5.2 Rationaalifunktion ääriarvothttps://peda.net/id/724b7ee6fad2019-10-30T08:21:02+02:00https://peda.net/:static/535/peda.net.logo.bg.svg<div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div>
530https://peda.net/id/4d1061c0fae2019-10-30T09:54:12+02:00tangentti on suoran suuntainen kun derivaattafunktion arvo tangentin kohdassa on sama kuin suoran kulmakerroin<br/>
suoran kulmakerroin on -8<br/>
derivaattafunktion arvonkin on siis oltava -8<br/>
derivoidaan funktio<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D" alt="f\left(x\right)=\frac{2}{x}"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(x%5Cright)%3D-2x%5E%7B-2%7D" alt="f'\left(x\right)=-2x^{-2}"/> <br/>
<br/>
derivaattafunktio saa arvon -8 kohdassa x=1/4<br/>
2019-10-30T09:53:03+02:00531https://peda.net/id/66a292bcfae2019-10-30T09:46:36+02:00<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7Bx%5E2%2B3%7D" alt="f\left(x\right)=\frac{x+1}{x^2+3}"/></div>
<div>derivoidaan funktio</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B-x%5E2%2B2x%2B3%7D%7Bx%5E4%2B9%7D" alt="f'\left(x\right)=\frac{-x^2+2x+3}{x^4+9}"/></div>
<div>lasketaan nollakohdat</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=-x%5E2%2B2x%2B3%3D0" alt="-x^2+2x+3=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-1%5C%20tai%5C%20x%3D3" alt="x=-1\ tai\ x=3"/></div>
<div>lasketaan derivaattafunktion arvot testikohdissa</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(-2%5Cright)%3C0" alt="f'\left(-2\right)<0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(0%5Cright)%3E0" alt="f'\left(0\right)>0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(4%5Cright)%3C0" alt="f'\left(4\right)<0"/></div>
<div>piirretään kulkukaavio</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%26%26-1%26%263%26%5C%5C%0Af'%5Cleft(x%5Cright)%26-%26%26%2B%26%26-%5C%5C%0Af%5Cleft(x%5Cright)%26%5Csearrow%26%26%5Cnearrow%26%26%5Csearrow%5C%5C%0A%26%26%5Cmin%26%26%5Cmax%26%0A%5Cend%7Bmatrix%7D" alt="\begin{matrix} &&-1&&3&\\ f'\left(x\right)&-&&+&&-\\ f\left(x\right)&\searrow&&\nearrow&&\searrow\\ &&\min&&\max& \end{matrix}"/></div>
<div>funktion paikallinen minimiarvo saadaan kohdassa <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-1" alt="x=-1"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--> </div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(-1%5Cright)%3D0" alt="f\left(-1\right)=0"/></div>
<div>funktion paikallinen maksimiarvo saadaan kohdassa <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D3" alt="x=3"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--></div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(3%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D" alt="f\left(3\right)=\frac{1}{3}"/></div>
<div> </div>
<div> </div>
2019-10-30T09:46:36+02:00525https://peda.net/id/c8d3ef32fae2019-10-30T09:35:12+02:00a)<br/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7Bx%5E2%2B3%7D%7Bx-1%7D%7B%2C%7D%5C%20x%5Cne1" alt="f\left(x\right)=\frac{x^2+3}{x-1}{,}\ x\ne1"/></div>
<div>derivoidaan funktio</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f'%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B2x%5E2-2x-x%5E2%2B3%7D%7B%5Cleft(x-1%5Cright)%5E2%7D%3D%5Cfrac%7Bx%5E2-2x%2B3%7D%7B%5Cleft(x-1%5Cright)%5E2%7D" alt="f'\left(x\right)=\frac{2x^2-2x-x^2+3}{\left(x-1\right)^2}=\frac{x^2-2x+3}{\left(x-1\right)^2}"/></div>
<div>rtkaistaan funktion nollakohdat</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2-2x%2B3%3D0" alt="x^2-2x+3=0"/><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Cpm%5Csqrt%7B8%7D%7D%7B2%7D%3D%5Csqrt%7B2%7D%2B1%5C%20tai%5C%20-%5Cleft(%5Csqrt%7B2%7D-1%5Cright)" alt="x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2}+1\ tai\ -\left(\sqrt{2}-1\right)"/></div>
