https://peda.net/id/73653000963b1 2026-08-12T13:49:10+03:00 https://peda.net/:static/547/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license noopener" href="https://peda.net/info" target="_blank">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/a883ab749c6f1 2026-08-20T11:20:47+03:00 <b><span>Jaollisuus</span></b> <div>Luku a on jaollinen luvulla b, jos löytyy sellainen luku c, että</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a%3Dc%5Ccdot%20b%5C%20%5C%20%5Cleft(%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%3Dc%5Cright)%7B%2C%7D%5C%20t%C3%A4ss%C3%A4%5C%20a%7B%2C%7D%5C%20b%5C%20ja%5C%20c%5C%20ovat%5C%20kokonaislukuja%5C%20%5Cleft(merkit%C3%A4%C3%A4n%5C%20a%7B%2C%7Db%7B%2C%7Dc%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cright)" alt="a=c\cdot b\ \ \left(\frac{a}{b}=c\right){,}\ tässä\ a{,}\ b\ ja\ c\ ovat\ kokonaislukuja\ \left(merkitään\ a{,}b{,}c\in\mathbb{Z}\right)"/></div> <span>Sanotaan myös, että b on a:n tekijä tai b jakaa a:n.</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=esim%5C%20%5C%20%5C%2021%3D3%5Ccdot7%5C%20%5C%20%5Cleft(%5Cfrac%7B21%7D%7B7%7D%3D3%5Cright)%7B%2C%7D%5C%20mutta%5C%20" alt="esim\ \ \ 21=3\cdot7\ \ \left(\frac{21}{7}=3\right){,}\ mutta\ "/></div> <span>21 ei ole jaollinen luvulla 5, sillä</span><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B21%7D%7B5%7D%3D4%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%5C%20%5Cleft(%3D4%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%5Cright)" alt="\frac{21}{5}=4+\frac{1}{5}\ \left(=4\frac{1}{5}\right)"/><br/> <div>Lukuteoriassa tämä merkitään jakoyhtälön muotoon eli ylläoleva yhtälö kerrotaan luvulla 5</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=21%3D4%5Ccdot5%2B1" alt="21=4\cdot5+1"/></div> <div><span class="editor underline">Huom!</span></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Parillisia%5C%20lukuja%5C%20merkit%C3%A4%C3%A4n%5C%20yleisesti%5C%202n%5C%20ja%5C%20parittomia%5C%202n%2B1%5C%20%5Cleft(2n-1%5Cright)%7B%2C%7D%5C%20n%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D" alt="Parillisia\ lukuja\ merkitään\ yleisesti\ 2n\ ja\ parittomia\ 2n+1\ \left(2n-1\right){,}\ n\in\mathbb{Z}"/></div> <br/> <span> <b>Jakoyhtälö</b></span> <div><br/> <div>Kun luku a jaetaan luvulla b (luvut ovat kokonaislukuja, jossa b on jakaja ja a jaettava), saadaan</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%3Dq%2B%5Cfrac%7Br%7D%7Bb%7D%7B%2C%7D%5C%20jossa%5C%20my%C3%B6s%5C%20q%5C%20%5C%20ja%5C%20%5C%20r%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D" alt="\frac{a}{b}=q+\frac{r}{b}{,}\ jossa\ myös\ q\ \ ja\ \ r\in\mathbb{Z}"/></div> Kun tämä yhtälö kerrotaan b:llä saadaan <span class="editor underline">jakoyhtälö</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a%3Dq%5Ccdot%20b%2Br%7B%2C%7D%5C%20%5C%200%5Cle%20r%5Cle%20b-1" alt="a=q\cdot b+r{,}\ \ 0\le r\le b-1"/> (r on jakojäännös)<br/> <br/> Jos luku jaetaan luvulla 5 (=b) niin r voi saada arvot 0, 1, 2, 3 tai 4<br/> <br/> </div> </div> <div>Lukuteoriassa käytetään usein jakoyhtälöä tälläkin kurssilla.<br/> <br/> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=jos%5C%20r%3D0%5C%20niin%5C%20a%3Dq%5Ccdot%20b%5C%20%5C%20eli%5C%20a%5C%20on%5C%20jaollinen%5C%20b%3All%C3%A4" alt="jos\ r=0\ niin\ a=q\cdot b\ \ eli\ a\ on\ jaollinen\ b:llä"/><br/> <br/> </div> <span>esimerkkejä</span> <div>a) kun luku 37 jaetaan luvulla 5, saadaan jakoyhtälö</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=37%3D7%5Ccdot5%2B2" alt="37=7\cdot5+2"/></div> <div>b) kun luku 1828 jaetaan luvulla 6, saadaan jakoyhtälö</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1828%3D304%5Ccdot6%2B4" alt="1828=304\cdot6+4"/><br/> <br/> <br/> <br/> <div> <div><span class="editor underline">Lukujärjestelmät</span></div> <div> </div> <div>Kymmenlukujärjestelmän luku 3861 ajatellaan muodostuvan seuraavasti</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3861%5C%20%3D%5C%203%5Ccdot10%5E3%2B8%5Ccdot10%5E2%2B6%5Ccdot10%5E1%2B1%5Ccdot10%5E0" alt="3861\ =\ 3\cdot10^3+8\cdot10^2+6\cdot10^1+1\cdot10^0"/><br/> <br/> Vastaavasti esim 7-järjestelmän luku ajatellaan muodostuvan seuraavasti, esim</div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=6532_7%3D6%5Ccdot7%5E3%2B5%5Ccdot7%5E2%2B3%5Ccdot7%5E1%2B2%5Ccdot7%5E0%3D2326_%7B10%7D" alt="6532_7=6\cdot7^3+5\cdot7^2+3\cdot7^1+2\cdot7^0=2326_{10}"/></div> <div> </div> <div>Kymmenjärjestelmän luvun muuttaminen johonkin toiseen lukujärjestelmään onnistuu helposti jakoyhtälön avulla</div> <div>esim. Muutetaan 10-järjestelmän luku 7943  6-järjestelmän luvuksi: Jaetaan 10 järjestelmän luku 6:lla, josta kirjoitetaan jakoyhtälö.