5.3 Ensimmäisen asteen epäyhtälö

Määritelmä

2016-08-18T09:21:05+03:00

Ensimmäisen asteen epäyhtälössä muuttujan korkein eksponentti on [[$ 1 $]].

Epäyhtälö on esimerkiksi muotoa [[$ ax+b<0 $]].

Ensimmäisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen algebrallisesti

2016-08-18T09:50:34+03:00

Ensimmäisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen algebrallisesti

Ensimmäisen asteen epäyhtälö ratkaistaan samalla periaatteella kuin ensimmäisen asteen yhtälö, kun muistetaan epäyhtälön laskusäännöt:
Negatiivisella luvulla kerrottaessa tai jaettaessa epäyhtälömerkin suunta kääntyy
Epäyhtälö sievennetään niin pitkälle kuin mahdollista, jotta saadaan [[$ x $]] ratkaistua

Esimerkki 1

Ratkaise epäyhtälö [[$ \frac{x}{4}<7 $]].

Ratkaisu:

[[$ \begin{align} \frac{x}{4}&<7 \ & ∥ \cdot4\\ 4 \cdot \frac{x}{4}&<4 \cdot7\\ x&<28\end{align} $]]

Vastaus: [[$ x<28 $]]

Esimerkki 2

Ratkaise epäyhtälö [[$ -6(x+10)<2(7-3x) $]].

Ratkaisu:

[[$ \begin{align} -6(x+10)&<2(7-3x)& &∥\text{poistetaan sulut}\\ -6x-60&<14-6x& &∥+6x\\-60&<14& &∥\text{identtisesti tosi}\end{align} $]]

Vastaus: Epäyhtälö toteutuu muuttujan [[$ x $]] kaikilla arvoilla. (Vastaus voidaan ilmoittaa myös [[$ R_{j}=\mathbb{R} $]] tai [[$ x\in \mathbb{R} $]]).

Esimerkki 3

2016-08-18T09:33:29+03:00

Ratkaise epäyhtälö [[$ 9(\frac{x}{3}+1)+\frac{1}{4}(-32+2x) \geq 7(\frac{1}{2}x-5)+36 $]].

Ratkaisu:
[[$$ \begin{align} 9(\frac{x}{3}+1)+\frac{1}{4}(-32+2x)& \geq 7(\frac{1}{2}x-5)+36&&\parallel\text{poistetaan sulut}\\ 3x+9-8+\frac{1}{2}x&\geq\frac{7}{2}x-35+36&&\\ 3\frac{1}{2}x+1&\geq 3\frac{1}{2}x+1&& \parallel -3\frac{1}{2}x-1\\ 0&\geq0&&\parallel\text{identtisesti tosi}\end{align} $$]]

Vastaus: Epäyhtälö toteutuu muuttujan [[$ x $]] kaikilla arvoilla. (Vastaus voidaan ilmoittaa myös [[$ R_{j}=\mathbb{R} $]] tai [[$ x\in \mathbb{R} $]])

Esimerkit 4 ja 5

2016-08-18T09:34:13+03:00

Esimerkki 4

Olkoon [[$0<x<5$]]. Ratkaise epäyhtälö [[$ \frac{6-x}{3}-1≤2x $]].

Ratkaisu:
[[$$ \begin{align} \frac{6-x}{3}-1&≤2x &∥& \cdot3& \text{kaikki termit kerrotaan 3:lla}\\ 3\cdot\frac{6-x}{3}-3 \cdot1 &≤3\cdot2x\\6-x-3&≤6x &∥&-6x\\-7x+3&≤0 &∥&-3\\-7x&≤-3 &∥&:(-7) & \text{merkki kääntyy!}\\ \\ x&≥\frac{3}{7}\end{align} $$]]
Otetaan alkuehto [[$0<x<5$]] huomioon!

Vastaus: [[$ \frac{3}{7} \leq x<5 $]]

Esimerkki 5

Ratkaise epäyhtälö [[$ \sqrt{5}x-7≥3+2 \sqrt{5}x $]].

