3.3 Suorien leikkauspiste ja välinen kulma
https://peda.net/id/740a3e62c8a
2019-08-27T12:45:50+03:00
https://peda.net/:static/537/peda.net.logo.bg.svg
<div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div>
Teksti
https://peda.net/id/ab394252c8a
2019-08-27T14:05:33+03:00
<div>Tehtävä 1</div>
<div>a) Selvitä suorien <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x-2y%2B1%3D0" alt="3x-2y+1=0"/> ja <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-2x%2By-4%3D0" alt="-2x+y-4=0"/> leikkauspiste. Tarkista ratkaisusi laskimella ja liitä siitä kuvakaappaus ratkaisuusi.<br/>
<br/>
leikkauspiste saadaan yhtälöparilla<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0A3x-2y%2B1%3D0%26%5C%5C%0A-2x%2By-4%3D0%26%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="\begin{cases} 3x-2y+1=0&\\ -2x+y-4=0& \end{cases}"/> <br/>
<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0A3x-2y%2B1%3D0%26%5C%5C%0A-2x%2By-4%3D0%26%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="\begin{cases} 3x-2y+1=0&\\ -2x+y-4=0& \end{cases}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0A3x%2B1%3D2y%26%5C%5C%0A-2x-4%3D-y%26%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="\begin{cases} 3x+1=2y&\\ -2x-4=-y& \end{cases}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x-3%3Dy" alt="x-3=y"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0A3x-2%5Cleft(x-3%5Cright)%2B1%3D0%26%5C%5C%0A-2x%2B%5Cleft(x-3%5Cright)-4%3D0%26%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="\begin{cases} 3x-2\left(x-3\right)+1=0&\\ -2x+\left(x-3\right)-4=0& \end{cases}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0A3x-2x%2B6%2B1%3D0%26%5C%5C%0A-2x%2Bx-3-4%3D0%26%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="\begin{cases} 3x-2x+6+1=0&\\ -2x+x-3-4=0& \end{cases}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ax%2B7%3D0%5C%5C%0A-x-7%3D0%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="\begin{cases} x+7=0\\ -x-7=0 \end{cases}"/><br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ax%3D-7%26%5C%5C%0Ax%3D-7%26%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="\begin{cases} x=-7&\\ x=-7& \end{cases}"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D-7-3%3D-10" alt="y=-7-3=-10"/><br/>
<br/>
piste (-7, -10)<br/>
<br/>
</div>
<a href="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/mag/3sljvk/nimet%C3%B6n-ab39/sieppaa-png#top" title="Sieppaa.PNG"><img src="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/mag/3sljvk/nimet%C3%B6n-ab39/sieppaa-png:file/photo/8c69ba45740924f02887640f57b8d3e62b605fe1/Sieppaa.PNG" alt="" title="Sieppaa.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a><br/>
<br/>
</div>
<div>b) Laske suorien välinen kulma käyttäen s. 78 lausetta.<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=muutetaan%5C%20lauseet%5C%20muotoon%5C%20y%3Dkx%2Bb" alt="muutetaan\ lauseet\ muotoon\ y=kx+b"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3x-2y%2B1%3D0" alt="3x-2y+1=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2y%3D3x%2B1" alt="2y=3x+1"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D" alt="y=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-2x%2By-4%3D0" alt="-2x+y-4=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D-2x-4" alt="y=-2x-4"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nyt%5C%20voidaan%5C%20k%C3%A4ytt%C3%A4%C3%A4%5C%20lausetta" alt="nyt\ voidaan\ käyttää\ lausetta"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Ctan%5Calpha%3D%5Cleft%7C%5Cfrac%7Bk_1-k_2%7D%7B1%2Bk_1k_2%7D%5Cright%7C" alt="\tan\alpha=\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Ctan%5Calpha%3D%5Cleft%7C%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D-2%7D%7B1%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Ccdot2%7D%5Cright%7C%3D%5Cleft%7C-%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%7B4%7D%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D" alt="\tan\alpha=\left|\frac{\frac{3}{2}-2}{1+\frac{3}{2}\cdot2}\right|=\left|-\frac{\frac{1}{2}}{4}\right|=\frac{1}{8}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Calpha%3D7%7B%2C%7D12502...%C2%B0" alt="\alpha=7{,}12502...°"/><br/>
<br/>
</div>
<div>c) Laske suorien välinen kulma käyttäen suuntakulmia.<br/>