</div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=7943%3D1323%5Ccdot6%2B5%7B%2C%7D%5C%20%5C%20nyt%5C%20edelleen%5C%201323%5C%20jaetaan%5C%206%3Alla" alt="7943=1323\cdot6+5{,}\ \ nyt\ edelleen\ 1323\ jaetaan\ 6:lla"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1323%3D220%5Ccdot6%2B3%7B%2C%7D%5C%20%5C%20nyt%5C%20220%5C%20jaetaan%5C%206%3Alla" alt="1323=220\cdot6+3{,}\ \ nyt\ 220\ jaetaan\ 6:lla"/><br/> <span>220 = 36 * 6 + 4</span><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=36%3D6%5Ccdot6%2B0" alt="36=6\cdot6+0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=6%3D1%5Ccdot6%2B0" alt="6=1\cdot6+0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%3D0%5Ccdot6%2B1" alt="1=0\cdot6+1"/><br/> <div>Nyt 6-järjestelmän luku muodostuu jakojäännöksistä, kun ne luetaan lopusta alkuun päin eli</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=7943_%7B10%7D%3D100435_6%3D1%5Ccdot6%5E5%2B0%5Ccdot6%5E4%2B0%5Ccdot6%5E3%2B4%5Ccdot6%5E2%2B3%5Ccdot6%2B5%5Cleft(%5Ccdot6%5E0%5Cright)" alt="7943_{10}=100435_6=1\cdot6^5+0\cdot6^4+0\cdot6^3+4\cdot6^2+3\cdot6+5\left(\cdot6^0\right)"/></div> <br/> <div>&quot;Pienet 10-järjestelmän luvut&quot; on suhteellisen helppo muuttaa binäärijärjestelmään (2-lukujärjestelmä) päättelemällä esim</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=87_%7B10%7D%3D1%5Ccdot2%5E%7B%5E6%7D%2B0%5Ccdot2%5E5%2B1%5Ccdot2%5E4%2B0%5Ccdot2%5E3%2B1%5Ccdot2%5E2%2B1%5Ccdot2%5E1%2B1%5Ccdot2%5E0%3D1010111_2" alt="87_{10}=1\cdot2^{^6}+0\cdot2^5+1\cdot2^4+0\cdot2^3+1\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0=1010111_2"/></div> <br/> <div>16-lukujärjestelmän luvuissa voivat esiintyä jakojäännökset 10 - 15, joita merkitään aakkosten alkupään kirjaimilla eli</div> <div>10 =A, 11 = B, 12 = C, 13 = D, 14 = E ja 15 = F </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=16-j%C3%A4rjestelm%C3%A4n%5C%20luku%5C%20voi%5C%20olla%5C%20esim%5C%20ABBA" alt="16-järjestelmän\ luku\ voi\ olla\ esim\ ABBA"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=ABBA_%7B16%7D%3D10%5Ccdot16%5E3%2B11%5Ccdot16%5E2%2B11%5Ccdot16%2B10%5Ccdot16%5E0%3D43962_%7B10%7D" alt="ABBA_{16}=10\cdot16^3+11\cdot16^2+11\cdot16+10\cdot16^0=43962_{10}"/><br/> <br/> <br/> <div> <h3><b>Teoriaa lukujärjestelmistä</b></h3> <div> </div> <span>Kymmen- eli desimaalijärjestelmässä kaikki luvut esitetään numeroita 0, 1, 2, ... , 8, 9 käytäen. Numeron paikka <br/> luvussa ilmaisee eri kantaluvun 10 potenssin kerrointa, joista viimeinen numero on 10^0 kerroin.<br/> <br/> </span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Esimerkiksi%5C%20luku%5C%202508%3D2%5Ccdot10%5E3%2B5%5Ccdot10%5E2%2B0%5Ccdot10%5E1%2B8%5Ccdot10%5E0" alt="Esimerkiksi\ luku\ 2508=2\cdot10^3+5\cdot10^2+0\cdot10^1+8\cdot10^0"/></div> <div> </div> <div>Lukuja voidaan esittää myös muissa lukujärjestelmässä esimerkiksi oktaali- eli 8-lukujärjestelmässä, jossa esiintyy <br/> vain numeroita 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 tai 7.<br/> <br/> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Esimerkiksi%5C%208-j%C3%A4rjestelm%C3%A4n%5C%20luku%5C%201234%5C%20%3D1%5Ccdot8%5E3%2B2%5Ccdot8%5E2%2B3%5Ccdot8%5E1%2B4%5Ccdot8%5E0%5C%20" alt="Esimerkiksi\ 8-järjestelmän\ luku\ 1234\ =1\cdot8^3+2\cdot8^2+3\cdot8^1+4\cdot8^0\ "/></div> <span>eli se koostuu eri kantaluvun 8 potenssien kertoimista. Tämä 8-järjestelmän luku voidaan helposti laskimella <br/> laskien muuttaa kymmenjärjestelmän luvuksi eli<br/> <br/> </span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1234_8%3D1%5Ccdot8%5E3%2B2%5Ccdot8%5E2%2B3%5Ccdot8%5E1%2B4%5Ccdot8%5E0%3D668_%7B10%7D%5C%20%5Cleft(alaindeksi%5C%20kuvaa%5C%20kantalukua%5Cright)" alt="1234_8=1\cdot8^3+2\cdot8^2+3\cdot8^1+4\cdot8^0=668_{10}\ \left(alaindeksi\ kuvaa\ kantalukua\right)"/></div> <p>Muuta 6-järjestelmän luku 12433 kymmenjärjestelmän luvuksi.</p> <br/> <br/> <br/> </div> </div> 2026-08-20T11:18:00+03:00 https://peda.net/id/3f9a4c0c9c701 2026-09-04T09:22:45+03:00 <span> <b>Alkuluvut</b></span> <div> </div> <div>Alkuluvut ovat lukuja, jotka ovat jaollisia luvulla itsellään ja luvulla 1. Eli alkuluvun tekijät ovat 1 ja luku itse. </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Alkulukujen%5C%20joukko%5C%20P%5C%20%3D%5C%20%5Cleft%5C%7B2%7B%2C%7D%5C%203%7B%2C%7D%5C%205%7B%2C%7D%5C%207%7B%2C%7D%5C%2011%7B%2C%7D%5C%2013%7B%2C%7D%5C%2017%7B%2C%7D%5C%2019%7B%2C%7D%5C%2023%7B%2C%7D%5C%20...%5Cright%5C%7D" alt="Alkulukujen\ joukko\ P\ =\ \left\{2{,}\ 3{,}\ 5{,}\ 7{,}\ 11{,}\ 13{,}\ 17{,}\ 19{,}\ 23{,}\ ...\right\}"/></div> <div>Alkulukuja kutsutaan myös jaottomiksi luvuiksi.</div> <div>Yhdistettyjä lukuja ovat kaikki ne luvut, jotka eivät ole alkulukuja.</div> <div>Yhdistetty luku voidaan esittää alkulukujen tulona eli hajoittaa alkutekijöihin vain yhdellä tavalla.</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Esim.%5C%20680%3D2%5Ccdot34%5Ccdot10%3D2%5Ccdot2%5Ccdot17%5Ccdot2%5Ccdot5%3D2%5E3%5Ccdot5%5Ccdot17" alt="Esim.