Kokeilemalla ratkeava korkeamman asteen yhtälö

2016-08-15T17:23:57+03:00

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin vastaavan yhtälön nollakohtien avulla:
[[$ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2) $]], jossa [[$ x_1 $]] ja [[$ x_2 $]] ovat tutkittavan polynomin nollakohdat.

Tämä voidaan yleistää korkeamman asteen polynomeille. Olkoon [[$ P(x) $]] astetta [[$ n $]] oleva polynomi. Jos tunnetaan kaikki polynomin nollakohdat [[$ x_i $]],[[$ i=1,2,3,\ldots ,n $]], niin polynomi voidaan jakaa tekijöihin.

[[$ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1x+a_0=a_n(x-x_1)(x-x_2)\ldots (x-x_n) $]]

Jos yhtälölle [[$ P(x)=0 $]] löydetään nollakohta [[$ x_1 $]] kokeilemalla, voidaan polynomi [[$ P(x) $]] jakaa jakokulmassa polynomilla [[$ x-x_1 $]], jolloin saadaan [[$ P(x)=(x-x_1)Q(x) $]], missä polynomi [[$ Q(x) $]] on astetta [[$ n-1 $]].

Jos korkeimman asteen termin kerroin [[$ a_n=1 $]], niin yhtälön [[$ P(x)=0 $]] nollakohtia kannattaa etsiä vakiotermin [[$ a_0 $]] tekijöiden joukosta.

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö [[$ x^3-3x^2-6x+8=0 $]].

Ratkaisu:
Kokeilemalla huomataan, että [[$ x=1 $]] on yhtälön yksi ratkaisu, sillä sijoittamalla saadaan
[[$ 1^3-3\cdot 1^2-6\cdot 1+8=0 $]]. Siis [[$ x-1 $]] on polynomin [[$ x^3-3x^2-6x+8 $]] tekijä.

Lasketaan jakokulmassa jakolasku [[$ \frac{x^3-3x^2-6x+8}{x-1} $]].

Yhtälö saadaan muotoon [[$ (x-1)(x^2-2x-8)=0 $]], josta tulon nollasäännön avulla saadaan
[[$ x-1=0 $]] tai [[$ x^2-2x-8=0 $]]. Jälkimmäisestä yhtälöstä saadaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa käyttäen [[$ x=-2 $]] tai [[$ x=4 $]].

Vastaus: [[$ x=1 $]] tai [[$ x=-2 $]] tai [[$ x=4 $]].

Polynomin [[$ x^3-3x^2-6x+8 $]] korkeimman asteen termin kerroin on yksi ja kaikki nollakohdat ovat vakiotermin 8 tekijöitä.

Navigointi

2016-08-15T17:16:12+03:00

Sisällys Luvun sisällys Sivun alkuun

*4.3 Kokeilemalla ratkeava korkeamman asteen yhtälö

Kokeilemalla ratkeava korkeamman asteen yhtälö

Esimerkki 1

Navigointi