<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3Dkx%2Bb" alt="y=kx+b"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D" alt="y=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}"/><br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D-2x-4" alt="y=-2x-4"/></div>
<div>suuntakulma α saadaan lauseella <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Ctan%5Calpha%3Dk" alt="\tan\alpha=k"/></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Ctan%5Calpha%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D" alt="\tan\alpha=\frac{3}{2}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Calpha%3D56%7B%2C%7D3099...%C2%B0" alt="\alpha=56{,}3099...°"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Ctan%5Calpha%3D-2" alt="\tan\alpha=-2"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Calpha%3D-63.4349...%C2%B0" alt="\alpha=-63.4349...°"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--></div>
<div>suorien välinen kulma saadaan suuntakulmien itseisarvojen erotuksesta</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=63%7B%2C%7D4349...%C2%B0-56%7B%2C%7D3099...%C2%B0%3D7%7B%2C%7D12505...%C2%B0%5Capprox7%7B%2C%7D1%C2%B0" alt="63{,}4349...°-56{,}3099...°=7{,}12505...°\approx7{,}1°"/></div>
</div>
<div>d) Mittaa suorien välinen kulma sopivalla ohjelmalla. Liitä kuvakaappaus.<br/>
<a href="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/mag/3sljvk/nimet%C3%B6n-ab39/sieppaa-png2#top" title="Sieppaa.PNG"><img src="https://peda.net/p/oskari.lahtinen/mag/3sljvk/nimet%C3%B6n-ab39/sieppaa-png2:file/photo/6272a369bf59c34da13e27116de229f0fc033685/Sieppaa.PNG" alt="" title="Sieppaa.PNG" class="inline" loading="lazy"/></a><br/>
<br/>
<br/>
351<br/>
A3<br/>
B1<br/>
C2<br/>
352<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=muodostetaan%5C%20suorien%5C%20yht%C3%A4l%C3%B6t%5C%20kahden%5C%20suoran%5C%20pisteen%5C%20avulla" alt="muodostetaan\ suorien\ yhtälöt\ kahden\ suoran\ pisteen\ avulla" title=""/><br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=k%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%20y%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%5Cfrac%7B4-1%7D%7B3-%5Cleft(-3%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B6%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D" alt="k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4-1}{3-\left(-3\right)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=suoran%5C%20yht%C3%A4l%C3%B6%5C%20pisteest%C3%A4%5C%20ja%5C%20kulma%5Cker%20toimesta" alt="suoran\ yhtälö\ pisteestä\ ja\ kulma\ker toimesta"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y-y_0%3Dk%5Cleft(x-x_0%5Cright)" alt="y-y_0=k\left(x-x_0\right)"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y-1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cleft(-3%5Cright)" alt="y-1=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\cdot\left(-3\right)"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D" alt="y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=tehd%C3%A4%C3%A4n%5C%20sama%5C%20toiselle%5C%20suoralle" alt="tehdään\ sama\ toiselle\ suoralle"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=k%3D%5Cfrac%7B%5CDelta%20y%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%5Cfrac%7B3-1%7D%7B-1-5%7D%3D-%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D" alt="k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{3-1}{-1-5}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y-1%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft(x-5%5Cright)" alt="y-1=-\frac{1}{3}\left(x-5\right)"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dx%2B%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D" alt="y=-\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ay%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%26%5C%5C%0Ay%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dx%2B%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%26%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="\begin{cases} y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}&\\ y=-\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}& \end{cases}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ratkaistaan%5C%20tekni%5Csin%5C%20apuv%C3%A4linein" alt="ratkaistaan\ tekni\sin\ apuvälinein"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B19%7D%7B5%7D%7B%2C%7D%5C%20y%3D%5Cfrac%7B7%7D%7B5%7D" alt="x=\frac{19}{5}{,}\ y=\frac{7}{5}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(%5Cfrac%7B19%7D%7B5%7D%7B%2C%7D%5C%20%5Cfrac%7B7%7D%7B5%7D%5Cright)" alt="\left(\frac{19}{5}{,}\ \frac{7}{5}\right)"/><br/>
