1. Logiikkaahttps://peda.net/id/6bc12372963b12026-08-12T13:48:58+03:00https://peda.net/:static/547/peda.net.logo.bg.svg<div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license noopener" href="https://peda.net/info" target="_blank">Peda.net-yleislisenssi</a></div>
Loogiset konnektiivit ja totuustauluhttps://peda.net/id/60f5dfbe963b12026-08-19T09:18:32+03:00<span><b>Määritelmä</b></span>
<div> </div>
<div>Logiikka on oppi muodollisesti oikeasta päättelystä. Perinteinen logiikka tutkii erilaisten suljettujen lauseiden eli propositioiden totuutta.<span> </span><b>Suljetulla lauseella on aina totuusarvo eli se on joko tosi, merkitään 1 (T) tai epätosi, merkitään 0 (E)</b>. Suljettu lause voi olla yksittäinen lause tai useammasta yksittäisestä lauseesta loogisten konnektiivien avulla muodostettu yhdistetty lause.</div>
<div> </div>
<div><span class="editor underline">Loogiset konnektiivit</span></div>
<div><br/>
1. Negaatio, ¬</div>
<div>- negaatio muuttaa suljetun lauseen totuusarvon</div>
<div>esim.</div>
<div>Tarkastellaan suljettua lausetta: Ulkona paistaa aurinko, jota merkitään A</div>
<div>Nyt negaatio A eli ¬A tarkoittaa, että ulkona ei paista aurinko</div>
<div> </div>
<div>2. Konjunktio, ∧ (ja -konnektiivi)</div>
<div> </div>
<div>3. Disjunktio, ∨ (tai-konnektiivi)</div>
<div> </div>
<div>4. Implikaatio, ⇒</div>
<div>merkintä A ⇒ B tarkoittaa, että A:sta seuraa B (tai jos A niin B)</div>
<div> </div>
<div>5. Ekvivalenssi, ⇔</div>
<div>merkintä A ⇔ B tarkoittaa, että A:sta seuraa B ja päinvastoin ((A⇒B) ∧ (B⇒A))</div>
<div>merkintä A ⇔ B voidaan lukea myös: A jos ja vain jos B</div>
<div> </div>
<div>esim. </div>
<div>Ajatellaan, että A (on suljettu lause), joka tarkoittaa: ulkona paistaa aurinko ja B tarkoittaa: menen ulos</div>
<div>Nyt A ⇒ B tarkoittaa, että jos ulkona paistaa aurinko niin menen ulos</div>
<span>Vastaavasti A ⇔ B tarkoittaa, että jos ulkona paistaa aurinko niin menen ulos ja jos menen ulos niin ulkona paistaa aurinko (Ulkona paistaa aurinko jos ja vain jos menen ulos)</span><br/>
<div>A ∧ B tarkoittaa: Ulkona paistaa aurinko ja menen ulos</div>
<span><span><span>A ∨ B tarkoittaa: Ulkona paistaa aurinko tai menen ulos<br/>
<br/>
<br/>
<b>Yhdistetyn lauseen totuustaulukko (totuusarvo)</b><br/>
<br/>
Yhdistetyssä lauseessa on ainakin kaksi suljettua lausetta, jotka on liitetty toisiinsa loogisilla konnektiiveilla.<br/>
Loogisilla konnektiiveilla on seuraava suoritusjärjestys, jos sulkeet eivät toisin määrää<br/>
1. Negaatiot<br/>
2. Konjunktiot ja disjunktiot<br/>
3. Implikaatiot ja ekvivalenssit<br/>
<br/>
Eri konnektiivien totuustaulukot löytyvät taulukkokirjasta ja kirjasta s. 12, 22 ja 23<br/>
<br/>
Muodosta lauseen ¬A ∧ B totuustaulukko.</span></span></span>
<div> </div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0AA%26B%26%5Cneg%20A%26%5Cneg%20A%5Cwedge%20B%5C%5C%0A%5Chline%0A1%261%26%5C%20%5C%200%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%5C%5C%0A1%260%26%5C%20%5C%200%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%5C%5C%0A0%261%26%5C%20%5C%201%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%201%5C%5C%0A0%260%26%5C%20%5C%201%26%5C%20%5C%20%5C%20%5C%200%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} A&B&\neg A&\neg A\wedge B\\ \hline 1&1&\ \ 0&\ \ \ \ 0\\ 1&0&\ \ 0&\ \ \ \ 0\\ 0&1&\ \ 1&\ \ \ \ 1\\ 0&0&\ \ 1&\ \ \ \ 0 \end{array}"/></div>
