https://peda.net/id/68830938bbd31 2026-09-29T10:00:09+03:00 https://peda.net/:static/548/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license noopener" href="https://peda.net/info" target="_blank">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/4f8d13d8bbd31 2026-09-29T10:02:03+03:00 <div> </div> <div>Funktion määritelmä: </div> <div>Funktio f on kuvaus joukosta A joukkoon B, jossa jokaista joukon A alkiota x vastaa täsmälleen yksi joukon B alkio y. Tätä vastaavuutta voidaa merkitä</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%3A%5C%20A%5C%20%5Crightarrow%5C%20B%7B%2C%7D%5C%20y%3Df%5Cleft(x%5Cright)" alt="f:\ A\ \rightarrow\ B{,}\ y=f\left(x\right)"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Joukko%5C%20A%5C%20on%5C%20l%C3%A4ht%C3%B6joukko%7B%2C%7D%5C%20jota%5C%20kutsutaan%5C%20funktion%5C%20m%C3%A4%C3%A4rittelyjoukoksi%7B%2C%7D%5C%20M_f" alt="Joukko\ A\ on\ lähtöjoukko{,}\ jota\ kutsutaan\ funktion\ määrittelyjoukoksi{,}\ M_f"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Joukko%5C%20B%5C%20on%5C%20maalijoukko%7B%2C%7D%5C%20joka%5C%20on%5C%20funktion%5C%20arvojoukko%7B%2C%7D%5C%20A_f" alt="Joukko\ B\ on\ maalijoukko{,}\ joka\ on\ funktion\ arvojoukko{,}\ A_f"/><br/> <div> </div> <div>Funktion määrittelyjoukko voidaan helpommin päätellä kuin funktion arvojoukko. Useimmilla funktiotyypeillä määrittelyjoukko on koko reaalilukujen joukko eli x ∈ R eli -∞ &lt; x &lt; ∞ (x:lle voidaan antaa mitä tahansa arvoja, joilla funktion arvo on määritelty (laskettavissa).</div> <div>Ne funktiotyypit, joilla määrittelyjoukko on rajattu:</div> <div> </div> <div>1. Murtofunktiot</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7Bp%5Cleft(x%5Cright)%7D%7Bq%5Cleft(x%5Cright)%7D%7B%2C%7D%5C%20m%C3%A4%C3%A4rittelyehtona%3A%5C%20q%5Cleft(x%5Cright)%5Cne0%5C%20%5Cleft(nimitt%C3%A4j%C3%A4%5C%20ei%5C%20saa%5C%20olla%5C%20nolla%5Cright)" alt="f\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}{,}\ määrittelyehtona:\ q\left(x\right)\ne0\ \left(nimittäjä\ ei\ saa\ olla\ nolla\right)"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=esim.%5C%20f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B3x-2%7D%7Bx%5E2-4%7D" alt="esim.\ f\left(x\right)=\frac{3x-2}{x^2-4}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Nimitt%C3%A4j%C3%A4n%5C%20nollakohdat%3A%5C%20x%5E2-4%3D0%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20%5C%20x%5E2%3D4%5C%20%5C%20%5C%20%5CLeftrightarrow%5C%20x%3D%5Cpm2" alt="Nimittäjän\ nollakohdat:\ x^2-4=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=4\ \ \ \Leftrightarrow\ x=\pm2"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Nyt%5C%20f%5Cleft(x%5Cright)%5C%20on%5C%20m%C3%A4%C3%A4ritelty%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x%5C%20%5Cne%5Cpm2%5C%20eli%5C%20t%C3%A4m%C3%A4%5C%20tarkoittaa%5C%20ett%C3%A4%5C%20f%5Cleft(2%5Cright)%5C%20ja%5C%20f%5Cleft(-2%5Cright)%5C%20ei%5C%20voida%5C%20laskea" alt="Nyt\ f\left(x\right)\ on\ määritelty{,}\ kun\ x\ \ne\pm2\ eli\ tämä\ tarkoittaa\ että\ f\left(2\right)\ ja\ f\left(-2\right)\ ei\ voida\ laskea"/><br/> <div> </div> <div>2. Parilliset juurifunktiot (neliöjuurifunktiot)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Csqrt%5Bn%5D%7Bg%5Cleft(x%5Cright)%7D%7B%2C%7D%5C%20jossa%5C%20n%3D2%7B%2C%7D%5C%204%7B%2C%7D%5C%206%7B%2C%7D%5C%20..." alt="f\left(x\right)=\sqrt[n]{g\left(x\right)}{,}\ jossa\ n=2{,}\ 4{,}\ 6{,}\ ..."