<br/>
</div>
357 Piirrä kuva. Kolmion kärkipisteitä ei saa katsoa kuvasta, vaan ne tulee laskea tai muutoin perustella.<br/>
<br/>
kolmioiden kärkipisteet ovat suorien leikkauspisteitä<br/>
<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ax-5%3D0%26%5C%5C%0Ay-3%3D0%26%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="\begin{cases} x-5=0&\\ y-3=0& \end{cases}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(5%7B%2C%7D3%5Cright)" alt="\left(5{,}3\right)"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ax-5%3D0%26%5C%5C%0A2x%2B5y-15%3D0%26%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="\begin{cases} x-5=0&\\ 2x+5y-15=0& \end{cases}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D5%7B%2C%7D%5C%20" alt="x=5{,}\ "/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2%5Ccdot5%2B5y-15%3D0" alt="2\cdot5+5y-15=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=5y%3D5" alt="5y=5"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D1" alt="y=1"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(5%7B%2C%7D1%5Cright)" alt="\left(5{,}1\right)"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ay-3%3D0%26%5C%5C%0A2x%2B5y-15%3D0%26%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="\begin{cases} y-3=0&\\ 2x+5y-15=0& \end{cases}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D3%7B%2C%7D" alt="y=3{,}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%2B5%5Ccdot3-15%3D0" alt="2x+5\cdot3-15=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%3D0" alt="2x=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D0" alt="x=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(0%7B%2C%7D3%5Cright)" alt="\left(0{,}3\right)"/><br/>
<br/>
pisteestä ja siitä lähtevien kahden sivun pituudesta voidaan laskea pinta-ala<br/>
pisteeksi valitaan tässä (5,3)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=lasketaan%5C%20et%C3%A4isyys" alt="lasketaan\ etäisyys"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(0%7B%2C%7D3%5Cright)%5C%20ja%5C%20%5Cleft(5%7B%2C%7D3%5Cright)%5C%20v%C3%A4lill%C3%A4" alt="\left(0{,}3\right)\ ja\ \left(5{,}3\right)\ välillä"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%3D%5Cleft(5-0%5Cright)%5E2%2B%5Cleft(3-3%5Cright)%5E2" alt="x^2=\left(5-0\right)^2+\left(3-3\right)^2"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%3D25" alt="x^2=25"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D5%5C%20%5Cleft(tai%5C%20-5%5Cright)" alt="x=5\ \left(tai\ -5\right)"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=lasketaan%5C%20et%C3%A4isyys" alt="lasketaan\ etäisyys"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(5%7B%2C%7D3%5Cright)%5C%20ja%5C%20%5Cleft(5%7B%2C%7D1%5Cright)%5C%20v%C3%A4lill%C3%A4" alt="\left(5{,}3\right)\ ja\ \left(5{,}1\right)\ välillä"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%3D%5Cleft(5-5%5Cright)%5E2%2B%5Cleft(3-1%5Cright)%5E2" alt="x^2=\left(5-5\right)^2+\left(3-1\right)^2"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%3D4" alt="x^2=4"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D2%5C%20%5Cleft(tai%5C%20-2%5Cright)" alt="x=2\ \left(tai\ -2\right)"/><br/>
<div> </div>
<div>etäisyydet ovat 5 ja 2</div>
<div> </div>
<div>suorien leikkauskulma, joiden leikkauspiste on (5,3)</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ax-5%3D0%26%5C%5C%0Ay-3%3D0%26%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="\begin{cases} x-5=0&\\ y-3=0& \end{cases}"/></div>
<div>x=5, suora on pystysuora, jolloin sen suuntakulma on tasan 90°</div>
<div>y=3, suora on vaakasuora, jolloin sen suuntakulma on tasan 0°</div>
<div>suuntakulmien erotus on 90°, joka on suorien välinen kulma</div>
<div> </div>
<div>nähdään että kolmio on suorakulmainen, joten siihen voidaan käyttää suorakulmaisen kolmion pinta-alan laskusääntöä</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%3D%5Cfrac%7Bah%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B5%5Ccdot2%7D%7B2%7D%3D5" alt="A=\frac{ah}{2}=\frac{5\cdot2}{2}=5"/><br/>
kolmion pinta-ala on 5<br/>
<br/>
</div>
</div>
2019-08-27T12:47:22+03:00