<div> </div>
<span><span><span>Totuustaulukko kertoo, että lause on tosi vain, kun A on epätosi ja B tosi. Muilla A:n ja B:n totuusarvoilla tämä lause on epätosi.</span></span></span>
<div> </div>
<div>Lyhennetty tapa totuustaulukon esittämiseksi</div>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0A%5Cneg%26A%26%5Cwedge%26B%5C%5C%0A%5Chline%0A0%261%26%5C%200%261%5C%5C%0A0%261%26%5C%200%260%5C%5C%0A1%260%26%5C%201%261%5C%5C%0A1%260%26%5C%200%260%5C%5C%0A2.%261.%263.%261.%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} \neg&A&\wedge&B\\ \hline 0&1&\ 0&1\\ 0&1&\ 0&0\\ 1&0&\ 1&1\\ 1&0&\ 0&0\\ 2.&1.&3.&1. \end{array}"/></div>
<span><span><br/>
<br/>
</span></span>
<div>Huom! </div>
<div>Kaksi lausetta, jolla on sama totuusarvo, ovat keskenään loogisesti ekvivalentit eli lauseet tarkoittavat samaa.<br/>
<br/>
Kotitehtävät: 119 ja 133<br/>
<br/>
<br/>
<b>Jos yhdistetty lause on aina tosi</b><span> (kaikilla suljettujen lauseiden A, B, C, jne totuusarvoilla) </span><b>niin lausetta sanotaan tautologiaksi</b><span><span>. Tautologia esittää loogisen yleispätevän totuuden. Jos kaksi lausetta ovat loogisesti ekvivalentit eli saavat saman totuusarvon, ja nämä lauseet yhdistetään toisiinsa ekvivalenssimerkillä niin näin saatu yhdistetty lause on tautologia.<br/>
<br/>
<br/>
Osoita, että lauseet ovat loogisesti ekvivalentit<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%5CLeftrightarrow%20B%5C%20%5C%20%5C%20ja%5C%20%5C%20%5C%20%5Cleft(A%5CRightarrow%20B%5Cright)%5Cwedge%5Cleft(%5Cneg%20A%5CRightarrow%5Cneg%20B%5Cright)" alt="A\Leftrightarrow B\ \ \ ja\ \ \ \left(A\Rightarrow B\right)\wedge\left(\neg A\Rightarrow\neg B\right)"/><br/>
<br/>
<br/>
Kotitehtävät: 123 ja 144<br/>
<br/>
</span></span>
<div><span>Onko seuraava lause tautologia</span><br/>
<span>a)</span><br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(A%5CRightarrow%20B%5Cright)%5Cwedge%5Cneg%20A%5CRightarrow%5Cneg%20B" alt="\left(A\Rightarrow B\right)\wedge\neg A\Rightarrow\neg B"/>
<div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0A%5Cleft(A%5C%20%5CRightarrow%5C%20B%5Cright)%26%5Cwedge%26%5Cneg%26A%26%5CRightarrow%26%5Cneg%26B%5C%5C%0A%5Chline%0A%5C%20%5C%201%5C%20%5C%201%5C%20%5C%20%5C%201%260%260%261%261%260%261%5C%5C%0A%5C%20%5C%201%5C%20%5C%200%5C%20%5C%20%5C%200%260%260%261%261%261%260%5C%5C%0A%5C%20%5C%200%5C%20%5C%201%5C%20%5C%20%5C%201%261%261%260%260%260%261%5C%5C%0A%5C%20%5C%200%5C%20%5C%201%5C%20%5C%20%5C%200%261%261%260%261%261%260%5C%5C%0A%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%203.%264.%262.%26%265.%262.%26%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} \left(A\ \Rightarrow\ B\right)&\wedge&\neg&A&\Rightarrow&\neg&B\\ \hline \ \ 1\ \ 1\ \ \ 1&0&0&1&1&0&1\\ \ \ 1\ \ 0\ \ \ 0&0&0&1&1&1&0\\ \ \ 0\ \ 1\ \ \ 1&1&1&0&0&0&1\\ \ \ 0\ \ 1\ \ \ 0&1&1&0&1&1&0\\ \ \ \ \ \ \ 3.&4.&2.&&5.&2.& \end{array}"/></div>