Ratkaisu:
[[$$ \begin{align} \sqrt{5}x-7&≥3+2 \sqrt{5}x &∥&-2\sqrt{5}x\\ \sqrt{5}x-7-2 \sqrt{5}x&≥3+2 \sqrt{5}x-2 \sqrt{5}x\\- \sqrt{5}x-7&≥3 &∥&+7\\- \sqrt{5}x&≥10 &∥&:(- \sqrt{5}) &\text{merkki kääntyy!}\\ x&≤- \frac{10}{ \sqrt{5}}^{( \sqrt{5}} \ &&& \text{lavennetaan} \sqrt{5} \text{:llä}\\x&≤- \frac{10 \sqrt{5}}{5}\\x&≤-2 \sqrt{5}\end{align} $$]]

Vastaus: [[$ x≤-2 \sqrt{5} $]]

Esimerkki 6

2016-08-18T09:34:44+03:00

Ratkaise epäyhtälöstä [[$ x $]] [[$ a $]]:n suhteen. [[$ \frac{1}{3}(9x-6)>-\frac{a}{2}+1 $]]

Ratkaisu:
Epäyhtälössä on vakio [[$ a $]]. Epäyhtälöä ratkaistaessa ei kannata kertoa tai jakaa [[$ a $]]:lla, koska [[$ a $]]:n merkki ei ole tiedossa. Jos [[$ a $]] on negatiivinen, epäyhtälömerkki kääntyy. Jos [[$ a $]] on positiivinen, merkki ei käänny.
[[$$ \begin{align} \frac{1}{3}(9x-6)&>- \frac{a}{2}+1 \ &&&\text{poistetaan sulut}\\ 3x-2&>- \frac{a}{2}+1\ &∥&\cdot2\\6x-4&>-a+2 &∥&+4\\6x&>-a+6 &∥ &:6\\x&>- \frac{a}{6}+1&&\end{align} $$]]

Vastaus: [[$ x>- \frac{a}{6}+1 $]]

Erisuuruusmerkki epäyhtälöissä

2016-08-18T09:08:17+03:00

Jos epäyhtälö on muotoa [[$ f(x) \neq g(x) $]], se voidaan ratkaista kuten yhtälö, mutta yhtäsuuruusmerkin [[$ = $]] tilalla käytetään erisuuruusmerkkiä [[$ \neq $]]. Ensimmäisen asteen epäyhtälöissä tämä on yleensä helpoin tapa.

Toinen vaihtoehto on siirtää [[$ g(x) $]] erisuuruusmerkin toiselle puolelle eli molemmilta puolilta vähennetään [[$ g(x) $]], jolloin epäyhtälö saadaan muotoon [[$ f(x)-g(x) \neq0$]]. Sievennetään [[$ f(x)-g(x) $]] ja ratkaistaan sen nollakohta. Epäyhtälö toteutuu tällöin kaikissa muissa pisteissä kuin nollakohdassa.

Esimerkki 7

Ratkaise epäyhtälö [[$ -2x+7 \neq 0 $]].

Ratkaisu:[[$$ \begin{align}-2x+7& \neq0 &∥&-7\\-2x& \neq-7 &∥&:(-2)\\x& \neq \frac{7}{2}\\x& \neq3 \frac{1}{2}\end{align} $$]]

Vastaus: [[$ x \neq3 \frac{1}{2} $]]

Esimerkki 8

Ratkaise epäyhtälö [[$ 4x+1 \neq-8x-5 $]].

Ratkaisu:
[[$$ \begin{align}4x+1& \neq -8x-5 &∥&+8x\\12x+1& \neq-5 &∥&-1\\12x& \neq-6 &∥&:12\\x& \neq -\frac{6}{12}\\x& \neq- \frac{1}{2}\end{align} $$]]

Vastaus: [[$ x \neq- \frac{1}{2} $]]

Ensimmäisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen tyyppikuvaajan tai merkkikaavion perusteella

2016-08-18T09:35:20+03:00

Ensimmäisen asteen epäyhtälö voidaan ratkaista myös tyyppikuvaajan tai merkkikaavion perusteella.

1. asteen epäyhtälön ratkaiseminen tyyppikuvaajan tai merkkikaavion perusteella

Siirretään kaikki termit epäyhtälömerkin vasemmalle puolelle, jolloin epäyhtälö saadaan muotoon, jossa oikealla puolella on vain nolla
Sievennetään niin pitkälle kuin mahdollista
Ratkaistaan polynomin nollakohta
Piirretään tyyppikuvaaja ja/tai merkkikaavio
Luetaan epäyhtälön vastaus tyyppikuvaajasta tai merkkikaaviosta

Esimerkki 9

Ratkaise [[$ 2x-4<-x-3 $]].

