9c Matematiikka

Verkkotehtävät 9c Matematiikka.

2020-03-18T09:03:07+02:00

Tällä pedanetin sivulla on 9c luokan matematiikkaan tarkoitettu materiaali ja tehtävät.

Viikon 12 ohjelma koostuu tänne kootuista teoriaosuuksista ja niihin liittyvistä lomakemuotoisista tehtävistä.

JOKAINEN lukee ajatuksella teoriaosuudet läpi ja palauttaa omat vastauksensa tältä sivulta löytyvään lomakkeeseen.

Nämä tehtävät vastaavat tunnilla tehtyjä tehtäviä ja läksytehtäviä samaan aikaan. Niiden laiminlyömisestä seuraa merkintä Wilmaan.
Aikaa tehtävien suorittamiseen on perjantaihin klo 12 asti, jolloin tehtävien tulee olla palautettu lomakkeen kautta.

Käsittelyssä on siis kappale 1. kirjasta sivuilta 114-117.

Suosittelen lukemaan ensin Teoriaosa 1
ja sen jälkeen tekemään Tehtävät 1.

Tämän jälkeen voi siirtyä Teoriaosa 2
ja luonnollisesti Tehtävät 2.

Mikäli tehtävistä tai teoriasta on jotain kysyttävää, minua voi lähestyä Wilmaviestein.

Niille, jotka eivät ole koetta tehneet, sopivat kokeen tekemisestä kouluun palatessa, silloiselta opettajalta.

Viikko 12: Matemaattinen päättely Teoriaosa 1

2020-03-17T16:40:31+02:00

Kappale 1. Matemaattinen päättely (s. 114-117)

Vaikka matematiikka saattaa vaikuttaa vain ulkoaopeteltavien sääntöjen verkolta, pohjaa se todellisuudessa oletusten ja niiden loogisten johtopäätösten seuraamiselle. Looginen johtopäätös tarkoittaa lähinnä tavallisen päättelyn avulla tapahtuvaan uusien asioiden hahmottamiseen ja ratkaisujen löytämiseen.

Kuten elämässä koulun ulkopuolella, myös matematiikassa nojataan oletuksiin, eli niihin asioihin joita pidetään totena. Näiden oletusten avulla pyritään sitten tekemään johtopäätöksiä, eli miettimään ja pohtimaan mikä on oletusten perusteella välttämättä totta.

Esimerkiksi.
Voidaan tehdä seuraavat oletukset:

Linnut osaavat lentää
Varis on lintu

Mitä näistä tosiasioista voidaan päätellä?
Johtopäätös:

Varis osaa lentää.

Koska Varis on lintu ja linnut osaavat lentää, voidaan myös päätellä, että varikset osaavat lentää. Johtopäätös on siis oikea.

Toisaalta, tosiasioilla voidaan myös saada aikaan väitteitä, jotka eivät ole tosia, vaikka oletukset pitäisivät paikkansa.

Esim.
Seuraavilla oletuksilla:

Kalat osaavat uida
Mikko osaa uida

Miltä vaikuttaa väite: Mikko on kala?
Vaikka oletukset ovat tosia, niistä johdettu väite Mikko on kala, ei ole looginen. Joten johtopäätös on väärä. (Sillä myöskin muut kuin kalat voivat osata uida).

Luettuasi tämän siirry tehtävälomakkeelle Tehtävät 1.

Matemaattinen päättely Teoriaosa 2

2020-03-17T17:19:14+02:00

Matemaattinen päättely on luonteeltaan erilaista, kuin arjessa tavahtuva tavanomaisempi asioiden päättely. Matematiikka tieteenä pohjaa tarkoin määritellyille oletuksille ja niistä tarkasti johdetuille loogisille johtopäätöksille.

Matemaattisten sääntöjen oikeellisuuden todistamiseksi voi riittää esim. kahden yleisessä muodossa olevan laskulausekkeen sieventäminen.

Tarkastellaan esimerkiksi väitettä, että kahden parillisen (kakkosella jaollisen) luvun summa on myös parillinen.
Tällaisen väitteen paikkansapitävyyden selvittämiseksi ei riitä se, että laskee yhteen kaksi parillista lukua (2+4 = 6, joka on parillinen). Vaikka yksittäistapaus pitää paikkansa, ei se ole riittävä tae sille, että jokainen parillinen luku toteuttaa väitteen.

Mutta, jos valitaan näille kahdelle parilliselle luvulle jotkin yleisemmät merkinnät, voimme laskea ne yhteen ja katsoa mitä saamme vastaukseksi.

Merkitään luku esimerkiksi tällä tavoin

[[$ 2n $]] ja [[$ 2m $]] (kun otetaan jokin luku n ja kerrotaan se kakkosella, saadaan varmasti parillinen luku. Sama juttu kirjaimen m kanssa)

Mitä tapahtuu kun luvut laskee yhteen?

[[$ 2n + 2m = 2(n+m) $]] (tämä yhtäsuuruus on oikeutettu, sillä molempien lukujen yhteinen tekijä, kakkonen, voidaan ottaa kaikkien eteen ja siirtää yhteenlasku vain tuntemattomien väliseksi. Eli erotetaan luku yhteiseksi tekijäksi).

Oli tämä luku [[$ 2(n+m) $]] sitten mikä tahansa, voimme olla varmoja siitä, että se on parillinen, sillä kakkonen on sen tekijänä.
Tällöin voidaan todeta, että väite on tosi.

Tilanteessa, jossa tietää väitteen olevan epätosi, riittää todisteeksi vain yksi sellainen ratkaisu, joka ei toteuta annettua väitettä.

Tarkastellaan väitettä kahden parittoman kokonaisluvun summa on aina pariton.
Tällaisen väitteen osoittamiseksi epätodeksi riittää vain kahden sellaisen parittoman luvun löytäminen, joiden summa on parillinen (eli ehto ei toteudu).

Valitaan testimielessä parittomat luvut 3 ja 5. Yhteenlaskusta saadaan 3+5 = 8, joka on parillinen. Tällöin voidaan todeta, että väitteen ehto ei toteudu ja väite on siis epätosi.