/></div> <span>Nyt f on määritelty kun g(x) ≥ 0 (esim neliöjuurta ei voida ottaa negatiivisesta luvusta)</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Esim%5C%20funktio%5C%20f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Csqrt%7B2x-3%7D%5C%20on%5C%20m%C3%A4%C3%A4ritelty%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%202x-3%5Cge0%5C%20%5C%20eli%5C%20kun%5C%20x%5Cge%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D" alt="Esim\ funktio\ f\left(x\right)=\sqrt{2x-3}\ on\ määritelty{,}\ kun\ 2x-3\ge0\ \ eli\ kun\ x\ge\frac{3}{2}"/></div> <div>Tämä tarkoittaa sitä, että x:n paikalle ei voida sijoittaa 3/2 pienempiä x:n arvoja, koska näillä x:n arvoilla 2x - 3 &lt; 0.</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=funktion%5C%20f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Csqrt%7B2x-3%7D%5C%20arvojoukko%5C%20A_f%3A%5C%20y%5Cge0" alt="funktion\ f\left(x\right)=\sqrt{2x-3}\ arvojoukko\ A_f:\ y\ge0"/></div> <span> eli funktio ei saa negatiivisia arvoja (neliöjuuri ei koskaan ole negatiivinen)</span> <div> </div> <div>3. Logaritmifunktiot</div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Clog_a%5Cleft(g%5Cleft(x%5Cright)%5Cright)" alt="f\left(x\right)=\log_a\left(g\left(x\right)\right)"/></div> <div>Koska logaritmia ei voida ottaa negat. luvusta eikä nollasta niin f on määritelty, kun g(x) &gt; 0</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Esim%5C%20f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cln%5Cleft(x-3%5Cright)%5C%20on%5C%20m%C3%A4%C3%A4ritelty%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x-3%3E0%5C%20eli%5C%20x%3E3" alt="Esim\ f\left(x\right)=\ln\left(x-3\right)\ on\ määritelty{,}\ kun\ x-3\gt 0\ eli\ x\gt 3"/></div> <div> </div> <div>Kaikki muut funktiotyypit (polynomifunktiot, sini- ja kosinifunktiot, eksponenttifunktiot, parittomat juurifunktiot) on määritelty kaikilla x:n arvoilla.</div> <div> </div> <div>Huom! Funktion arvojoukko tiedetään </div> <div>- sini- ja kosinifunktioille, joiden arvojoukko on [-1, 1] (-1≤ y ≤ 1)</div> <div>- neliöjuurifunktioille, joiden arvojoukko on y ≥ 0</div> <div>- eksponenttifunktiolle, arvojoukko y &gt; 0</div> <div> </div> <div> </div> <div> </div> <h3>Polynomin jakaminen tekijöihin</h3> <div> </div> <div>Useimmiten tekijöihin jako koskee 2. asteen polynomeja, mutta seuraavat tekijöihinjakotavat koskevat myös kaikkia polynomeja</div> <div> </div> <div>Polynomi voidaan jakaa tekijöihin</div> <div> </div> <div>1. erottamalla yhteinen tekijä</div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=4x-2x%5E2%3D2x%5Ccdot2-2x%5Ccdot%20x%3D2x%5Cleft(2-x%5Cright)" alt="4x-2x^2=2x\cdot2-2x\cdot x=2x\left(2-x\right)"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%5E3-3x%5E2%3Dx%5E2%5Cleft(2x-3%5Cright)" alt="2x^3-3x^2=x^2\left(2x-3\right)"/> <div> </div> <div>2. Muistikaavat (summan ja erotukset tulo sekä binomin