https://peda.net/id/660fc186c3d 2019-08-21T08:27:42+03:00 https://peda.net/:static/535/peda.net.logo.bg.svg <div class="license">Tämän sivun lisenssi <a rel="license" href="https://peda.net/info">Peda.net-yleislisenssi</a></div> https://peda.net/id/3635edf2d58 2019-09-12T21:14:50+03:00 <span>K5</span> <div>b)</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=s%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E3%2B1%7B%2C%7D%5C%20u%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E%7B-1%7D%7B%2C%7D%5C%20s%27%5Cleft(x%5Cright)%3D3x%5E2%7B%2C%7D%5C%20U%3D%5Cln%5Cleft%7Cx%5Cright%7C" alt="s\left(x\right)=x^3+1{,}\ u\left(x\right)=x^{-1}{,}\ s'\left(x\right)=3x^2{,}\ U=\ln\left|x\right|"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7D%5Cfrac%7B6x%5E2%7D%7Bx%5E3%2B1%7Ddx%3D%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7D6x%5E2%5Ccdot%5Cleft(x%5E3%2B1%5Cright)%5E%7B-1%7Ddx%3D%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7D6x%5E2%5Cleft(x%5E3%2B1%5Cright)%5E%7B-1%7Ddx" alt="\int_{ }^{ }\frac{6x^2}{x^3+1}dx=\int_{ }^{ }6x^2\cdot\left(x^3+1\right)^{-1}dx=\int_{ }^{ }6x^2\left(x^3+1\right)^{-1}dx"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7D2%5Ccdot3x%5E2%5Cleft(x%5E3%2Bx%5Cright)%5E%7B-1%7Ddx%3D2%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7D3x%5E2%5Cleft(x%5E3%2B1%5Cright)%5E%7B-1%7Ddx%3D2%5Cln%5Cleft%7Cx%5E3%2B1%5Cright%7C%2BC" alt="=\int_{ }^{ }2\cdot3x^2\left(x^3+x\right)^{-1}dx=2\int_{ }^{ }3x^2\left(x^3+1\right)^{-1}dx=2\ln\left|x^3+1\right|+C"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D2%5Cln%5Cleft(x%5E3%2B1%5Cright)%2BC%7B%2C%7D%5C%20x%3E-1" alt="=2\ln\left(x^3+1\right)+C{,}\ x&gt;-1"/><!--filtered attribute: style="max-width: 100%; max-height: 1000px; vertical-align: middle; margin: 4px; padding: 3px 10px; cursor: pointer; border: 1px solid #e6f2f8; background: #edf9ff;"--></div> <div> </div> <span>Esimerkki</span> <div>Laske paraabelin ja suoran rajaaman alueen pinta.ala</div> <div>Paraabelin akseli on y-akselin suuntainen, jolloin sen yhtälö on muotoa</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3Dax%5E2%2Bbx%2Bc" alt="y=ax^2+bx+c"/></div> <div>Paraabeli kulkee pisteiden (3,4), (6,2) ja (9,4) kautta, joten pisteiden koordinaatit toteuttaat paraabelin yhälön.</div> <div>Saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan vakiot a, b ja c laskimella.</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0Aa%5Ccdot3%5E2%2Bb%5Ccdot3%2Bc%3D4%5C%5C%0Aa%5Ccdot6%5E2%2Bb%5Ccdot6%2Bc%3D2%5C%5C%0Aa%5Ccdot9%5E2%2Bb%5Ccdot9%2Bc%3D4%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="\begin{cases}&#10;a\cdot3^2+b\cdot3+c=4\\&#10;a\cdot6^2+b\cdot6+c=2\\&#10;a\cdot9^2+b\cdot9+c=4&#10;\end{cases}"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cbegin%7Bcases%7D%0A9a%5Ccdot3b%2Bc%3D4%5C%5C%0A36a%2B6b%2Bc%3D2%5C%5C%0A81a%2B9b%2Bc%3D4%0A%5Cend%7Bcases%7D" alt="\begin{cases}&#10;9a\cdot3b+c=4\\&#10;36a+6b+c=2\\&#10;81a+9b+c=4&#10;\end{cases}"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=a%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B9%7D%7B%2C%7D%5C%20b%3D-%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%7B%2C%7D%5C%20c%3D10" alt="a=\frac{2}{9}{,}\ b=-\frac{8}{3}{,}\ c=10"/></div> <div>Paraabelin yhtälö on</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B9%7Dx%5E2-%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7Dx%2B10" alt="f\left(x\right)=\frac{2}{9}x^2-\frac{8}{3}x+10"/></div> <div>Suora kulkee pisteiden (2,0) ja (5,2) kautta</div> <div>Suoran kulmakerroin on </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=k%3D%5Cfrac%7B2-0%7D%7B5-2%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D" alt="k=\frac{2-0}{5-2}=\frac{2}{3}"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y-0%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cleft(x-2%5Cright)" alt="y-0=\frac{2}{3}\left(x-2\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx-%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D" alt="y=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}"/></div> <div>Suoran yhtälö on <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=g%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7Dx-%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D" alt="g\left(x\right)=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}"/></div> <div>Lasketaan suoran ja paraabelin leikkauskohta</div> <div>Ratkaistaan laskimella yhtälö f(x)=g(x)</div> <div>Saadaan ratkaisuksi <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B-%5Csqrt%5B%5D%7B21%7D%2B15%7D%7B2%7D%5Capprox5%7B%2C%7D21%5C%20tai%5C%20x%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%5B%5D%7B21%7D%2B15%7D%7B2%7D%5Capprox9%7B%2C%7D79" alt="x=\frac{-\sqrt[]{21}+15}{2}\approx5{,}21\ tai\ x=\frac{\sqrt[]{21}+15}{2}\approx9{,}79"/></div> <div>Selvitetään käyrien järjestys. Valitaan testikohta x=7 leikkauskohtien välistä ja lasketaan käyrien arvot tässä kohdassa laskimella</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(7%5Cright)%3D%5Cfrac%7B20%7D%7B9%7D" alt="f\left(7\right)=\frac{20}{9}"/>ja<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=g%5Cleft(7%5Cright)%3D%5Cfrac%7B10%7D%7B3%7D" alt="g\left(7\right)=\frac{10}{3}"/></div> <div>g(x)&gt;f(x) eli käyrä g(x) on ylempänä</div> <div>Pinta-ala on </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%3D%5Cint_%7B%5Cfrac%7B-%5Csqrt%5B%5D%7B21%7D%2B15%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Csqrt%5B%5D%7B21%7D%2B15%7D%7B2%7D%7D%5Cleft(g%5Cleft(x%5Cright)-f%5Cleft(x%5Cright)%5Cright)dx%3D%5Cfrac%7B7%5Csqrt%5B%5D%7B21%7D%7D%7B9%7D%5Capprox3%7B%2C%7D56" alt="A=\int_{\frac{-\sqrt[]{21}+15}{2}}^{\frac{\sqrt[]{21}+15}{2}}\left(g\left(x\right)-f\left(x\right)\right)dx=\frac{7\sqrt[]{21}}{9}\approx3{,}56"/></div> <span>Esimerkki. Ympyrä </span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E2%2By%5E2%3D9" alt="x^2+y^2=9"/><span> pyörähtää x-akselin ympäri, jolloin syntyy pallo. Määritä pallon tilavuus integroimalla.</span> <div> <div>Ratkaistaan y ympyrän yhtälöstä</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%5E2%3D9-x%5E2" alt="y^2=9-x^2"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D%5Cpm%5Csqrt%5B%5D%7B9-x%5E2%7D" alt="y=\pm\sqrt[]{9-x^2}"/></div> <div>Saa pallo syntyy, kun ympyrän x-akselin yläpuolinen osa pyörähtää x-akselin ympäri</div> <div>Tämän osan lauseke on <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D%5Csqrt%5B%5D%7B9-x%5E2%7D%3Df%5Cleft(x%5Cright)" alt="y=\sqrt[]{9-x^2}=f\left(x\right)"/><br/> <div>Ratkaistaan yhtälön f(x) nollakohdat</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Csqrt%5B%5D%7B9-x%5E2%7D%3D0" alt="\sqrt[]{9-x^2}=0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-3%5C%20tai%5C%20x%3D3" alt="x=-3\ tai\ x=3"/></div> Pallon tilavuus on <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=V%3D%5Cpi%5Cint_%7B-3%7D%5E3%5Cleft(%5Csqrt%5B%5D%7B9-x%5E2%7D%5Cright)%5E2dx%3D36%5Cpi" alt="V=\pi\int_{-3}^3\left(\sqrt[]{9-x^2}\right)^2dx=36\pi"/></div> 2019-09-12T21:14:50+03:00 https://peda.net/id/b6959028d25 2019-09-08T20:11:35+03:00 <div>s.107 Ennakkotehtävä 1</div> <div>b) Pyörähdyskappale on ympyräkartio, jonka tilavuus on </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=V%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cpi%20r%5E2h" alt="V=\frac{1}{3}\pi