https://peda.net/id/6a12deee3e2 2018-04-12T11:49:30+03:00 https://peda.net/:static/533/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/d8692fdc3e2 2018-04-12T11:08:15+03:00 <h2>Jakoyhtälö</h2> <p><b><span>ESIM 1.</span> </b> Laske 437 : 13 jakokulmassa.</p> <p> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Cl%7D%0A%26%263%263%26%5C%5C%0A%5Chline%0A13%264%263%267%26%5C%5C%0A-%263%269%26%26%5C%5C%0A%26%264%267%26%5C%5C%0A%26-%263%269%26%5C%5C%0A%26%26%268%26%0A%5Cend%7Barray%7D" alt="\begin{array}{l|l}&#10;&amp;&amp;3&amp;3&amp;\\&#10;\hline&#10;13&amp;4&amp;3&amp;7&amp;\\&#10;-&amp;3&amp;9&amp;&amp;\\&#10;&amp;&amp;4&amp;7&amp;\\&#10;&amp;-&amp;3&amp;9&amp;\\&#10;&amp;&amp;&amp;8&amp;&#10;\end{array}"/></p> <p>437 = 33 * 13 + 8</p> <p>Luku 13 menee 437:ään <b>33</b> kertaa ja jää <b>8</b>.</p> <p>Siis kun luku 437 jaetaan luvulla 13, (vaillinainen)<span> </span><span class="editor underline">osamäärä</span><span> </span>on <b>33</b> ja<span> </span><span class="editor underline">jakojäännös</span><span> </span>on <b>8</b>.</p> <p>Luku 437 voidaan siis kirjoittaa yhtälönä: </p> <p><b>437 = 33 * 13 + 8</b></p> <p> </p> <hr></hr> <p><span class="editor underline"><b>Jakoyhtälö</b></span></p> <p><span> Jaettava = osamäärä * jakaja + jakojäännös </span></p> <p>Jokainen kokonaisluku<span> </span><em>a</em><span> </span>voidaan esittää seuraavassa muodossa, kun<span> n</span><span> </span>∈ ℤ₊</p> <p><b> a = qn + r</b> , missä <em>q</em> ja <em>r</em> ∈ ℤ,  0 <span>≤ r &lt; n<br/> </span></p> <hr></hr><br/> <p><b><span>ESIM 2.</span></b><span> </span> Kirjoita jakoyhtälö laskulle 268 : 11 (”…luvuille 268 ja 11”).</p> <p><span class="editor underline">268 = 24 * 11 + 4</span></p> <p><b><span>ESIM 3.</span></b> Kirjoita jakoyhtälö luvuille –19 ja 6.</p> (-19/6 = -3,... =&gt;  -19 = -3 * 6 <b>- 1</b>) ei käy, <em>r</em> pitäisi olla positiivinen<br/> <span class="editor underline">-19 = -4 * 6 + 5</span><b><br/> <br/> ESIM 4.<span> </span></b><span> Kirjoita jakoyhtälö luvuille 347 ja 12.</span><br/> <p> 347 : 12 = <b>28</b>,916... (osamäärä siis 28)<br/>  347 - 12*28 = <b>11</b> (jakojäännös)<br/> <br/> <span class="editor underline">347 = 28 * 12 + 11</span><br/> <br/> </p> <p><strong>HUOM!</strong> Kun muutetaan kymmenjärjestelmän luku toiseen, käytetään jakoyhtälöä.</p> <p><b><span>ESIM 4.</span></b> Muuta 145₁₀<span> </span>viisijärjestelmään.<br/> Käytetään jakoyhtälöä toistuvasti. Otetaan edellinen osamäärä jaettavaksi, kunnes osamäärä 0. Luetaan vastaukseksi jakojäännökset lopusta alkuun.<br/> 145 = <b>29</b> * 5 + <span class="editor underline">0</span><br/> 29 = <b>5</b> * 5 + <span class="editor underline">4</span><br/> 5 = <b>1</b> * 5 + <span class="editor underline">0</span><br/> 1 = <b>0</b> * 5 + <span class="editor underline">1<br/> <br/> 1040_{5<br/> <br/>}</span></p> <p><b>HUOM!</b><span> Jokainen kokonaisluku on joko parillinen (2<em>n</em>) tai pariton (2<em>n</em> + 1); tässä siis n = 2.<br/> <br/> </span>ESIM. Olkoon jakaja 5. Tällöin jokainen kokonaisluku on jotain seuraavaa muotoa:  (jakoyhtälön<span> </span><em>a</em><span> </span>=<span> </span><em>q</em><span> </span>*<span> n</span><span> </span>+<span> </span><em>r </em>mukaisesti,<span> n</span><span> </span>= 5)</p> <pre>r = 0: q * 5 + 0 = 5q r = 1: q * 5 + 1 = 5q + 1 r = 2: q * 5 + 2 = 5q + 2 r = 3: q * 5 + 3 = 5q + 3 r = 4: q * 5 + 4 = 5q + 4</pre> <p>Toisin sanoen: Kun luku jaetaan 5:llä, jakojäännös on 0, 1, 2, 3 tai 4.