\ 680=2\cdot34\cdot10=2\cdot2\cdot17\cdot2\cdot5=2^3\cdot5\cdot17"/></div> <div> </div> <div>Yksinkertainen alkulukutesti: </div> <div>Selvitetään onko annettu luku n jaollinen niillä alkuluvuilla, jotka ovat pienempiä kuin luvun n neliöjuuri.</div> <div> </div> <div>esim. Onko luku a) 163, b) 781 alkuluku</div> <div>a) </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%7B163%7D%5Capprox12%7B%2C%7D8" alt="\sqrt{163}\approx12{,}8"/></div> <span>Tutkitaan, onko luku 163 jaollinen luvuilla 11, 7, 5, 3 tai 2? Huomataan, ettei se ole jaollinen yhdelläkään näistä, joten 163 on alkuluku.</span> <div>b) </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%7B781%7D%5Capprox27%7B%2C%7D9" alt="\sqrt{781}\approx27{,}9"/></div> <span>Onko 781 jaollinen alkuluvuilla 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23? Huomataan, että 781 = 11*71 eli 781 ei ole alkuluku.</span> <div><br/> <span><br/> <br/> Muuta 10-järjestelmän luku 4589 oktaali eli 8-järjestelmän luvuksi.</span> <div> </div> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(4589_%7B10%7D%3D%3F_8%5Cright)" alt="\left(4589_{10}=?_8\right)"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="\left(4589_{10}=?_8\right)"--></div> <div> </div> <div>Käytetään jakoyhtälöä apuna eli lähdetään 4589 jakamaan luvulla 8. Edelleen jakoyhtälön 8:n monikerta jaetaan luvulla 8</div> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=4589%3D573%5Ccdot8%2B5" alt="4589=573\cdot8+5"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="4589=573\cdot8+5"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=573%3D71%5Ccdot8%2B5" alt="573=71\cdot8+5"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="573=71\cdot8+5"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=71%3D8%5Ccdot8%2B7" alt="71=8\cdot8+7"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="71=8\cdot8+7"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=8%3D1%5Ccdot8%2B0" alt="8=1\cdot8+0"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="8=1\cdot8+0"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%3D0%5Ccdot1%2B1" alt="1=0\cdot1+1"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="1=0\cdot1+1"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=8-j%C3%A4rjestelm%C3%A4n%5C%20luku%5C%20koostuu%5C%20jakoj%C3%A4%C3%A4nn%C3%B6ksist%C3%A4%5C%20lopusta%5C%20alkuunp%C3%A4in" alt="8-järjestelmän\ luku\ koostuu\ jakojäännöksistä\ lopusta\ alkuunpäin"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="8-järjestelmän\ luku\ koostuu\ jakojäännöksistä\ lopusta\ alkuunpäin"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=10755_8%3D4589_%7B10%7D%5Cleft(%3D1%5Ccdot8%5E4%2B0%5Ccdot8%5E3%2B7%5Ccdot8%5E2%2B5%5Ccdot8%5E1%2B5%5Ccdot8%5E0%5Cright)" alt="10755_8=4589_{10}\left(=1\cdot8^4+0\cdot8^3+7\cdot8^2+5\cdot8^1+5\cdot8^0\right)"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="10755_8=4589_{10}\left(=1\cdot8^4+0\cdot8^3+7\cdot8^2+5\cdot8^1+5\cdot8^0\right)"--></div> <div> </div> <div> </div> <div> </div> <div>224</div> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a%5C%20on%5C%20jaollinen%5C%20n%3All%C3%A4%5C%20%5C%20%5CRightarrow%5C%20a%3Dc%5Ccdot%20n%5C%20%5C%20ja%5C%20b%5C%20on%5C%20jaollinen%5C%20n%3All%C3%A4%5C%20%5C%20%5C%20%5CRightarrow%5C%20b%3Dd%5Ccdot%20n%5C%20%5C%20%5Cleft(c%5C%20ja%5C%20d%5C%20%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5Cright)" alt="a\ on\ jaollinen\ n:llä\ \ \Rightarrow\ a=c\cdot n\ \ ja\ b\ on\ jaollinen\ n:llä\ \ \ \Rightarrow\ b=d\cdot n\ \ \left(c\ ja\ d\ \in\mathbb{Z}\right)"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="a\ on\ jaollinen\ n:llä\ \ \Rightarrow\ a=c\cdot n\ \ ja\ b\ on\ jaollinen\ n:llä\ \ \ \Rightarrow\ b=d\cdot n\ \ \left(c\ ja\ d\ \in\mathbb{Z}\right)"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=summa%5C%20a%2Bb%3Dc%5Ccdot%20n%2Bd%5Ccdot%20n%3D%5Cleft(c%2Bd%5Cright)n%3De%5Ccdot%20n%7B%2C%7D%5C%20c%2Bd%3De%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D" alt="summa\ a+b=c\cdot n+d\cdot n=\left(c+d\right)n=e\cdot n{,}\ c+d=e\in\mathbb{Z}"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="summa\ a+b=c\cdot n+d\cdot n=\left(c+d\right)n=e\cdot n{,}\ c+d=e\in\mathbb{Z}"--></div> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=koska%5C%20a%2Bb%3De%5Ccdot%20n%5C%20%5C%20niin%5C%20a%2Bb%5C%20on%5C%20jaollinen%5C%20n%3All%C3%A4" alt="koska\ a+b=e\cdot n\ \ niin\ a+b\ on\ jaollinen\ n:llä"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="koska\ a+b=e\cdot n\ \ niin\ a+b\ on\ jaollinen\ n:llä"--></div> <br/> <br/> </div> <div><span class="editor underline">Lukujen suurin yhteinen tekijä ja pienin yhteinen monikerta (jaettava)</span></div> <div> </div> <div>Lukujen a ja b</div> <ul> <li>suurin yhteinen tekijä, syt(a,b) on suurin luku, joka jakaa molemmat luvut eli jolla molemmat luvut ovat jaollisia</li> <li>pienin yhteinen monikerta (tai jaettava), pym(a,b) (pyj(a,b)) on pienin kokonaisluku, joka on jaollinen molemmilla luvuilla.