Ratkaisu:
[[$$ \begin{align}2x-4&<-x-3&\parallel+x\\3x-4&<-3& ∥+3\\3x-1&<0\end{align} $$]]
Ratkaistaan polynomin [[$ 3x-1 $]] nollakohta. [[$$ \begin{align}3x-1=0 \ & ∥+1\\3x=1 \ & ∥:3\\x= \frac{1}{3}\end{align} $$]]

Koska polynomin [[$ 3x-1 $]] ensimmäisen asteen termin kerroin [[$3$]] on positiivinen, kuvaaja on nouseva suora.

Merkkikaavio:

Näistä voidaan lukea epäyhtälön [[$ 3x-1<0 $]] ratkaisu.

Vastaus: [[$ x<\frac{1}{3} $]]

Ensimmäisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen graafisesti

2016-08-18T09:41:09+03:00

Epäyhtälö tulee ratkaista graafisesti vain, mikäli tehtävässä nimenomaan pyydetään graafista ratkaisua.
Algebrallisen ratkaisun voi aina tarkistaa graafisesti.

1. asteen epäyhtälön [[$ f(x)>g(x) $]] ratkaiseminen graafisesti

Piirretään funktioiden [[$ f(x) $]] ja [[$ g(x) $]] kuvaajat samaan koordinaatistoon
Jos kuvasta ei yksiselitteisesti selviä funktioiden [[$ f(x) $]] ja [[$ g(x) $]] kuvaajien leikkauspiste, ratkaistaan se. Merkitään [[$ f(x)=g(x) $]] ja ratkaistaan [[$ x $]]. Jos kuvaajat ovat yhdensuuntaisia erillisiä suoria (eli ensimmäisen asteen termin kerroin [[$ a $]] on molemmilla sama), niillä ei ole leikkauspistettä
Katsotaan kuvasta, milloin [[$ f(x)>g(x) $]]. Epäyhtälö toteutuu niillä muuttujan [[$ x $]] arvoilla, joilla [[$ f(x) $]]:n kuvaaja on [[$ g(x) $]]:n kuvaajan yläpuolella

Jos epäyhtälö on muotoa [[$ f(x) \geq g(x) $]], ratkaisuun otetaan mukaan myös suorien leikkauspiste. Jos epäyhtälö on muotoa [[$ f(x) \neq g(x) $]], se toteutuu kaikilla muilla muuttujan [[$ x $]] arvoilla paitsi suorien leikkauspisteessä.

Esimerkkejä

2016-08-18T09:43:03+03:00

Esimerkki 10

Ratkaise epäyhtälö [[$ -9x-5<-x+3 $]] graafisesti ja tarkista vastaus algebrallisesti.

Ratkaisu:
Piirretään epäyhtälön vasemman ja oikean puolen kuvaajat ja katsotaan milloin epäyhtälö toteutuu.

Suorat leikkaavat kohdassa [[$ x=-1 $]].
Oranssi suora on sinisen suoran alapuolella, kun [[$ x>-1 $]].

Vastaus: [[$ x>-1 $]]

Tarkistus:[[$$ \begin{align} -9x-5&<-x+3 &∥&+x\\ -8x-5&<3 &∥&+5\\-8x&<8&∥&:(-8) &&&\text{merkki kääntyy!}\\x&>-1\end{align} $$]]Saatu tulos vahvistaa graafisen ratkaisun oikeellisuuden.

Esimerkki 11

Ratkaise epäyhtälö [[$ -3x-4>-3x+2 $]] graafisesti ja tarkista vastaus algebrallisesti.

Ratkaisu:

Oranssi suora [[$ f(x)=-3x-4 $]] on aina sinisen suoran [[$ g(x)=-3x+2 $]] alapuolella, joten epäyhtälö ei toteudu millään muuttujan [[$ x $]] arvolla. Suorat ovat yhdensuuntaiset, koska molempien ensimmäisen asteen termin kerroin on [[$ -3 $]] , joten ne eivät leikkaa toisiaan missään pisteessä.