r^2h"/></div> <div>Välillä [0,x] sen korkeus h=x ja pohjan säden on funktion f arvo kohdassa x eli r=x</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=V%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cpi%20r%5E2%5Ccdot%20x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cpi%20x%5E3" alt="V\left(x\right)=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot x=\frac{1}{3}\pi x^3"/></div> <span>c)</span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=V%27%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cpi%20x%5E2" alt="V'\left(x\right)=\pi x^2"/><br/> <div>Tilavuusfunktion muutosnopeus kohdassa x on kappeleen poikkileikkausympyrän pinta-ala kohdassa x.</div> <div> </div> <div>d) Koska tilavuuden muutosnopeus on pohjan pinta-ala, niin saadaan tilavuus välillä [2,6] määrättynä integraalina</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cint_2%5E6A%5Cleft(x%5Cright)dx%3D%5Cint_2%5E6%5Cpi%20x%5E2dx%3D%5Cpi%5Cbigg%2F_%7B%5C!%5C!%5C!%5C!%5C!2%7D%5E6%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dx%5E3%3D%5Cpi%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot6%5E3-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot2%5E3%5Cright)%3D69%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cpi" alt="\int_2^6A\left(x\right)dx=\int_2^6\pi x^2dx=\pi\bigg/_{\!\!\!\!\!2}^6\frac{1}{3}x^3=\pi\left(\frac{1}{3}\cdot6^3-\frac{1}{3}\cdot2^3\right)=69\frac{1}{3}\pi"/></div> <br/> <span>Lause </span> <div>Olkoon f välillä [a,b] jatkuva funktio. Funktion f kuvaajan x-akselin ympäri pyörähdyskappale, jonka tilavuus on </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=V%3D%5Cpi%5Cint_a%5Ebf%5Cleft(x%5Cright)%5E2dx" alt="V=\pi\int_a^bf\left(x\right)^2dx"/></div> 2019-09-08T20:11:35+03:00 https://peda.net/id/5dcf7426ced 2019-09-04T09:29:36+03:00 <div>Olkoon f ja g jatkuva funktioita ja f&gt;g välillä [a,b]. Tällöin funktioiden väliin jäävä pinta-ala on </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%3D%5Cint_a%5Ebf%5Cleft(x%5Cright)dx-%5Cint_a%5Ebg%5Cleft(x%5Cright)dx%3D%5Cint_a%5Eb%5Cleft(f%5Cleft(x%5Cright)-g%5Cleft(x%5Cright)%5Cright)" alt="A=\int_a^bf\left(x\right)dx-\int_a^bg\left(x\right)dx=\int_a^b\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)"/></div> <span>Tämä toimii myös silloin, kun väliin jäävä alue on kokonaan tai osittain x-akselin alapuolella.</span> <div> <div> </div> <div>Laskuissa huomioitavaa:</div> <div>Selvitä integromisväli eli laske käyrien leikkauspisteet.</div> <div>Selvitä kumpifunktio kulkee ylempänä eli kumman funktion arvot ovat suurempia testipisteiden avulla.</div> <div> </div> <div>Esimerkki</div> <div>Suora <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=g%5Cleft(x%5Cright)%3D2x" alt="g\left(x\right)=2x"/>ja funktion<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E3%2Bx%5E2" alt="f\left(x\right)=x^3+x^2"/> kuvaajat rajaavat kaksiosaisen alueen. Laske sen pinta-ala</div> <div>Lasketaan leikkauskohdat</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=g%5Cleft(x%5Cright)%3Df%5Cleft(x%5Cright)" alt="g\left(x\right)=f\left(x\right)"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=2x%3Dx%5E3%2Bx%5E2" alt="2x=x^3+x^2"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E3%2Bx%5E2-2x%3D0" alt="x^3+x^2-2x=0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D-2%5C%20tai%5C%20x%3D0%5C%20tai%5C%20x%3D1%5C%20%5Cleft(Laskin%5Cright)" alt="x=-2\ tai\ x=0\ tai\ x=1\ \left(Laskin\right)"/> <div> </div> <div>Funktioiden suurus järjestys voi muuttua vain leikkauspisteissä </div> <div>Valitaan väliltä [-2,0] testipisteeksi x=-1 ja väliltä [0,1] x=1/2</div> <div>Välillä [-2,0] f(x)&gt;g(x), joten