neliö)</div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a%5E2-b%5E2%3D%5Cleft(a-b%5Cright)%5Cleft(a%2Bb%5Cright)%5C%20%5C%20ja%5C%20%5C%20a%5E2%2B2ab%2Bb%5E2%3D%5Cleft(a%2Bb%5Cright)%5E2" alt="a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\ \ ja\ \ a^2+2ab+b^2=\left(a+b\right)^2"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=4x%5E2-25%3D%5Cleft(2x%5Cright)%5E2-5%5E2%3D%5Cleft(2x-5%5Cright)%5Cleft(2x%2B5%5Cright)" alt="4x^2-25=\left(2x\right)^2-5^2=\left(2x-5\right)\left(2x+5\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2-8x%2B16%3D%5Cleft(x-4%5Cright)%5E2" alt="x^2-8x+16=\left(x-4\right)^2"/></div> <div> </div> <div>3. Ryhmittelemällä </div> <div> </div> <div>Koskee 3. asteen polynomeja, yleisesti, kun polynomin asteluku on 3 tai suurempi</div> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E3-2x%5E2%2B4x-8%3D%5Cleft(x%5E3-2x%5E2%5Cright)%2B%5Cleft(4x-8%5Cright)" alt="x^3-2x^2+4x-8=\left(x^3-2x^2\right)+\left(4x-8\right)"/></div> <div>tarkastellaan kahta eka termiä ja viimeisiä termejä, joista etsitään yhteiset tekijät<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3Dx%5E2%5Cleft(x-2%5Cright)%2B4%5Cleft(x-2%5Cright)" alt="=x^2\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)"/></div> <div>Nyt molemmissa on yhteinen tekijä x - 2</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cleft(x-2%5Cright)%5Cleft(x%5E2%2B4%5Cright)" alt="=\left(x-2\right)\left(x^2+4\right)"/><br/> <div><br/> 4. Nollakohtien avulla<br/> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=jos%5C%20polyno%5Cmin%5C%20ax%5E2%2Bbx%2Bc%5C%20nollakohdat%5C%20ovat%5C%20x%3Dx_1%5C%20ja%5C%20x%3Dx_2%5C%20niin%5C%20polyno%5Cmin%5C%20tekij%C3%A4t%5C%20ovat" alt="jos\ polyno\min\ ax^2+bx+c\ nollakohdat\ ovat\ x=x_1\ ja\ x=x_2\ niin\ polyno\min\ tekijät\ ovat"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x-x_1%5C%20ja%5C%20x-x_2" alt="x-x_1\ ja\ x-x_2"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nyt%5C%20koko%5C%20polynomi%5C%20ax%5E2%2Bbx%2Bc%3Da%5Cleft(x-x_1%5Cright)%5Cleft(x-x_2%5Cright)" alt="nyt\ koko\ polynomi\ ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)"/><br/> <div> </div> <div>Jaetaan polynomi p(x) tekijöihin kun</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=p%5Cleft(x%5Cright)%3D2x%5E2%2B2x-4%3D2%5Cleft(x%5E2%2Bx-2%5Cright)" alt="p\left(x\right)=2x^2+2x-4=2\left(x^2+x-2\right)"/></div> <span>Nyt täytyy hakea polynomin nollakohdat, joiden avulla tekijät saadaan eli ratkaistaan yhtälö</span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%2Bx-2%3D0%5C%20%5C%20%5C%20%5C" alt="x^2+x-2=0\ \ \ \"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B-1%5Cpm%5Csqrt%7B1%5E2-4%5Ccdot1%5Ccdot%5Cleft(-2%5Cright)%7D%7D%7B2%5Ccdot1%7D%3D%5Cfrac%7B-1%5Cpm3%7D%7B2%7D" alt="x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)}}{2\cdot1}=\frac{-1\pm3}{2}"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x_1%3D1%5C%20%5C%20tai%5C%20x_2%3D-2%5C%20%5C%20%5C%20%5CRightarrow%5C%20tekij%C3%A4t%5C%20x-1%5C%20ja%5C%20x%2B2" alt="x_1=1\ \ tai\ x_2=-2\ \ \ \Rightarrow\ tekijät\ x-1\ ja\ x+2"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Nyt%5C%20p%5Cleft(x%5Cright)%3D2x%5E2%2B2x-4%3D2%5Cleft(x-1%5Cright)%5Cleft(x%2B2%5Cright)" alt="Nyt\ p\left(x\right)=2x^2+2x-4=2\left(x-1\right)\left(x+2\right)"/><br/> <div> </div> <div>Huom!