</li> </ul> <div> </div> <div>syt(a,b) ja pym(a,b) löydetään helposti jakamalla luvut a ja b alkutekijöihin.</div> <div> </div> <div>esimerkki</div> <div>Määritä syt(a,b) ja pym(a,b), kun a = 72 ja b = 240</div> <div>Jaetaan luvut alkutekijäihin</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=72%3D8%5Ccdot9%3D2%5E3%5Ccdot3%5E2" alt="72=8\cdot9=2^3\cdot3^2"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=240%3D3%5Ccdot8%5Ccdot10%3D3%5Ccdot2%5E3%5Ccdot2%5Ccdot5%3D2%5E4%5Ccdot3%5Ccdot5" alt="240=3\cdot8\cdot10=3\cdot2^3\cdot2\cdot5=2^4\cdot3\cdot5"/></div> <div>Nyt syt(a,b) on yhteisten alkutekijöiden tulo ja pym(a,b) on kaikkien alkutekijöiden tulo eli</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=syt%5Cleft(72%7B%2C%7D240%5Cright)%3D2%5E3%5Ccdot3%3D24%5C%20%5C%20ja%5C%20%5C%20pym%5Cleft(72%7B%2C%7D240%5Cright)%3D2%5E4%5Ccdot3%5E2%5Ccdot5%3D720" alt="syt\left(72{,}240\right)=2^3\cdot3=24\ \ ja\ \ pym\left(72{,}240\right)=2^4\cdot3^2\cdot5=720"/><br/> <br/> <br/> <span><b>Eukleideen algoritmi</b></span> <div> </div> <div>Eukleideen algoritmin avulla voidaan määrittää kahden kokonaisluvun a ja b suurin yhteinen tekijä, syt(a, b).</div> <div>Sen käyttäminen on järkevää erityisesti silloin, kun lukujen a ja b jakaminen alkutekijöihin on työlästä: usein silloin, kun a ja b ovat suuria lukuja.</div> <div>Eukleideen algoritmissa käytetään jakoyhtälöä toistuvasti; niin kauan kunnes jako menee tasan.</div> <div>Algoritmissa edetään seuraavasti: luvuista a ja b suurempi jaetaan pienemmällä. Oletetaan, että a &gt; b eli saadaan jakoyhtälö</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a%3Dq_1b%2Br_1%7B%2C%7D%5C%20%5C%20jos%5C%20r_1%5Cne0%5C%20niin%5C%20%5Cfrac%7Bb%7D%7Br_1%7D" alt="a=q_1b+r_1{,}\ \ jos\ r_1\ne0\ niin\ \frac{b}{r_1}"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=b%3Dq_2r_1%2Br_2%7B%2C%7D%5C%20jos%5C%20r_2%5Cne0%5C%20niin%5C%20%5Cfrac%7Br_1%7D%7Br_2%7D" alt="b=q_2r_1+r_2{,}\ jos\ r_2\ne0\ niin\ \frac{r_1}{r_2}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=r_1%3Dq_3r_2%2Br_3" alt="r_1=q_3r_2+r_3"/><span>jne</span> <div>Tätä jatketaan kunnes jako menee tasan. Viimeinen jakaja on syt(a, b).</div> <div> </div> <div>Syt(a, b) voidaan esittää muodossa (eli löytyy sellaiset kokonaisluvut x ja y, että)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=syt%5Cleft(a%7B%2C%7Db%5Cright)%3Dax%2Bby%7B%2C%7D%5C%20jossa%5C%20x%5C%20ja%5C%20y%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D" alt="syt\left(a{,}b\right)=ax+by{,}\ jossa\ x\ ja\ y\in\mathbb{Z}"/></div> <div>Tässä käytetään Eukleideen algoritmin jakoyhtälöitä apuna alkaen toiseksi viimeisestä jakoyhtälöstä, jonka jakojäännös on syt.</div> <div> </div> <div>Esim. Määritä a) syt(120, 84), b) syt(306, 657)<br/> <br/> <span>a) syt(120, 84)</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(%5Cfrac%7B120%7D%7B84%7D%5CRightarrow%5Cright)%3A%5C%20%5C%20120%3D1%5Ccdot84%2B36%5C%20%5C%20%5Cleft(kirjassa%5C%20syt%5Cleft(120%7B%2C%7D84%5Cright)%3Dsyt%5C%20%5Cleft(84%7B%2C%7D36%5Cright)%5Cright)" alt="\left(\frac{120}{84}\Rightarrow\right):\ \ 120=1\cdot84+36\ \ \left(kirjassa\ syt\left(120{,}84\right)=syt\ \left(84{,}36\right)\right)"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(%5Cfrac%7B84%7D%7B36%7D%5CRightarrow%5Cright)%3A%5C%20%5C%2084%3D2%5Ccdot36%2B12%5C%20%5C%20%5C%20%5Cleft(kirja%3A%5C%20syt%5Cleft(84%7B%2C%7D36%5Cright)%3Dsyt%5Cleft(36%7B%2C%7D12%5Cright)%3D12%5Cright)" alt="\left(\frac{84}{36}\Rightarrow\right):\ \ 84=2\cdot36+12\ \ \ \left(kirja:\ syt\left(84{,}36\right)=syt\left(36{,}12\right)=12\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(%5Cfrac%7B36%7D%7B12%7D%5CRightarrow%5Cright)%5C%20%3A%5C%20%5C%2036%3D3%5Ccdot12%5C%20%5C%20eli%5C%20syt%5C%20%5Cleft(120%7B%2C%7D%5C%2084%5Cright)%3D12" alt="\left(\frac{36}{12}\Rightarrow\right)\ :\ \ 36=3\cdot12\ \ eli\ syt\ \left(120{,}\ 84\right)=12"/> <div>toinen tapa: jaetaan luvut alkutekijöihin</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=120%3D4%5Ccdot3%5Ccdot10%3D2%5E2%5Ccdot3%5Ccdot2%5Ccdot5%3D2%5E3%5Ccdot3%5Ccdot5" alt="120=4\cdot3\cdot10=2^2\cdot3\cdot2\cdot5=2^3\cdot3\cdot5"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=84%3D4%5Ccdot21%3D2%5E2%5Ccdot3%5Ccdot7%5C%20" alt="84=4\cdot21=2^2\cdot3\cdot7\ "/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=eli%5C%20syt%5Cleft(120%7B%2C%7D84%5Cright)%3D2%5E2%5Ccdot3%3D12" alt="eli\ syt\left(120{,}84\right)=2^2\cdot3=12"/></div> <div> </div> <div>b) syt(306, 657)</div> <div><br/> <span>syt (306, 657) määrittäminen Eukleideen