Vastaus: Ei ratkaisua (vastaus voidaan ilmoittaa myös [[$R_{j}=\phi $]])

Tarkistus:

[[$ \begin{align} -3x-4&\geq-3x+2 &∥&+3x\\ -4&\geq2 &&&\text{identtisesti epätosi, joten ei ratkaisua}\end{align} $]]

Saatu tulos vahvistaa graafisen ratkaisun oikeellisuuden.

GeoGebra-sovelma

2016-08-18T11:00:12+03:00

Alla olevaan GeoGebra-sovelmaan voit kirjoittaa kaksi suoraa muodossa [[$ f(x)=kx + b $]] eli esimerkiksi [[$ 2x - 1 $]] ja [[$ -x + 3 $]]. Sovelma muodostaa niistä epäyhtälön "oranssi suora" [[$ > $]] "vihreä suora". Katso kuvaajasta, millä muuttujan [[$ x $]] arvoilla oranssi suora on ylempänä kuin vihreä suora. Klikkaamalla ruutua ”näytä vastaus”, voit tarkistaa vastauksen.

Kaksoisepäyhtälön ratkaiseminen

2016-08-18T09:48:00+03:00

Kaksoisepäyhtälö on muotoa [[$ f(x) < g(x) < h(x) $]].
Sitä voidaan nimittää myös yhdistetyksi epäyhtälöksi, koska se koostuu kahdesta epäyhtälöstä [[$ f(x) < g(x) $]] ja [[$ g(x) < h(x) $]]. Kaksoisepäyhtälön ratkaisu ovat ne pisteet, joissa molemmat epäyhtälöt toteutuvat.

Kaksoisepäyhtälön ratkaiseminen

Kaksoisepäyhtälö [[$ f(x) < g(x) < h(x) $]] jaetaan kahdeksi erilliseksi epäyhtälöksi [[$ f(x) < g(x) $]] ja [[$ g(x) < h(x) $]]
Molemmat epäyhtälöt ratkaistaan erikseen
Tutkitaan merkkikaavion tai lukusuorien avulla, millä muuttujan [[$ x $]] arvoilla molemmat epäyhtälöt toteutuvat

Vastaus voidaan tarkistaa sijoittamalla saadulle välille kuuluva muuttujan [[$ x $]] arvo kaksoisepäyhtälöön ja tutkimalla, toteuttaako se epäyhtälön.

Esimerkki 12

Ratkaise [[$ 3x<-x+1<\frac{x}{2}+4 $]].

Ratkaisu:
Jaetaan kaksoisepäyhtälö epäyhtälöiksi [[$ 3x<-x+1 $]] ja [[$ -x+1<\frac{x}{2}+4 $]].

1. epäyhtälö
[[$$\begin{align}3x&<-x+1&\| &+x\\4x&<1&\| &:4\\x&<\frac{1}{4}\end{align}$$]]
2. epäyhtälö
[[$$\begin{align}-x+1&<\frac{x}{2}+4&\| &\cdot2\\-2x+2&<x+8&\| &-x\\-3x+2&<8&\| &-2\\-3x&<6&\| &:(-3)&\text{Merkki kääntyy!}\\x&>-2\end{align}$$]]
Yhdistetään vastaukset:

Vastaus: [[$ -2<x<\frac{1}{4} $]]

Tarkistetaan vastaus sijoittamalla saadulle välille [[$ -2<x<\frac{1}{4} $]] kuuluva arvo [[$ x = -1 $]] alkuperäiseen kaksoisepäyhtälöön [[$ 3x<-x+1<\frac{x}{2}+4 $]]. Sijoitetaan myös saadulle välille kuulumattomat muuttujan [[$ x $]] arvot [[$ x=-3 $]] ja [[$ x=1 $]] alkuperäiseen kaksoisepäyhtälöön.

