2. Potenssilaskenta

2.1 Potenssi

2016-11-22T10:12:37+02:00

Potenssimerkintä on tapa esittää kertolaskuja yksinkertaisemmin. Potenssien laskusääntöjen avulla voidaan laskea suuriakin kertolaskuja nopeammin.

Potenssimerkinnässä eksponentti kertoo kuinka monta kertaa kantaluku kerrotaan itsensä kanssa.

Määritelmä:

Yleisesti olkoot n positiivinen kokonaisluku (n = 1, 2, 3, ...).

Kantaluvun a n:s potenssi tarkoittaa tuloa aⁿ = a · a · a · ... · a · a, missä kantalukua kerrotaan n kertaa itsensä kanssa.

Esimerkki 1.

a) 2³ = 2 · 2 · 2 = 8

b) (-2)³ = (-2) · (-2) · (-2) = -8 Huomaa ero, mikäli kantaluku on negatiivinen!

c) -2³ = -2 · 2 · 2 = -8

Kantaluku on syytä merkitä (aina) sulkuihin. Edellisen esimerkin kohdassa b kantalukuna on -2, mutta kohdassa c kantalukuna on 2.

2.2 Samankantaisen potenssien tulo

2019-01-09T19:56:16+02:00

Samankantaisen potenssien tulo - kun kantaluvut ovat samat

eli samankantaisten eksponenttien kertolaskussa kantaluku ei muutu, mutta eksponentit summataan yhteen.

Esimerkki

a) x³ · x⁵ = x³⁺⁵= x⁸

b) b⁴ · b^-6 = b^4+(-6)= b^4-6= b^{-2 (huomaa, että potenssin ollessa negatiivinen summa muuttuu erotukseksi)}

2.3 Samankantaisen potenssien osamäärä

2019-01-09T19:56:25+02:00

samankantaisten potenssien osamäärä - kun kantaluvut ovat samat

eli samankantaisten eksponenttien kertolaskussa kantaluku ei muutu, mutta eksponentit vähennetään toisistaan (jaettavan eksponentti ensin). Jakolasku kannattaa aina esittää murtolukumuodossa.

Esimerkki

a) x⁵ : x² = x^{5 - 2}= x³

b) b⁴ : b^-6 = b^4-(-6)= b^{4 + 6}= b^{10 (jos jakajan potenssi on negatiivinen erotus muuttuu summaksi)}

2.4 Tulon potenssi

2019-01-09T19:56:35+02:00

Tulon potenssi

tulon potenssissa kaikki kerrottavat korotetaan erikseen merkittyyn potenssiin.

Esimerkki

(2xy)⁵ =2⁵x⁵y⁵= 32x⁵y⁵

2.5 Osamäärän potenssi

2019-01-09T19:55:27+02:00

Osamäärän potenssi

osamäärän potenssissa sekä jaettava että jakaja korotetaan erikseen merkittyyn potenssiin. Osamäärä kannattaa merkitä murtolukumuodossa, mikä helpottaa osamäärän tulkintaan.

Esimerkki

(2x : 3y)³ = (2x)³ : (3y)³ = 8x³ : 27y³

2.6 Potenssin potenssi

2019-01-09T19:51:59+02:00

potenssin potenssi

Potenssin korotus potenssiin tarkoittaa potenssien kertolaskua, mikäli potenssien välissä on sulkumerkintä. Mikäli sulkua ei ole, laskea potenssin potenssi normaalina potenssilaskuna.

Esimerkki 5.

(2x²)³ = 2³x^{2 · 3} = 8x⁶

tai (2x²)³ = (2x²)(2x²)(2x²) = 2 · 2 · 2 · x² · x²

2.7 Nolla eksponenttina

2019-01-09T19:56:06+02:00

Nolla eksponenttina

Luku potenssiin nolla on aina yksi, mikäli kantaluku on eri suuri kuin nolla. Tuloksen voi osoittaa useammallakin tavalla:

2 : 2 = 2¹ : 2¹ = 2^{1 - 1} = 2⁰ = 1 ^{(yleensä todistus tehdään mille tahansa kantaluvulle a ≠ 0)}

a · (1 : a) = a¹ · a^-1 = a^{1 + (-1)} = a⁰ = 1 ^{(luvun ja sen käänteisluvun tulo on aina 1)}