</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Kun%5C%20huomataan%5C%20helposti%7B%2C%7D%5C%20ett%C3%A4%5C%20polyno%5Cmin%5C%20x%5E2%2Bx-2%5C%20yksi%5C%20nollakohta%5C%20on%5C%20x%3D1" alt="Kun\ huomataan\ helposti{,}\ että\ polyno\min\ x^2+x-2\ yksi\ nollakohta\ on\ x=1"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Nyt%5C%20polyno%5Cmin%5C%20yksi%5C%20tekij%C3%A4%5C%20on%5C%20x-1%5C%20ja%5C%20toinen%5C%20tekij%C3%A4%5C%20p%C3%A4%C3%A4tell%C3%A4%C3%A4n" alt="Nyt\ polyno\min\ yksi\ tekijä\ on\ x-1\ ja\ toinen\ tekijä\ päätellään"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=polyno%5Cmin%5C%20%5Cker%20tolaskun%5C%20avulla" alt="polyno\min\ \ker tolaskun\ avulla"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%2Bx-2%3D%5Cleft(x-1%5Cright)%5Cleft(x%2B2%5Cright)" alt="x^2+x-2=\left(x-1\right)\left(x+2\right)"/></div> <div><br/> <br/> <h3>Murtolausekkeita ja murtoyhtälöitä</h3> <div> </div> <div>Sievennä/laske</div> <div>a)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B3-x%7D%7B3x%5E2%7D%2B%5Cfrac%7Bx-1%7D%7Bx%7D%5C%20%5Cleft(lavennetaan%5C%20samannimisiksi%3A%5C%20j%C3%A4lkimm%C3%A4inen%5C%20lavennetaan%5C%203x%5Cright)" alt="\frac{3-x}{3x^2}+\frac{x-1}{x}\ \left(lavennetaan\ samannimisiksi:\ jälkimmäinen\ lavennetaan\ 3x\right)"/><br/> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Huom!" alt="Huom!"/><br/> <div>Murtolauseke supistuu vain jos osoittajassa ja nimittäjässä on yhteinen tekijä . Esim</div> <div>b)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7Bx%5E2-x-2%7D%7Bx%2B1%7D" alt="\frac{x^2-x-2}{x+1}"/><br/> <br/> <div>Murtolauseke sievenee, jos osottajassa on tekijänä sama kuin nimittäjässä eli x + 1  ⇒ yksi nollakohta pitäisi olla x = -1</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Huomataan%7B%2C%7D%5C%20ett%C3%A4%5C%20%5Cleft(-1%5Cright)%5E2-%5Cleft(-1%5Cright)%2B2%3D0%5C%20eli%5C%20osottajan%5C%20nollakohta%5C%20on%5C%20x%3D-1" alt="Huomataan{,}\ että\ \left(-1\right)^2-\left(-1\right)+2=0\ eli\ osottajan\ nollakohta\ on\ x=-1"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=eli%5C%20osottajan%5C%20yksi%5C%20tekij%C3%B6ist%C3%A4%5C%20on%5C%20x%2B1" alt="eli\ osottajan\ yksi\ tekijöistä\ on\ x+1"/><br/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=toinen%5C%20tekij%C3%A4%5C%20voidaan%5C%20p%C3%A4%C3%A4tell%C3%A4%5C%20polyno%5Cmin%5C%20%5Cker%20tolaskun%5C%20avulla%3A" alt="toinen\ tekijä\ voidaan\ päätellä\ polyno\min\ \ker tolaskun\ avulla:"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cleft(x%2B1%5Cright)%5Cleft(x-2%5Cright)%3Dx%5E2-x-2" alt="\left(x+1\right)\left(x-2\right)=x^2-x-2"/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nyt%5C%20%5Cfrac%7Bx%5E2-x-2%7D%7Bx%2B1%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(x%2B1%5Cright)%5Cleft(x-2%5Cright)%7D%7Bx%2B1%7D%3Dx-2" alt="nyt\ \frac{x^2-x-2}{x+1}=\frac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{x+1}=x-2"/></div> </div> </div> <div><br/> <br/> <br/> </div> <div>c)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5E2%2B2x%7D%2B%5Cfrac%7Bx-1%7D%7Bx%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5Cleft(x%2B2%5Cright)%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(x-1%5Cright)%5Cleft(x%2B2%5Cright)%7D%7Bx%5Cleft(x%2B2%5Cright)%7D%5C%20%5Cleft(j%C3%A4lkimm%C3%A4inen%5C%20lavennettu%5C%20x%2B2%5Cright)" alt="\frac{2}{x^2+2x}+\frac{x-1}{x}=\frac{2}{x\left(x+2\right)}+\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x\left(x+2\right)}\ \left(jälkimmäinen\ lavennettu\ x+2\right)"/><br/> <br/> </div> <div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5Cleft(x%2B2%5Cright)%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(x-1%5Cright)%5Cleft(x%2B2%5Cright)%7D%7Bx%5Cleft(x%2B2%5Cright)%7D%5C%20%5Cleft(molemmilla%5C%20on%5C%20sama%5C%20nimitt%C3%A4j%C3%A4%5CRightarrow%20lasketaan%5C%20osoittajat%5C%20yhteen%5Cright)" alt="=\frac{2}{x\left(x+2\right)}+\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x\left(x+2\right)}\ \left(molemmilla\ on\ sama\ nimittäjä\Rightarrow lasketaan\ osoittajat\ yhteen\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cfrac%7B2%2B%5Cleft(x-1%5Cright)%5Cleft(x%2B2%5Cright)%7D%7Bx%5Cleft(x%2B2%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7B2%2Bx%5E2%2B2x-x-2%7D%7Bx%5Cleft(x%2B2%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7Bx%5E2%2Bx%7D%7Bx%5Cleft(x%2B2%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7Bx%5Cleft(x%2B1%5Cright)%7D%7Bx%5Cleft(x%2B2%5Cright)%7D%3D%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7Bx%2B2%7D" alt="=\frac{2+\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x\left(x+2\right)}=\frac{2+x^2+2x-x-2}{x\left(x+2\right)}=\frac{x^2+x}{x\left(x+2\right)}=\frac{x\left(x+1\right)}{x\left(x+2\right)}=\frac{x+1}{x+2}"/></div> <div> </div> <div> </div> </div> </div> </div> 2026-09-29T09:59:27+03:00 https://peda.net/id/c68900d3bbd31 2026-09-29T10:04:14+03:00 <h3><span>Funktion raja-arvo</span></h3> <div> </div> <div>Funktiolla f(x) on kohdassa x = a raja-arvona luku b, kun x lähestyy a:ta. Tätä merkitään<br/> <br/> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3Db%5C%20%5C%20%5Cleft(tai%5C%20f%5Cleft(x%5Cright)%5Crightarrow%20b%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x%5Crightarrow%20a%5Cright)" alt="\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b\ \ \left(tai\ f\left(x\right)\rightarrow b{,}\ kun\ x\rightarrow a\right)"/></div> <div>Nyt funktion raja-arvossa on kyse siitä, että funktio ei saavuta arvoa b, vaan lähestyy sitä.</div> <div> </div> <div>Raja-arvon laskeminen: Sijoitetaan se muuttujan arvo, jota lähestytään, funktion lausekkeeseen.</div> <div> </div> <div>Murtofunktioiden tapauksessa, jos lasketaan raja-arvoa kohdassa, jossa funktiota ei ole määritelty, sijoitus voi johtaa muotoon 0/0, jolloin murtolauseketta joudutaan sieventämään ennen raja-arvon laskemista.</div> <div> </div> <div>Laske raja-arvo.