pinta-ala on</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%3D%5Cint_%7B-2%7D%5E0%5Cleft(f%5Cleft(x%5Cright)-g%5Cleft(x%5Cright)%5Cright)dx%3D%5Cint_%7B-2%7D%5E0%5Cleft(x%5E3-x%5E2-2x%5Cright)dx%3D%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D" alt="A=\int_{-2}^0\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx=\int_{-2}^0\left(x^3-x^2-2x\right)dx=\frac{8}{3}"/>(Laskin)</div> <div>Välillä [0,1] g(x)&gt;f(x), joten pinta-ala on</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%3D%5Cint_0%5E1%5Cleft(g%5Cleft(x%5Cright)-f%5Cleft(x%5Cright)%5Cright)dx%3D%5Cint_0%5E1%5Cleft(2x-x%5E3-x%5E2%5Cright)dx%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B12%7D" alt="A=\int_0^1\left(g\left(x\right)-f\left(x\right)\right)dx=\int_0^1\left(2x-x^3-x^2\right)dx=\frac{5}{12}"/>(Laskin)</div> <br/> Kysytty pinta-ala on </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B12%7D%3D%5Cfrac%7B37%7D%7B12%7D%3D3%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D" alt="\frac{8}{3}+\frac{5}{12}=\frac{37}{12}=3\frac{1}{12}"/></div> 2019-09-04T09:29:36+03:00 https://peda.net/id/11286670ce0 2019-09-03T08:58:22+03:00 <div>Lause<br/> <br/> </div> <div>Olkoon f jatkuva välillä [a,b] ja olkoon A sen alueen pinta-ala, jota rajaaat funktion f kuvaaja, x-akseli ja suorat</div> <div>x=a ja x=b. Tällöin </div> <div> </div> <div>a) Jos f(x)≥0 välillä [a,b], niin </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%3D%5Cint_a%5Ebf%5Cleft(x%5Cright)dx" alt="A=\int_a^bf\left(x\right)dx"/></div> <div>b) Jos f(x)≤0 välillä [a,b], niin </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%3D%5Cint_a%5Eb-f%5Cleft(x%5Cright)dx%3D-%5Cint_a%5Ebf%5Cleft(x%5Cright)dx" alt="A=\int_a^b-f\left(x\right)dx=-\int_a^bf\left(x\right)dx"/></div> <div> </div> <div>406</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E3%2Bx%5E2-2x" alt="f\left(x\right)=x^3+x^2-2x"/></div> <div>Funktion f(x) nollakohdat</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5E3%2Bx%5E2-2x%3D0" alt="x^3+x^2-2x=0"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%5Cleft(x%5E2%2Bx-2%5Cright)%3D0" alt="x\left(x^2+x-2\right)=0"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D0" alt="x=0"/><span>tai</span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B-1%5Cpm%5Csqrt%5B%5D%7B1%5E2-4%5Ccdot1%5Ccdot%5Cleft(-2%5Cright)%7D%7D%7B2%5Ccdot1%7D%3D%5Cfrac%7B-1%5Cpm3%7D%7B2%7D" alt="x=\frac{-1\pm\sqrt[]{1^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)}}{2\cdot1}=\frac{-1\pm3}{2}"/> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B-1%2B3%7D%7B2%7D%3D1" alt="x=\frac{-1+3}{2}=1"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3D%5Cfrac%7B-1-3%7D%7B2%7D%3D-2" alt="x=\frac{-1-3}{2}=-2"/></div> <div>Ensimmäinen alue on [-2,0] ja toinen alue on välillä [0,1].</div> <div>Selvitetään funktion f merkit testikohtien x=-1 ja x=1/2 avulla</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(-1%5Cright)%3D2%3E0" alt="f\left(-1\right)=2&gt;0"/><!--filtered attribute: style="max-width: 100%; max-height: 1000px; vertical-align: middle; margin: 4px; padding: 3px 10px; cursor: pointer; border: 1px solid #e6f2f8; background: #edf9ff;"--><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%3D-%5Cfrac%7B5%7D%7B8%7D%3C0" alt="f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{5}{8}&lt;0"/></div> <div>Välillä [-2,0] on f(x)≥0, joten pinta-ala on </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%3D%5Cint_%7B-2%7D%5E0%5Cleft(x%5E3%2Bx%5E2-2x%5Cright)dx%3D%5Cbigg%2F_%7B%5C!%5C!%5C!%5C!%5C!%7B-2%7D%7D%5E0%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7Dx%5E4%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dx%5E3-x%5E2%5Cright)" alt="A=\int_{-2}^0\left(x^3+x^2-2x\right)dx=\bigg/_{\!