	[[$ 3x < -x + 1 < \dfrac{x}{2} + 2 $]]
[[$x = -3$]]	[[$ 3\cdot (-3) < -(-3)+1 < \dfrac{-3}{2}+4 $]] [[$-9 < 4 < 2 \dfrac{1}{2}$]]	epätosi
[[$x = -1$]]	[[$ 3 \cdot (-1) < -(-1)+1 < \dfrac{-1}{2}+4$]] [[$ -3 < 2 < 3\dfrac{1}{2} $]]	tosi
[[$x = 1$]]	[[$3 \cdot 1 < -1+1 < \dfrac{-1}{2}+4$]] [[$ 3 < 0 < 4 \dfrac{1}{2} $]]	epätosi

[[$ x=-1 $]] toteuttaa kaksoisepäyhtälön, joten vastaus on oikea.

Ratkaisutapa 2

2015-07-23T13:25:43+03:00

Jos kaksoisepäyhtälössä muuttuja [[$ x $]] on vain yhdessä lausekkeessa, nopein tapa ratkaista kaksoisepäyhtälö on ratkaista molemmat epäyhtälöt yhtä aikaa.

Esimerkki 13

Ratkaise kaksoisepäyhtälö [[$ -7<3x-4<-8 $]].

Ratkaisu:
[[$$\begin{align}-7&<3x-4<-8&\| &+4&\text{kaikkiin termeihin lisätään 4}\\-3&<3x<-4&\| &:3\\-1&<x<-\frac{4}{3}\end{align}$$]]
Tarkastellaan vastausta merkkikaaviolla.

Epäyhtälöt eivät toteudu samoilla muuttujan [[$ x $]] arvoilla, joten kaksoisepäyhtälöllä ei ole ratkaisua.

Vastaus: Ei ratkaisua. (Vastaus voidaan ilmoittaa myös [[$R_{j}=\emptyset$]].)

Kaksoisepäyhtälön ratkaiseminen graafisesti

2016-08-18T09:49:04+03:00

Esimerkki 14

Ratkaise [[$ 3x < -x + 1 < \frac{x}{2}+ 4 $]].

Ratkaisu:

[[$ 3x < -x + 1 $]], kun sininen suora on oranssin alapuolella.

Lasketaan suorien leikkauspiste.

[[$\begin{align}3x&=-x+1&\| &+x\\4x&=1&\| &:4\\x&=\frac{1}{4}\end{align}$]]

Sininen ja oranssi suora leikkaavat kohdassa [[$ x=\frac{1}{4} $]], joten epäyhtälö toteutuu, kun [[$ x<\frac{1}{4} $]].

[[$ -x + 1 < \frac{x}{2}+ 4 $]], kun oranssi suora on vihreän alapuolella.

Oranssi ja vihreä suora leikkaavat toisensa kohdassa [[$ x=-2 $]] , joten epäyhtälö toteutuu, kun [[$ x>-2 $]].

Yhdistämällä edellä olevat ratkaisut saadaan kaksoisepäyhtälölle ratkaisu [[$ -2<x<\frac{1}{4} $]].

Vastaus: [[$ -2<x<\frac{1}{4} $]]

Navigointi

2016-08-15T17:58:04+03:00

Sisällys Luvun sisällys Sivun alkuun

5.3 Ensimmäisen asteen epäyhtälö

Määritelmä

Ensimmäisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen algebrallisesti

Ensimmäisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen algebrallisesti

Esimerkki 1

Esimerkki 2

Esimerkki 3

Esimerkit 4 ja 5

Esimerkki 4

Esimerkki 5

Esimerkki 6

Erisuuruusmerkki epäyhtälöissä

Esimerkki 7

Esimerkki 8

Ensimmäisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen tyyppikuvaajan tai merkkikaavion perusteella

1. asteen epäyhtälön ratkaiseminen tyyppikuvaajan tai merkkikaavion perusteella

Esimerkki 9

Ensimmäisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen graafisesti

1. asteen epäyhtälön [[$ f(x)>g(x) $]]​ ratkaiseminen graafisesti

Esimerkkejä

Esimerkki 10

Esimerkki 11

GeoGebra-sovelma

Kaksoisepäyhtälön ratkaiseminen

Kaksoisepäyhtälön ratkaiseminen

Esimerkki 12

Ratkaisutapa 2

Esimerkki 13

Kaksoisepäyhtälön ratkaiseminen graafisesti

Esimerkki 14

Navigointi

1. asteen epäyhtälön [[$ f(x)>g(x) $]] ratkaiseminen graafisesti