<br/> <br/> <br/> </p> 2018-04-12T10:48:10+03:00 https://peda.net/id/3d6541123e2 2018-04-12T11:50:30+03:00 <h2>Jaollisuus</h2> <p>Kokonaisluku<span> </span><em>a</em><span> </span><b>on jaollinen </b>luvulla<span> </span><em>b</em>, jos on olemassa sellainen kokonaisluku<span> </span><em>c</em>, että</p> <p><em>a</em><span> </span>=<span> </span><em>bc</em></p> <p>Tällöin merkitään<span> </span><em>b</em><span> </span>|<span> </span><em>a</em><span> </span>(jakorelaatio, luetaan ”<em>b</em><span> </span>jakaa luvun<span> </span><em>a</em>” tai ”<em>a</em><span> </span>jaollinen<span> </span><em>b</em>:llä”).<br/> Tällöin luku<span> </span><em>b</em><span> </span>on luvun<span> </span><em>a</em><span> </span><b><span>tekijä</span></b>. Voidaan sanoa myös, että luku<span> </span><em>a</em><span> </span>on luvun<span> </span><em>b</em><span> </span><b><span>monikerta</span></b>.</p> <p><b><span>ESIM 1.</span> </b><span> </span>Osoita, että 14 | 1246<br/> <br/> 1246 = 14 * 89.<br/> <br/> </p> <p><strong>HUOM!</strong></p> <ul> <li>Jos<span> </span><em>a</em><span> </span>ei ole jaollinen luvulla<span> </span><em>b</em>, niin merkitään b <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cnot%5Cmid" alt="\not\mid"/> a  (\not\mid)</li> <li>1 |<span> </span><em>a</em>,<span> </span><em>a</em><span> </span>|<span> </span><em>a</em>, –<em>a</em><span> </span>|<span> </span><em>a</em><span> </span>ja<span> </span><em>a</em><span> </span>| 0 kaikilla kokonaisluvuilla a</li> <li>Kokonaislukujen jaollisuussääntöjä, kirja s. 55.</li> </ul> <br/> <p><b>Jaollisuussäännöt</b></p> <p>Kokonaisluku on jaollinen kymmenjärjestelmässä:</p> <ul> <li>yhdellä aina. (<span>1 |</span><span> </span><em>a)</em></li> <li>itsellään aina. (<em>a</em><span> </span><span>|</span><span> </span><em>a)</em></li> <li><b>kahdella, jos se päättyy numeroon 0, 2, 4, 6 tai 8.</b></li> <li><b>kolmella, jos sen numeroiden summa on jaollinen kolmella.</b></li> <li>neljällä, jos sen kahden viimeisen numeron muodostama luku on jaollinen neljällä.</li> <li><b>viidellä, jos se päättyy numeroon 0 tai 5.</b></li> <li>kuudella, jos se on jaollinen sekä kahdella että kolmella tai sen numeroiden summa kerrottuna neljällä on jaollinen kuudella.</li> <li>seitsemällä, jos seuraava erotus on jaollinen seitsemällä: luvusta poistetaan viimeinen numero ja vähennetään se kahdella kerrottuna jäljelle jääneestä luvusta</li> <li>kahdeksalla, jos sen kolmen viimeisen numeron muodostama luku on jaollinen kahdeksalla.</li> <li><b>yhdeksällä, jos sen numeroiden summa on jaollinen yhdeksällä.</b></li> <li>kymmenellä, jos se päättyy numeroon 0.</li> <li>yhdellätoista, jos luku, joka saadaan kun luvun numerot vuorotellen lisätään ja vähennetään, on jaollinen 11:llä.</li> </ul> <p><b><span>ESIM 3.</span></b><span> </span>Onko luku jaollinen luvulla 3, 7, 8, 9, 11.<br/> a) 2574<br/> Kolmosella: 2+5+7+4=18, joka on jaollinen 3:lla. Siis: 3 | 2574.<br/> <br/> Seiskalla: 257 - 2*4 = 249<br/> 24 - 2*9 = 6, ei ole jaollinen 7:lla. Siis 7 <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cnot%5Cmid" alt="\not\mid"/> 2574.<br/> <br/> </p> <p><b>ESIM 4.</b><span> </span>Määritä jakojäännös jakolaskua suorittamatta: 12 674 593 : 4.</p> <p><span><br/> ***<br/> </span></p> 2018-04-12T10:29:30+03:00