kaksi kenkäparia, kolmet housut ja neljä paitaa. Kuinka monta erilaista asukokonaisuutta Jaana pystyy muodostamaan?

[[$2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 $]]

https://peda.net/id/4b20082ab

Jaanan kummallekin kenkäparille voidaan valita kolme housuvaihtoehtoa ja kaikille näille yhdistelmille vielä neljä erilaista paitavaihtoehtoa. Yhteensä "reittejä" eli yhdistelmiä on 24.

Kertoma ja järjestys

2018-02-01T13:43:42+02:00

KERTOMA

n kertoma (merkitään n!) tarkoittaa tuloa [[$n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$]]

ESIMERKKI

4! = [[$4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 $]]

Klassinen todennäköisyys

2018-03-06T23:06:05+02:00

Todennäköisyys kuvaa tapahtuman toteutumismahdollisuutta. Todennäköisyyttä merkitään kirjaimella P ja kyseessä oleva tapahtuma kirjoitetaan sulkuihin P-kirjaimen jälkeen.

Esimerkki

P(mahdoton tapahtuma) = 0
P(varma tapahtuma) = 1

MÄÄRITELMÄ

P(A) = [[$\dfrac{tapahtuman \space A \space suotuisten \space alkeistapausten \space lukumäärä}{tapahtuman \space A \space kaikkien \space alkeistapausten \space lukumäärä}$]]

Suotuisten alkeistapausten lukumäärä jaetaan kaikkien alkeistapausten lukumäärällä.

Esimerkki

Millä todennäköisyydellä nopanheitossa saadaan vähintään viisi?

P(vähintään viisi) = [[$\dfrac{2}{6}$]] = [[$\dfrac{1}{3}$]]

Nopanheitossa on kuusi alkeistapausta (1,2,3,4,5,6), joista suotuisia tapahtumalle "vähintään viisi" ovat alkeistapaukset 5 ja 6, eli kaksi vaihtoehtoa.

Tilastollinen todennäköisyys

2018-03-06T23:07:58+02:00

Kaikissa tapauksissa absoluuttista todennäköisyyttä ei pystytä määrittämään. Tällöin on turvauduttava mahdollisimman hyvään arvioon, joka voidaan "ennustaa" tilastojen perusteella.

Tilastollinen todennäköisyys on likiarvo, joka määritetään kokeellisesti tai tilastoidun aineiston pohjalta. Tuloksesta käytetään myös nimitystä suhteellinen frekvenssi.

P(A) = [[$\dfrac{tapahtuman \space A \space frekvenssi}{frekvenssien \space summa}$]]

Tapahtuman A alkeistapausten lukumäärä (frekvenssi) jaetaan kaikkien koe-/tilastotulosten yhteismäärällä.

Huom! Todennäköisyyden likiarvo paranee, kun toistoja lisätään eli frekvenssien summa kasvaa.

ESIMERKKI

Heitetään noppaa 30 kertaa ja määritetään kokeellisesti P(6). Tilastoidaan tulokset.

alkeistapaus	f
1	3
2	7
3	6
4	4
5	4
6	6

Määritetään P(6) = [[$\dfrac{6}{30}$]] =[[$\dfrac{1}{5}$]] .

Huom! Kokeellisesti määritetty todennäköisyys eroaa tällä kertaa klassisesta todennäköisyydestä [[$\dfrac{1}{6}$]]. Tulos lähestyisi hiljalleen oikeaa, kun heittojen lukumäärää kasvatettaisiin.

Peräkkäiset tapahtumat

2018-03-06T23:23:02+02:00

Peräkkäisten tapahtumien todennäköisyys saadaan kertomalla yksittäistapausten todennäköisyydet keskenään.

P(A ja B) = P(A) x P(B)

Kun oletetaan, että tapaukset A ja B ovat erilliset, eli tapahtuman A toteutuminen ei vaikuta tapahtuman B todennäköisyyteen.

Esimerkki

Millä todennäköisyydellä rahanheitossa saadaan kolme peräkkäistä klaavaa?

P(kolme klaavaa) =[[$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}$]]=[[$\dfrac{1}{8}$]]

Huom! Kertolaskusääntöä voidaan usein soveltaa järkevästi, vaikka aikaisempi tapahtuma vaikuttaisikin tulevaan tapahtumaan.

Esimerkki

Korissa on 12 palloa, joista sinisiä palloja on 5, keltaisia palloja 4 ja punaisia palloja 3. Millä todennäköisyydellä kolmella nostolla saadaan kolme punaista palloa?

P(kolme punaista) = [[$\dfrac{3}{12}\cdot\dfrac{2}{11}\cdot\dfrac{1}{10}$]]=[[$\dfrac{6}{1320}$]]=[[$\dfrac{1}{220}$]]

Huom! Todennäköisyys muuttuu, jos pallo palautetaan koriin jokaisen noston jälkeen!

P(kolme punaista) = [[$\dfrac{3}{12}\cdot\dfrac{3}{12}\cdot\dfrac{3}{12}$]]=[[$\dfrac{27}{1728}$]]=[[$\dfrac{1}{64}$]]

Komplementtitapahtuma

2018-03-06T23:26:58+02:00

Komplementilla tarkoitetaan tapahtuman vastakohtaa. Esimerkiksi tapahtuman "sataa vettä" komplementtitapahtuma on "ei sada vettä".

Merkintä: tapahtuman A komplementtia merkitään Ā

MÄÄRITELMÄ

P(A) + P(Ā) = 1

P(A) = 1 - P(Ā)

ESIMERKKI

Golffari puttaa pallon reikään 60% todennäköisyydellä. Millä todennäköisyydellä kolmesta yrityksestä ainakin yksi uppoaa?

Komplementtitapahtuma tapahtumalle "ainakin yksi uppoaa" on "kaikki kolme menevät ohi"

P(kolme ohi) = 0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064
P(ainakin yksi osuu) = 1 - 0,064 = 0,936 = 93,6%

Todennäköisyyksien yhteenlasku

2018-03-06T23:27:54+02:00

Todennäköisyydet voidaan laskea yhteen, jos tapahtumat ovat toisistaan riippumattomat eli erilliset.

P(A tai B) = P(A) + P(B)

ESIMERKKI

Millä todennäköisyydellä nopanheitossa saadaan silmäluku yksi tai kaksi?

P(1 tai 2) = P(1) + P(2) = [[$\dfrac{1}{6}$]] + [[$\dfrac{1}{6}$]] = [[$\dfrac{2}{6}$]] = [[$\dfrac{1}{3}$]]

Huom! Jos tapahtumat eivät ole erilliset, niin todennäköisyyksille pätee:

P(A tai B) = P(A) + P(B) - P(A ja B)

ESIMERKKI

Millä todennäköisyydellä korttipakasta nostettu kortti on pata tai kuvakortti?

P(pata tai kuva) = P(pata) + P(kuva) - P(pata ja kuva) = [[$\dfrac{13}{52}$]] + [[$\dfrac{12}{52}$]] - [[$\dfrac{3}{52}$]] = [[$\dfrac{22}{52}$]] = [[$\dfrac{11}{26}$]]