\!\!\!\!{-2}}^0\left(\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3-x^2\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D0-%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Ccdot%5Cleft(-2%5Cright)%5E4%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot%5Cleft(-2%5Cright)%5E3-%5Cleft(-2%5Cright)%5E2%5Cright)%3D%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D" alt="=0-\left(\frac{1}{4}\cdot\left(-2\right)^4+\frac{1}{3}\cdot\left(-2\right)^3-\left(-2\right)^2\right)=\frac{8}{3}"/></div> <span>Välillä [0,1] on f(x)≤0, joten pinta-ala on </span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%3D-%5Cint_0%5E1f%5Cleft(x%5Cright)dx%3D-%5Cbigg%2F_%7B%5C!%5C!%5C!%5C!%5C!0%7D%5E1%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7Dx%5E4%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dx%5E3-x%5E2%5Cright)" alt="A=-\int_0^1f\left(x\right)dx=-\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^1\left(\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3-x^2\right)"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D-%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Ccdot1%5E4%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot1%5E3-1%5E2-0%5Cright)%3D%5Cfrac%7B5%7D%7B12%7D" alt="=-\left(\frac{1}{4}\cdot1^4+\frac{1}{3}\cdot1^3-1^2-0\right)=\frac{5}{12}"/></div> <span>Pinta-ala on </span> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%3D%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B12%7D%3D%5Cfrac%7B37%7D%7B12%7D%3D3%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D" alt="A=\frac{8}{3}+\frac{5}{12}=\frac{37}{12}=3\frac{1}{12}"/><br/> <br/> <span><span>Esim. Määritä käyrän <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=x%3Dy%5E2-1" alt="x=y^2-1"/>ja y-akselin väliin jäävä pinta-ala.<br/> </span></span> <div>Ratkaistaan käyrän ja y-akselin leikkauskohdat</div> <div>Leikakaukohdissa x=0.</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%5E2-1%3D0" alt="y^2-1=0"/></div> <span><span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%5E2%3D1" alt="y^2=1"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D1" alt="y=1"/>tai<img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%3D-1" alt="y=-1"/><br/> </span></span> <div>Välillä [-1,1] käyrän <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Ctext%7By%7D%5E2-1" alt="\text{y}^2-1"/>arvot ovat negatiivisia, koska esimerkiksi kun y=0, niin <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=y%5E2-1%3D-1%3C0" alt="y^2-1=-1&lt;0"/></div> <div>Kysytty pinta-ala on </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%3D-%5Cint_%7B-1%7D%5E1%5Cleft(y%5E2-1%5Cright)dy%3D-%5Cbigg%2F_%7B%5C!%5C!%5C!%5C!%5C!%7B-1%7D%7D%5E1%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dy%5E3-y%5Cright)" alt="A=-\int_{-1}^1\left(y^2-1\right)dy=-\bigg/_{\!\!\!\!\!{-1}}^1\left(\frac{1}{3}y^3-y\right)"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D-%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot1%5E3-1-%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot%5Cleft(-1%5Cright)%5E3-%5Cleft(-1%5Cright)%5Cright)%5Cright)" alt="=-\left(\frac{1}{3}\cdot1^3-1-\left(\frac{1}{3}\cdot\left(-1\right)^3-\left(-1\right)\right)\right)"/></div> <span><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D-%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-1-%5Cleft(-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2B1%5Cright)%5Cright)" alt="=-\left(\frac{1}{3}-1-\left(-\frac{1}{3}+1\right)\right)"/><br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%3D-%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-1%5Cright)%3D2-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%3D1%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D" alt="=-\left(\frac{1}{3}-1+\frac{1}{3}-1\right)=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}"/></span></div> 