algoritmilla</span> <div> </div> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=657%3D2%5Ccdot306%2B45" alt="657=2\cdot306+45"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="657=2\cdot306+45"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=306%3D6%5Ccdot45%2B36" alt="306=6\cdot45+36"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="306=6\cdot45+36"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=45%3D1%5Ccdot36%2B9" alt="45=1\cdot36+9"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="45=1\cdot36+9"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=36%3D4%5Ccdot9" alt="36=4\cdot9"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="36=4\cdot9"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5CRightarrow%5C%20syt%5Cleft(306%7B%2C%7D%5C%20657%5Cright)%3D9" alt="\Rightarrow\ syt\left(306{,}\ 657\right)=9"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="\Rightarrow\ syt\left(306{,}\ 657\right)=9"--></div> <div> </div> <br/> <br/> <span>Määritä syt(851, 667) ja esitä syt muodossa 851x + 667y<br/> <br/> </span> <div>syt(851, 667)</div> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=851%3D1%5Ccdot667%2B184" alt="851=1\cdot667+184"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="851=1\cdot667+184"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=667%3D3%5Ccdot184%2B115" alt="667=3\cdot184+115"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="667=3\cdot184+115"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=184%3D1%5Ccdot115%2B69" alt="184=1\cdot115+69"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="184=1\cdot115+69"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=115%3D1%5Ccdot69%2B46" alt="115=1\cdot69+46"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="115=1\cdot69+46"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=69%3D1%5Ccdot46%2B23" alt="69=1\cdot46+23"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="69=1\cdot46+23"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=46%3D2%5Ccdot23" alt="46=2\cdot23"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="46=2\cdot23"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=koska%5C%20jako%5C%20meni%5C%20tasan%5C%20niin%5C%20viimeinen%5C%20jakaja%5C%2023%5C%20on%5C%20syt%5Cleft(851%7B%2C%7D%5C%20667%5Cright)" alt="koska\ jako\ meni\ tasan\ niin\ viimeinen\ jakaja\ 23\ on\ syt\left(851{,}\ 667\right)"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="koska\ jako\ meni\ tasan\ niin\ viimeinen\ jakaja\ 23\ on\ syt\left(851{,}\ 667\right)"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nyt%5C%20etsit%C3%A4%C3%A4n%5C%20kokonaisluvut%5C%20x%5C%20ja%5C%20y%5C%20siten%7B%2C%7D%5C%20ett%C3%A4%5C%2023%3D851x%2B667y" alt="nyt\ etsitään\ kokonaisluvut\ x\ ja\ y\ siten{,}\ että\ 23=851x+667y"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="nyt\ etsitään\ kokonaisluvut\ x\ ja\ y\ siten{,}\ että\ 23=851x+667y"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=t%C3%A4ss%C3%A4%5C%20k%C3%A4ytet%C3%A4%C3%A4n%5C%20apuna%5C%20Eukleideen%5C%20a%5Clg%20orit%5Cmin%5C%20jakoyht%C3%A4l%C3%B6it%C3%A4" alt="tässä\ käytetään\ apuna\ Eukleideen\ a\lg orit\min\ jakoyhtälöitä"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="tässä\ käytetään\ apuna\ Eukleideen\ a\lg orit\min\ jakoyhtälöitä"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=5.%5C%20jakoyht%C3%A4l%C3%B6st%C3%A4%5C%20ratkaistaan%5C%20jakoj%C3%A4%C3%A4nn%C3%B6s%3A%5C%2023%3D69-1%5Ccdot46" alt="5.\ jakoyhtälöstä\ ratkaistaan\ jakojäännös:\ 23=69-1\cdot46"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="5.\ jakoyhtälöstä\ ratkaistaan\ jakojäännös:\ 23=69-1\cdot46"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=4.%5C%20jakoyht%C3%A4l%C3%B6st%C3%A4%5C%20ratkaistaan%5C%20jakoj%C3%A4%C3%A4nn%C3%B6s%5C%2046%3D115-1%5Ccdot69%7B%2C%7D%5C%20joka%5C%20sijoitetaan%5C%20edelliseen%5C%20yht%C3%A4l%C3%B6%C3%B6n" alt="4.\ jakoyhtälöstä\ ratkaistaan\ jakojäännös\ 46=115-1\cdot69{,}\ joka\ sijoitetaan\ edelliseen\ yhtälöön"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="4.\ jakoyhtälöstä\ ratkaistaan\ jakojäännös\ 46=115-1\cdot69{,}\ joka\ sijoitetaan\ edelliseen\ yhtälöön"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nyt%5C%2023%3D69-1%5Ccdot%5Cleft(115-1%5Ccdot69%5Cright)%3D69-1%5Ccdot115%2B69%3D2%5Ccdot69-1%5Ccdot115" alt="nyt\ 23=69-1\cdot\left(115-1\cdot69\right)=69-1\cdot115+69=2\cdot69-1\cdot115"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="nyt\ 23=69-1\cdot\left(115-1\cdot69\right)=69-1\cdot115+69=2\cdot69-1\cdot115"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=eli%5C%2023%3D2%5Ccdot69-1%5Ccdot115" alt="eli\ 23=2\cdot69-1\cdot115"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="eli\ 23=2\cdot69-1\cdot115"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3.%5C%20jakoyht%C3%A4l%C3%B6n%5C%20jakoj%C3%A4%C3%A4nn%C3%B6s%5C%2069%3D184-1%5Ccdot115%7B%2C%7D%5C%20joka%5C%20sijoitetaan%5C%20yht%C3%A4l%C3%B6%C3%B6n%5C%2023%3D2%5Ccdot69-1%5Ccdot115" alt="3.