<div>Lause ei ole tautologia, sillä se on epätosi, kun A on epätosi ja B on tosi.<br/>
b)<br/>
<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cneg%5Cleft(A%5Cvee%20B%5Cright)%5CLeftrightarrow%5Cneg%20A%5Cwedge%5Cneg%20B" alt="\neg\left(A\vee B\right)\Leftrightarrow\neg A\wedge\neg B"/></div>
</div>
<div><br/>
<br/>
<div><b>Päättely</b></div>
<div> </div>
<div>Päättelyssä johtopäätös tehdään tiettyjen oletusten perusteella.</div>
<ul>
<li>Oletukset (yhdistettyjä lauseita) yhdistetään toisiinsa konjunktiolla (ja-konnektiivi)</li>
<li>Oletukset ja johtopäätös yhdistetään implikaatiolla toisiinsa</li>
</ul>
<div>Näin saadaan laajempi yhdistetty lause. Päättely on pätevä, jos tämä yhdistetty lause on tautologia (aina tosi).<br/>
<br/>
<br/>
<span>Aleksandriassa 200-luvulla elänyt kirkkoisä Origenes esitti seuraavan päätelmän:</span>
<div>"Jos tiedän olevani kuollut, niin olen kuollut" ja "jos tiedän olevani kuollut niin en ole kuollut". Siis "En tiedä olevani kuollut".</div>
<div>Esitä tätä päättelyä vastaava yhdistetty lause ja tutki totuustaulukon avulla, onko Origenesin päättely pätevä.</div>
<div> </div>
<div>Merkitään</div>
<div>A: tiedän olevani kuollut ja B: olen kuollut</div>
<div> </div>
<div>Oletukset: A ⇒ B ja A⇒¬B</div>
<div>Johtopäätös: ¬A</div>
<div>Näistä muodostetaan yhdistetty lause</div>
<div>(A⇒B) ∧ (A⇒¬B) ⇒ ¬A</div>
<div><img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0A%5Cleft(A%5CRightarrow%20B%5Cright)%26%5Cwedge%26%5Cleft(A%5CRightarrow%5C%20%5Cneg%5C%20B%5Cright)%26%5CRightarrow%26%5Cneg%5C%20A%5C%5C%0A%5Chline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end%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l} \left(A\Rightarrow B\right)&\wedge&\left(A\Rightarrow\ \neg\ B\right)&\Rightarrow&\neg\ A\\ \hline \ \ 1\ \ 1\ \ 1&0&\ \ 1\ \ \ 0\ \ \ 0\ 1&1&\ 0\ \ 1\\ \ \ 1\ \ 0\ \ 0&0&\ 1\ \ \ 1\ \ \ \ 1\ 0&1&\ 0\ \ 1\\ \ \ 0\ \ 1\ \ 1&1&\ 0\ \ \ 1\ \ \ \ 0\ 1&1&\ 1\ \ 0\\ \ \ 0\ \ 1\ \ 0&1&\ 0\ \ \ 1\ \ \ \ 1\ 0&1&\ 1\ \ 0\\ \ \ 1.\ \ 3.\ \ 1.&4.&1.\ \ \ 3.\ \ 2.\ 1.&5.&\ 2.\ 1. \end{array}"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="\begin{array}{l|l}
\left(A\Rightarrow B\right)&\wedge&\left(A\Rightarrow\ \neg\ B\right)&\Rightarrow&\neg\ A\\
\hline
\ \ 1\ \ 1\ \ 1&0&\ \ 1\ \ \ 0\ \ \ 0\ 1&1&\ 0\ \ 1\\
\ \ 1\ \ 0\ \ 0&0&\ 1\ \ \ 1\ \ \ \ 1\ 0&1&\ 0\ \ 1\\
\ \ 0\ \ 1\ \ 1&1&\ 0\ \ \ 1\ \ \ \ 0\ 1&1&\ 1\ \ 0\\
\ \ 0\ \ 1\ \ 0&1&\ 0\ \ \ 1\ \ \ \ 1\ 0&1&\ 1\ \ 0\\
\ \ 1.\ \ 3.\ \ 1.&4.&1.\ \ \ 3.\ \ 2.\ 1.&5.&\ 2.\ 1.
\end{array}"--><br/>
<img class="equation" src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=P%C3%A4%C3%A4ttely%5C%20on%5C%20p%C3%A4tev%C3%A4%7B%2C%7D%5C%20koska%5C%20yhdistetty%5C%20lause%5C%20on%5C%20tauto%5Clog%20ia" alt="Päättely\ on\ pätevä{,}\ koska\ yhdistetty\ lause\ on\ tauto\log ia"/><!--filtered attribute: data-math-image=""--><!--filtered attribute: initialized=""--><!--filtered attribute: data-latex="Päättely\ on\ pätevä{,}\ koska\ yhdistetty\ lause\ on\ tauto\log ia"--></div>
</div>
</div>
</div>
2026-08-12T13:48:39+03:00