</div> <div>a)</div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%7D%5Cleft(x%5E2-3%5Cright)%3D1%5E2-3%3D-2" alt="\lim_{x\rightarrow1}\left(x^2-3\right)=1^2-3=-2"/> <div>b)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7D%5Cfrac%7B3x%5E2-6x%7D%7Bx-2%7D" alt="\lim_{x\rightarrow2}\frac{3x^2-6x}{x-2}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=nyt%5C%20x%3An%5C%20arvon%5C%202%5C%20sijoitus%5C%20johtaa%5C%20muotoon%5C%20%5Cfrac%7B0%7D%7B0%7D" alt="nyt\ x:n\ arvon\ 2\ sijoitus\ johtaa\ muotoon\ \frac{0}{0}"/></div> <span>⇒ murtolauseketta sievennetään. Tiedetään, että myös osoittajan nollakohta on x = 2 ⇒ osoittajasta löytyy myös tekijä x - 2</span> <div> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7D%5Cfrac%7B3x%5Cleft(x-2%5Cright)%7D%7Bx-2%7D%5C%20%5Cleft(%5Csup%20istetaan%5C%20yhteinen%5C%20tekij%C3%A4%5C%20x-2%5Cright)" alt="=\lim_{x\rightarrow2}\frac{3x\left(x-2\right)}{x-2}\ \left(\sup istetaan\ yhteinen\ tekijä\ x-2\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow2%7D3x%3D3%5Ccdot2%3D6" alt="=\lim_{x\rightarrow2}3x=3\cdot2=6"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=eli%5C%20funktion%5C%20raja-arvo%5C%20on%5C%206%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x%5C%20l%C3%A4hestyy%5C%202" alt="eli\ funktion\ raja-arvo\ on\ 6{,}\ kun\ x\ lähestyy\ 2"/></div> <div><br/> c)</div> <div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%7D%5Cfrac%7Bx%5E2%2Bx-2%7D%7Bx%5E2-1%7D" alt="\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2+x-2}{x^2-1}"/><br/> <br/> <div>x:n arvon 1 sijoittaminen johtaan muotoon 0/0<br/> <br/> </div> <div>⇒ x=1 on sekä osottajan että nimittäjän nollakohta ⇒ molemmissa on tekijänä x - 1</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%7D%5Cfrac%7B%5Cleft(x-1%5Cright)%5Cleft(x%2B2%5Cright)%7D%7B%5Cleft(x-1%5Cright)%5Cleft(x%2B1%5Cright)%7D" alt="=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}"/> osottajan toinen tekijä on päätelty polynomin kertolaskun avulla</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Clim_%7Bx%5Crightarrow1%7D%5Cfrac%7Bx%2B2%7D%7Bx%2B1%7D%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D" alt="=\lim_{x\rightarrow1}\frac{x+2}{x+1}=\frac{3}{2}"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Funktion%5C%20f%5C%20arvot%5C%20l%C3%A4hestyv%C3%A4t%5C%20arvoa%5C%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x%5C%20%5Crightarrow%5C%201" alt="Funktion\ f\ arvot\ lähestyvät\ arvoa\ \frac{3}{2}{,}\ kun\ x\ \rightarrow\ 1"/><br/> <br/> <br/> <br/> </div> <h3><b>Funktion jatkuvuus</b></h3> <div> </div> <div><b>Jatkuvan funktion kuvaaja on yhtenäinen eli kuvaaja ei katkea</b> missään kohdissa. Nyt kaikki polynomi-, murto-, eksponentti- ja logaritmi- sekä trigonometriset funktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukossaan.</div> <div> </div> <div>Määritelmä jatkuvuudelle</div> <div>Funktio on jatkuva kohdassa x = a, jos funktiolla on raja-arvo kohdassa x = a ja tämä raja-arvo on yhtä suuri kuin funktion arvo kohdassa x = a.