<div> </div>
<div>lasketaan funktion arvot testikohdissa</div>
<div>kaikki ovat positiivisia, funktio kasvaa siis väleillä <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3C1%5C%20ja%5C%20x%3E1" alt="x<1\ ja\ x>1"/></div>
<div> </div>
<div>b) koska funktio on koko määrittelyjoukollaan kasvava, ääriarvoja ei voida määrittää</div>
<div>c)</div>
<div>koska funktio on kasvava koko välillä [2,4], se saa pienimmän arvonsa kohdassa x=2</div>
<div>funktion arvo kohdassa on 7</div>
<div> </div>
2019-10-30T09:35:02+02:00524https://peda.net/id/727d2562fae2019-10-30T09:03:59+02:00<img src="https://web.archive.org/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B3%7D%7Bx%7D-%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5E2%7D%7B%2C%7D%5C%20x%5Cne0" alt="f\left(x\right)=\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}{,}\ x\ne0"/><br/>
derivoidaan funktio<br/>
<img src="https://web.archive.org/math.svg?latex=f'%5Cleft(x%5Cright)%3D-%5Cfrac%7B3%7D%7Bx%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B4%7D%7Bx%5E3%7D" alt="f'\left(x\right)=-\frac{3}{x^2}+\frac{4}{x^3}"/><br/>
<br/>
funktio on jatkuva koko välillä [1,2]<br/>
ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat<br/>
<img src="https://web.archive.org/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D" alt="x=\frac{4}{3}"/><br/>
lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä sekä derivaattafunktion nollakohdassa<br/>
pisteitä keskenään vertailemalla saadaan suurin ja pienin arvo<br/>
<img src="https://web.archive.org/math.svg?latex=g%5Cleft(1%5Cright)%3D1" alt="g\left(1\right)=1"/><br/>
<img src="https://web.archive.org/math.svg?latex=g%5Cleft(%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cright)%3D0" alt="g\left(\frac{4}{3}\right)=0"/><br/>
<div><img src="https://web.archive.org/math.svg?latex=g%5Cleft(2%5Cright)%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D" alt="g\left(2\right)=-\frac{1}{4}"/></div>
<div>arvoja keskenään vertailemalla huomataan suurimman arvon olevan 1 ja pienimmän arvon olevan -1/4</div>
2019-10-30T09:03:59+02:00523https://peda.net/id/7c78f070fae2019-10-30T08:49:57+02:00<img src="https://web.archive.org/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7Bx%2B2%7D%7Bx%5E2%7D%7B%2C%7D%5C%20x%5Cne0" alt="f\left(x\right)=\frac{x+2}{x^2}{,}\ x\ne0"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--><br/>
<img src="https://web.archive.org/math.svg?latex=f'%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7Bx%5E2-x%5Cleft(x%2B2%5Cright)%7D%7Bx%5E4%7D%3D%5Cfrac%7B2x%7D%7Bx%5E4%7D" alt="f'\left(x\right)=\frac{x^2-x\left(x+2\right)}{x^4}=\frac{2x}{x^4}"/><br/>
<img src="https://web.archive.org/math.svg?latex=lasketaan%5C%20nollakohdat" alt="lasketaan\ nollakohdat"/><br/>
<img src="https://web.archive.org/math.svg?latex=%5Cfrac%7B2x%7D%7Bx%5E4%7D%3D0" alt="\frac{2x}{x^4}=0"/><br/>
<img src="https://web.archive.org/math.svg?latex=2x%3D0" alt="2x=0"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--><br/>
<div><img src="https://web.archive.org/math.svg?latex=x%3D0" alt="x=0"/><!--filtered attribute: style="display: inline;"--></div>
<div>funktiota ei ole määritelty kohdassa 0</div>
<div>lasketaan testiarvot</div>
<div>f'(-1) ja f'(1)</div>
<div><img src="https://web.archive.org/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%26%260%26%5C%5C%0Af'%5Cleft(x%5Cright)%26-%26%26%2B%5C%5C%0Af%5Cleft(x%5Cright)%26%5Csearrow%26%26%5Cnearrow%0A%5Cend%7Bmatrix%7D" alt="\begin{matrix} &&0&\\ f'\left(x\right)&-&&+\\ f\left(x\right)&\searrow&&\nearrow \end{matrix}"/></div>
<div>b)</div>
<div>ääriarvokohtia on yksi, x=0</div>
<div>funktiota ei kuitenkaan ole määritelty kohdassa</div>
<div>funktiolla ei siis ole ääriarvokohtia</div>
2019-10-30T08:49:57+02:00