2019-09-03T08:45:42+03:00 https://peda.net/id/5ff32cd4c88 2019-08-27T08:49:03+03:00 <div> <div>Lause</div> <div>Olkoon f välillä [a,b] jatkuva ja ei-negatiivinen funktio, ja olkoon A(x) funktion f kuvaajan ja x-akselin välillä [a,x] rajoittaman alueen pinta-ala. Tällöin <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%27%5Cleft(x%5Cright)%3Df%5Cleft(x%5Cright)" alt="A'\left(x\right)=f\left(x\right)"/></div> <div>Toisin sanoen pinta-alafunktio A on funktion f eräs integraalifunktio.</div> <div> </div> <div>305</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=f%5Cleft(x%5Cright)%3Dx%5E2%2B1" alt="f\left(x\right)=x^2+1"/></div> <br/> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%5Cleft(x%5Cright)%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7Df%5Cleft(x%5Cright)dx%3D%5Cint_%7B%20%7D%5E%7B%20%7Dx%5E2%2B1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%2B1%7Dx%5E%7B2%2B1%7D%2Bx%5E%7B1%2B1%7D%2BC%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dx%5E3%2Bx%5E2%2BC%7B%2C%7D%5C%20C%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D" alt="A\left(x\right)\int_{ }^{ }f\left(x\right)dx=\int_{ }^{ }x^2+1=\frac{1}{2+1}x^{2+1}+x^{1+1}+C=\frac{1}{3}x^3+x^2+C{,}\ C\in\mathbb{R}"/></div> <div>Pinta-ala on nolla, kun x=0 eli </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot0%5E3%2B0%2BC%3D0" alt="\frac{1}{3}\cdot0^3+0+C=0"/></div> <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=C%3D0" alt="C=0"/> <div>Pinta-alafunktio on <img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dx%5E3%2Bx" alt="A\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3+x"/></div> <div>b) Välillä [1,3] pinta-ala on </div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%5Cleft(3%5Cright)-A%5Cleft(1%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot3%5E3%2B3-%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot1%5E3%2B1%5Cright)%3D9%2B3-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-1%3D12-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%3D10%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D" alt="A\left(3\right)-A\left(1\right)=\frac{1}{3}\cdot3^3+3-\left(\frac{1}{3}\cdot1^3+1\right)=9+3-\frac{1}{3}-1=12-\frac{1}{3}=10\frac{2}{3}"/></div> <div>c)</div> <div>Määritä pinta-ala geogebralla</div> <div>Huomautus: Integroimisvakiota C ei välttämättä tarvitse määrittää pinta-alaa laskettaessa.</div> <div>Esim. Jos tehtävässä 305 ei olisi a-kohtaa, niin b-kohdan pinta.ala saataisiin seuraavasti</div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%5Cleft(x%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dx%5E3%2Bx%5E2%2BC%7B%2C%7D%5C%20C%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D" alt="A\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3+x^2+C{,}\ C\in\mathbb{R}"/></div> <div><img src="https://math-demo.abitti.fi/math.svg?latex=A%5Cleft(3%5Cright)-A%5Cleft(1%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D3%5E3%2B3%2BC-%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot1%5E3%2B1%2BC%5Cright)%3D9%2B3%2BC-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-1-C%3D10%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D" alt="A\left(3\right)-A\left(1\right)=\frac{1}{3}3^3+3+C-\left(\frac{1}{3}\cdot1^3+1+C\right)=9+3+C-\frac{1}{3}-1-C=10\frac{2}{3}"/><br/> <div> </div> <div><br/> <div> </div> </div> </div> 2019-08-27T08:49:03+03:00