<br/> <br/> </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=lyhyem%5Cmin%3A%5C%20jatkuvuusehto%5C%20kohdassa%5C%20x%5C%20%3D%5C%20a" alt="lyhyem\min:\ jatkuvuusehto\ kohdassa\ x\ =\ a"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20a%7Df%5Cleft(x%5Cright)%3Df%5Cleft(a%5Cright)" alt="\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=f\left(a\right)"/> <div> </div> <div>Funktion jatkuvuutta tarkastellaan sellaisilla funktioilla, jotka on määritelty kahdessa tai useammassa osassa (paloittain) esim</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A2x-1%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x%3C-1%26%5C%5C%0Ax%5E2-3%7B%2C%7D%5C%20kun%5C%20x%5Cge-1%26%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="f\left(x\right)=\begin{cases}&#10;2x-1{,}\ kun\ x\lt -1&amp;\\&#10;x^2-3{,}\ kun\ x\ge-1&amp;&#10;\end{cases}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Nyt%5C%20jatkuvuutta%5C%20pit%C3%A4isi%5C%20tutkia%5C%20vain%5C%20kohdassa%5C%20x%5C%20%3D%5C%20-1" alt="Nyt\ jatkuvuutta\ pitäisi\ tutkia\ vain\ kohdassa\ x\ =\ -1"/><br/> <br/> Näitä jatkuvuustarkasteluja käsitellään tarkemmin syventävällä kurssilla MAA12</div> <div> </div> <div><b>Bolzanon lause</b></div> <div> </div> <div>Liittyy jatkuvan funktion yhteen perusominaisuuksista.</div> <div> </div> <div>Bolzanon lause: </div> <div>Jos funktio f on jatkuva jollakin välillä [a, b] (a ≤ x ≤ b) ja funktio saa erimerkkiset arvot välin päätepisteissä niin tällöin funktiolla on ainakin yksi nollakohta välillä ]a, b[ (a &lt; x &lt; b).<br/> <br/> </div> <div>Todetaan, että funktio f on jatkuva ja lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä eli f(a) ja f(b). Jos ne ovat erimerkkiset eli esim f(a) &lt; 0 ja f(b) &gt; 0 niin funktiolla on varmasti ainakin yksi nollakohta<br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=eli%5C%20funktion%5C%20kuvaaja%5C%20leikkaa%5C%20x-akselin%5C%20ainakin%5C%20%5Cker%20ran" alt="eli\ funktion\ kuvaaja\ leikkaa\ x-akselin\ ainakin\ \ker ran"/></div> <div> </div> <div>Esim</div> <div>Osoita, että funktiolla</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E3%2B3x-2%5C%20on%5C%20ainakin%5C%20yksi%5C%20nollakohta." alt="f\left(x\right)=x^3+3x-2\ on\ ainakin\ yksi\ nollakohta."/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Nyt%5C%20f%5C%20on%5C%20m%C3%A4%C3%A4ritelty%5C%20kaikilla%5C%20x%3An%5C%20arvoilla%5C%20ja%5C%20f%5C%20on%5C%20jatkuva." alt="Nyt\ f\ on\ määritelty\ kaikilla\ x:n\ arvoilla\ ja\ f\ on\ jatkuva."/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Nyt%5C%20etsit%C3%A4%C3%A4n%5C%20kaksi%5C%20x%3An%5C%20arvoa%7B%2C%7D%5C%20joilla%5C%20%5C%20toisella%5C%20funktion%5C%20arvo%5C%20on%5C%20negat%5C%20ja%5C%20toisella%5C%20posit" alt="Nyt\ etsitään\ kaksi\ x:n\ arvoa{,}\ joilla\ \ toisella\ funktion\ arvo\ on\ negat\ ja\ toisella\ posit"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=Huomataan%7B%2C%7D%5C%20ett%C3%A4%5C%20f%5Cleft(0%5Cright)%3D-2%3C0%5C%20ja%5C%20f%5Cleft(1%5Cright)%3D2%3E0%5C%20eli%5C%20f%5C%20saa%5C%20v%C3%A4lill%C3%A4%5C%20%5Cleft%5B0%7B%2C%7D%5C%201%5Cright%5D%5C%20erimerkkiset%5C%20arvot" alt="Huomataan{,}\ että\ f\left(0\right)=-2\lt 0\ ja\ f\left(1\right)=2\gt 0\ eli\ f\ saa\ välillä\ \left[0{,}\ 1\right]\ erimerkkiset\ arvot"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5CRightarrow%5C%20f%3All%C3%A4%5C%20on%5C%20ainakin%5C%20yksi%5C%20nollakohta%5C%20v%C3%A4lill%C3%A4%5C%200%5C%20%3Cx%3C1" alt="\Rightarrow\ f:llä\ on\ ainakin\ yksi\ nollakohta\ välillä\ 0\ \lt x\lt 1"/></div> <br/> <div> </div> </div> 2026-09-29T10:02:46+03:00