Tehtäviä

2022-08-09T18:52:48+03:00

2.1 Potenssi: 2.1 Potenssi
2.2 Potenssin laskusäännöt.pdf: 2.2 Potenssin laskusäännöt.pdf
2.3 Eksponentin ratkaiseminen.pdf: 2.3 Eksponentin ratkaiseminen.pdf

2.8 Negatiivinen eksponentti

2019-01-09T19:56:59+02:00

negatiivinen eksponentti

^{Negatiivinen eksponentti muutetaan positiivikseksi ja samalla kantaluku vaihdetaan käänteisluvuksi. Kantaluku kannattaa esittää murtolukuna ja sulkeiden sisällä.}

Videoita - potenssit

2016-12-12T09:31:38+02:00

https://www.youtube.com/watch?v=e6P8rgOJlHU

https://www.youtube.com/watch?v=ECeBL0eseYY

https://www.youtube.com/watch?v=-y9EdlZIkwI

https://www.youtube.com/watch?v=83vOijTQhyM

https://www.youtube.com/watch?v=qMF-9znIGFA

https://www.youtube.com/watch?v=7uB5CnTdJq8

https://www.youtube.com/watch?v=goXhiAbCCGw

Videoita - logaritmit

2016-12-12T09:31:54+02:00

2.9 Eksponentin ratkaiseminen

2019-01-09T19:58:50+02:00

Eksponentti laskuissa tuntematon muuttuja x voi esiintyä myös eksponenttina. Tarkastellaan tätä esimerkkien kautta.

Esimerkki

2^x= 8

Tiedetään, että 2³ = 8, joten vastaukseksi saadaan x = 3. Lasku oli helppo suorittaa, kun eksponenttina on kokonaisluku.

Esimerkki

2^x+1= 16

→ Kirjoitetaan lauseke uudestaan muodossa 2^x+1 = 2⁴→ x + 1 = 4
→ x = 3

Esimerkki

2^x = 10

Tiedetään, että 23 = 8 ja että 24 = 16. Nyt muuttujan x arvo on siis luku arvojen 3 ja 4 väliltä - desimaaliluku. Haetaan vastaus kokeilemalla.

2^3,2 = 9,1895...
2^3,3 = 9,8491...
2^3,4 = 10,5560...
2^3,35 = 10,1961...
2^3,32 = 9,9866...

Jatkamalla kokeilua pääsemme tulokseen x ≈ 3,322.

Tällaiset tehtävät, missä tuntematon muuttuja on eksponenttina, on paljon helpompi ratkaista logaritmilaskennan avulla.

2.10 Logaritmi

2019-01-09T19:59:03+02:00

Logaritmilaskenta on matemaattinen menetelmä laskea eksponenttilaskentaa käänteisesti. Logaritmien avulla pystytään ratkaisemaan siis eksponenttien arvoja.

Vastaavasti voidaan ajatella, että neliöjuuri on potenssin kaksi käänteinen laskutoimitus.

Esimerkkejä.

a) 3² = 9 → log₃9 = 2
b) 3⁴ = 81 → log₃81 = 4
c) 10³ = 1000 → log₁₀1000 = 3

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Laskimessa käytetään vain 10-kantaisen logaritmin (LOG) ja luonnollisen logaritmin (LN) laskentaperusteita.

lg = 10-kantainen logaritmi
ln = e-kantainen logaritmi

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Siksi on hyödyllistä käyttää laskuissa kantaluvun vaihtosääntöä, jos kantalukuna on jokin muu luku kuin 10 tai e.

Esimerkki.

Ratkaistaan yhtälö 4^x = 50.

Logaritmin avulla saadaan x = log₄50. Tätä ei voi kuitenkaan suoraan laskimella laskea, koska kantaluvulle neljä ei ole määritelty laskimen toimintoja. Käytetään kantaluvun vaihtosääntöä ja vaihdetaan kantaluvuksi 10, koska silloin voidaan käyttää laskinta apuna.

x = log₄50 = log₁₀50 : log₁₀4 = lg50 : lg4 = 2,8219... ≈ 2,82

2.11 Logaritmin laskusäännöt

2019-01-09T19:58:33+02:00

ekstraosio!

Tutustu videoiden kautta logaritmien laskusääntöihin ja tee niihin liittyvät lisätehtävät.

https://opetus.tv/maa/maa8/logaritmi/