\ jakoyhtälön\ jakojäännös\ 69=184-1\cdot115{,}\ joka\ sijoitetaan\ yhtälöön\ 23=2\cdot69-1\cdot115"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="3.\ jakoyhtälön\ jakojäännös\ 69=184-1\cdot115{,}\ joka\ sijoitetaan\ yhtälöön\ 23=2\cdot69-1\cdot115"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=23%3D2%5Ccdot%5Cleft(184-1%5Ccdot115%5Cright)-1%5Ccdot115%3D2%5Ccdot184-3%5Ccdot115" alt="23=2\cdot\left(184-1\cdot115\right)-1\cdot115=2\cdot184-3\cdot115"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="23=2\cdot\left(184-1\cdot115\right)-1\cdot115=2\cdot184-3\cdot115"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2.%5C%20jakoyht%C3%A4l%C3%B6n%5C%20mukaan%5C%20115%3D667-3%5Ccdot184" alt="2.\ jakoyhtälön\ mukaan\ 115=667-3\cdot184"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="2.\ jakoyhtälön\ mukaan\ 115=667-3\cdot184"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nyt%5C%2023%3D2%5Ccdot184-3%5Ccdot%5Cleft(667-3%5Ccdot184%5Cright)%3D11%5Ccdot184-3%5Ccdot667" alt="nyt\ 23=2\cdot184-3\cdot\left(667-3\cdot184\right)=11\cdot184-3\cdot667"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="nyt\ 23=2\cdot184-3\cdot\left(667-3\cdot184\right)=11\cdot184-3\cdot667"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1.%5C%20jakoyht%C3%A4l%C3%B6n%5C%20mukaan%5C%20184%3D851-1%5Ccdot667" alt="1.\ jakoyhtälön\ mukaan\ 184=851-1\cdot667"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="1.\ jakoyhtälön\ mukaan\ 184=851-1\cdot667"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nyt%5C%2023%3D11%5Ccdot%5Cleft(851-1%5Ccdot667%5Cright)-3%5Ccdot667%3D11%5Ccdot851-14%5Ccdot667" alt="nyt\ 23=11\cdot\left(851-1\cdot667\right)-3\cdot667=11\cdot851-14\cdot667"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="nyt\ 23=11\cdot\left(851-1\cdot667\right)-3\cdot667=11\cdot851-14\cdot667"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=eli%5C%2023%3D851%5Ccdot11%2B667%5Ccdot%5Cleft(-14%5Cright)%5C%20eli%5C%20x%3D11%5C%20ja%5C%20y%3D-14" alt="eli\ 23=851\cdot11+667\cdot\left(-14\right)\ eli\ x=11\ ja\ y=-14"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="eli\ 23=851\cdot11+667\cdot\left(-14\right)\ eli\ x=11\ ja\ y=-14"--><br/> <br/> <br/> </div> <br/> <br/> <span><span>Määritä syt(5768, 1545) ja esitä se muodossa 5768x + 1545y<br/> <br/> <br/> <br/> Oppilaskunnalla oli rahaa keväällä 542 €. Hallitus halusi käyttää koko rahan vapputapahtumaan ostamalla munkkeja; tavallisia hintaan 1,1 €/kpl ja hillomunkkeja hintaan 1,5 €/kpl. Kuinka monta tavallista ja hillomunkkia hallituksella oli mahdollista ostaa 542 €:lla?</span></span> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=t%C3%A4st%C3%A4%5C%20saadaan%5C%20%5C%20yht%C3%A4l%C3%B6%5C%201%7B%2C%7D1x%2B1%7B%2C%7D5y%3D542" alt="tästä\ saadaan\ \ yhtälö\ 1{,}1x+1{,}5y=542"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="tästä\ saadaan\ \ yhtälö\ 1{,}1x+1{,}5y=542"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cker%20tomalla%5C%20t%C3%A4m%C3%A4%5C%20luvulla%5C%2010%5C%20saadaan%5C%20Diofantoksen%5C%20yht%C3%A4l%C3%B6%5C%2011x%2B15y%3D5420" alt="\ker tomalla\ tämä\ luvulla\ 10\ saadaan\ Diofantoksen\ yhtälö\ 11x+15y=5420"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="\ker tomalla\ tämä\ luvulla\ 10\ saadaan\ Diofantoksen\ yhtälö\ 11x+15y=5420"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=15%3D1%5Ccdot11%2B4%5C%20%5C%20%5CRightarrow%5C%20%5C%204%3D15-11" alt="15=1\cdot11+4\ \ \Rightarrow\ \ 4=15-11"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="15=1\cdot11+4\ \ \Rightarrow\ \ 4=15-11"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=11%3D2%5Ccdot4%2B3%5C%20%5C%20%5CRightarrow%5C%20%5C%203%3D11-2%5Ccdot4" alt="11=2\cdot4+3\ \ \Rightarrow\ \ 3=11-2\cdot4"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="11=2\cdot4+3\ \ \Rightarrow\ \ 3=11-2\cdot4"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=4%3D1%5Ccdot3%2B1%5C%20%5C%20%5CRightarrow1%3D4-3" alt="4=1\cdot3+1\ \ \Rightarrow1=4-3"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="4=1\cdot3+1\ \ \Rightarrow1=4-3"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=3%3D3%5Ccdot1" alt="3=3\cdot1"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="3=3\cdot1"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=syt%5C%20on%5C%201%3D4-3%3D4-%5Cleft(11-2%5Ccdot4%5Cright)%3D3%5Ccdot4-11" alt="syt\ on\ 1=4-3=4-\left(11-2\cdot4\right)=3\cdot4-11"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="syt\ on\ 1=4-3=4-\left(11-2\cdot4\right)=3\cdot4-11"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=1%3D3%5Ccdot%5Cleft(15-11%5Cright)-11%3D3%5Ccdot15-4%5Ccdot11" alt="1=3\cdot\left(15-11\right)-11=3\cdot15-4\cdot11"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="1=3\cdot\left(15-11\right)-11=3\cdot15-4\cdot11"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(5420%3D11x%2B15y%5Cright)" alt="\left(5420=11x+15y\right)"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="\left(5420=11x+15y\right)"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nyt%5C%20yht%C3%A4l%C3%B6%5C%201%3D3%5Ccdot15-4%5Ccdot11%5C%20%5Cker%20rotaan%5C%20luvulla%5C%205420" alt="nyt\ yhtälö\ 1=3\cdot15-4\cdot11\ \ker rotaan\ luvulla\ 5420"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="nyt\ yhtälö\ 1=3\cdot15-4\cdot11\ \ker rotaan\ luvulla\ 5420"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=5420%3D3%5Ccdot5420%5Ccdot15-4%5Ccdot5420%5Ccdot11%5C%20eli%5C%20y_0%3D3%5Ccdot5420%5C%20%5C%20ja%5C%20x_0%3D-4%5Ccdot5420" alt="5420=3\cdot5420\cdot15-4\cdot5420\cdot11\ eli\ y_0=3\cdot5420\ \ ja\ x_0=-4\cdot5420"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="5420=3\cdot5420\cdot15-4\cdot5420\cdot11\ eli\ y_0=3\cdot5420\ \ ja\ x_0=-4\cdot5420"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=yleinen%5C%20ratkaisu" alt="yleinen\ ratkaisu"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="yleinen\ ratkaisu"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ax%3D-21680%2B15n%26%5C%5C%0Ay%3D16260-11n%26%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="\begin{cases}&#10;x=-21680+15n&amp;\\&#10;y=16260-11n&amp;&#10;\end{cases}"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="\begin{cases} x=-21680+15n&\\ y=16260-11n& \end{cases}"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=lukum%C3%A4%C3%A4r%C3%A4t%5C%20x%5C%20ja%5C%20y%5C%20on%5C%20oltava%5C%20positiivisia" alt="lukumäärät\ x\ ja\ y\ on\ oltava\ positiivisia"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="lukumäärät\ x\ ja\ y\ on\ oltava\ positiivisia"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5CRightarrow-21680%2B15n%3E0%5C%20%5C%20ja%5C%2016260-11n%3E0" alt="\Rightarrow-21680+15n&gt;0\ \ ja\ 16260-11n&gt;0"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="\Rightarrow-21680+15n>0\ \ ja\ 16260-11n>0"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%3E1445%7B%2C%7D3%5C%20%5C%20ja%5C%20n%3C1478%7B%2C%7D2%5C%20eli%5C%20kokonaisluku%5C%20n%5C%20on%5C%20v%C3%A4lill%C3%A4%5C%201446%5Cle%20n%3C1478" alt="n&gt;1445{,}3\ \ ja\ n&lt;1478{,}2\ eli\ kokonaisluku\ n\ on\ välillä\ 1446\le n&lt;1478"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="n>1445{,}3\ \ ja\ n<1478{,}2\ eli\ kokonaisluku\ n\ on\ välillä\ 1446\le n<1478"--><br/> <br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=n%5C%20voi%5C%20olla%5C%201446%7B%2C%7D%5C%201447%7B%2C%7D%5C%20...%5C%20%7B%2C%7D%5C%201478" alt="n\ voi\ olla\ 1446{,}\ 1447{,}\ ...\ {,}\ 1478"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="n\ voi\ olla\ 1446{,}\ 1447{,}\ ...\ {,}\ 1478"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=kun%5C%20n%3D1446%3A%5C%20x%3D10%5C%20ja%5C%20y%3D354" alt="kun\ n=1446:\ x=10\ ja\ y=354"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="kun\ n=1446:\ x=10\ ja\ y=354"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=toinen%5C%20%C3%A4%C3%A4rip%C3%A4%C3%A4%5C%20eli%5C%20n%3D1478%3A%5C%20x%3D490%5C%20ja%5C%20y%3D2" alt="toinen\ ääripää\ eli\ n=1478:\ x=490\ ja\ y=2"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="toinen\ ääripää\ eli\ n=1478:\ x=490\ ja\ y=2"--><br/> <br/> <br/> Ratkaise Diofantoksen yhtälö.<br/> <div> </div> <div>a)</div> <span>28x</span><span>+</span><span>36</span><span>y</span><span>=</span><span>8</span><span> </span><br/> <div>Helposti huomataan, että yksi ratkaisupari on </div> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x_0%3D-1%5C%20ja%5C%20y_0%3D1" alt="x_0=-1\ ja\ y_0=1"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="x_0=-1\ ja\ y_0=1"--><br/> syt(28, 36) = 4 </div> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(28%3D2%5E2%5Ccdot7%5C%20%5C%20ja%5C%2036%3D2%5E2%5Ccdot3%5E2%5Cright)" alt="\left(28=2^2\cdot7\ \ ja\ 36=2^2\cdot3^2\right)"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="\left(28=2^2\cdot7\ \ ja\ 36=2^2\cdot3^2\right)"--></div> <div> </div> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ax%3D-1%2Bn%5Ccdot%5Cfrac%7B36%7D%7B%5Ctext%7B4%7D%7D%3D-1%2B9n%5C%5C%0Ay%3D1-n%5Ccdot%5Cfrac%7B28%7D%7B%5Ctext%7B4%7D%7D%3D1-7n%0A%5Cend%7Bcases%7D%5C%20(n%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D)" alt="\begin{cases}&#10;x=-1+n\cdot\frac{36}{\text{4}}=-1+9n\\&#10;y=1-n\cdot\frac{28}{\text{4}}=1-7n&#10;\end{cases}\ (n\in\mathbb{Z})"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="\begin{cases} x=-1+n\cdot\frac{36}{\text{4}}=-1+9n\\ y=1-n\cdot\frac{28}{\text{4}}=1-7n \end{cases}\ (n\in\mathbb{Z})"--></div> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=kun%5C%20n%3D1%3A%5C%20x%3D8%5C%20ja%5C%20y%3D-6" alt="kun\ n=1:\ x=8\ ja\ y=-6"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="kun\ n=1:\ x=8\ ja\ y=-6"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=kun%5C%20n%3D2%3A%5C%20x%3D17%5C%20ja%5C%20y%3D-13" alt="kun\ n=2:\ x=17\ ja\ y=-13"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="kun\ n=2:\ x=17\ ja\ y=-13"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=kun%5C%20n%3D-1%3A%5C%20x%3D-10%5C%20ja%5C%20y%3D8" alt="kun\ n=-1:\ x=-10\ ja\ y=8"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="kun\ n=-1:\ x=-10\ ja\ y=8"--><br/> <br/> </div> <div>b)</div> <div>2520x+936y=144</div> <div> </div> <div>syt (2520, 936) määritetään ensin Eukleideen algoritmilla</div> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2520%3D2%5Ccdot936%2B648" alt="2520=2\cdot936+648"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="2520=2\cdot936+648"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=936%3D1%5Ccdot648%2B288" alt="936=1\cdot648+288"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="936=1\cdot648+288"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=648%3D2%5Ccdot288%2B72" alt="648=2\cdot288+72"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="648=2\cdot288+72"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=288%3D4%5Ccdot72" alt="288=4\cdot72"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="288=4\cdot72"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=syt%5Cleft(2520%7B%2C%7D%5C%20936%5Cright)%3D72" alt="syt\left(2520{,}\ 936\right)=72"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="syt\left(2520{,}\ 936\right)=72"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nyt%5C%20syt%5C%20on%5C%20jaollinen%5C%20Diofantoksen%5C%20yht%C3%A4l%C3%B6n%5C%20c%3D144%5C%20eli%5C%20144%3D2%5Ccdot72%5C%20%5C%20%5CRightarrow%5C%20" alt="nyt\ syt\ on\ jaollinen\ Diofantoksen\ yhtälön\ c=144\ eli\ 144=2\cdot72\ \ \Rightarrow\ "/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="nyt\ syt\ on\ jaollinen\ Diofantoksen\ yhtälön\ c=144\ eli\ 144=2\cdot72\ \ \Rightarrow\ "--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=yht%C3%A4l%C3%B6ll%C3%A4%5C%20on%5C%20ratkaisuja" alt="yhtälöllä\ on\ ratkaisuja"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="yhtälöllä\ on\ ratkaisuja"--></div> <div> </div> <div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=72%3D648-2%5Ccdot288%3D648-2%5Ccdot%5Cleft(936-1%5Ccdot648%5Cright)%3D3%5Ccdot648-2%5Ccdot936" alt="72=648-2\cdot288=648-2\cdot\left(936-1\cdot648\right)=3\cdot648-2\cdot936"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="72=648-2\cdot288=648-2\cdot\left(936-1\cdot648\right)=3\cdot648-2\cdot936"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=72%3D3%5Ccdot%5Cleft(2520-2%5Ccdot936%5Cright)-2%5Ccdot936%3D3%5Ccdot2520-8%5Ccdot936" alt="72=3\cdot\left(2520-2\cdot936\right)-2\cdot936=3\cdot2520-8\cdot936"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="72=3\cdot\left(2520-2\cdot936\right)-2\cdot936=3\cdot2520-8\cdot936"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2520%5Ccdot3%2B936%5Ccdot%5Cleft(-8%5Cright)%3D72%5C%20%5C%20%5Cmid%5C%20%5Ccdot2%5C%20%5C%20%5C%20ja%5C%20diofantoksen%5C%20yht%C3%A4l%C3%B6%5C%20on%5C%202520x%2B936y%3D144" alt="2520\cdot3+936\cdot\left(-8\right)=72\ \ \mid\ \cdot2\ \ \ ja\ diofantoksen\ yhtälö\ on\ 2520x+936y=144"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="2520\cdot3+936\cdot\left(-8\right)=72\ \ \mid\ \cdot2\ \ \ ja\ diofantoksen\ yhtälö\ on\ 2520x+936y=144"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2520%5Ccdot6%2B926%5Ccdot%5Cleft(-16%5Cright)%3D144" alt="2520\cdot6+926\cdot\left(-16\right)=144"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="2520\cdot6+926\cdot\left(-16\right)=144"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5CRightarrow%5C%20x_0%3D6%5C%20%5C%20ja%5C%20y_0%3D-16" alt="\Rightarrow\ x_0=6\ \ ja\ y_0=-16"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="\Rightarrow\ x_0=6\ \ ja\ y_0=-16"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Yht%C3%A4l%C3%B6n%5C%202520x%2B936y%3D144%5C%20yleinen%5C%20ratkaisu" alt="Yhtälön\ 2520x+936y=144\ yleinen\ ratkaisu"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="Yhtälön\ 2520x+936y=144\ yleinen\ ratkaisu"--><br/> <img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ax%3D6%2Bn%5Ccdot%5Cfrac%7B936%7D%7B%5Ctext%7B72%7D%7D%3D6%2B13n%5C%5C%0Ay%3D-16-n%5Ccdot%5Cfrac%7B2520%7D%7B%5Ctext%7B72%7D%7D%3D-16-35n%0A%5Cend%7Bcases%7D%5C%20(n%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D)" alt="\begin{cases}&#10;x=6+n\cdot\frac{936}{\text{72}}=6+13n\\&#10;y=-16-n\cdot\frac{2520}{\text{72}}=-16-35n&#10;\end{cases}\ (n\in\mathbb{Z})"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="\begin{cases} x=6+n\cdot\frac{936}{\text{72}}=6+13n\\ y=-16-n\cdot\frac{2520}{\text{72}}=-16-35n \end{cases}\ (n\in\mathbb{Z})"--><br/> <br/> </div> </div> </div> </div> </div> 2026-08-20T11:22:14+03:00