Korkeamman asteen yhtälö

2016-08-15T17:18:51+03:00

Korkeamman asteen polynomiyhtälö on muotoa [[$ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0=0 $]], missä [[$ a_n\neq 0 $]] ja [[$ n $]] on vähintään 3.

Tulomuotoinen korkeamman asteen yhtälö

Jos yhtälössä [[$ P(x)=0 $]] polynomi [[$ P(x) $]] on tulomuodossa tai jaettavissa tekijöihin, voi yhtälön ratkaista käyttämällä tulon nollasääntöä. Polynomi voidaan jakaa tekijöihin ottamalla yhteinen tekijä, muistikaavoilla tai ryhmittelemällä.

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö [[$ (x-1)(x^2-4)=0 $]].

Ratkaisu:
Polynomi on tulomuodossa ja yhtälön oikella puolella on nolla, joten voidaan käyttää tulon nollasääntöä. Saadaan [[$ x-1=0 $]] tai [[$ x^2-4=0 $]]. (muistikaava)
[[$ \Leftrightarrow x=1 $]] tai [[$ (x-2)(x+2)=0 $]], josta saadaan vastaus [[$ x=1 $]] tai [[$ x=2 $]] tai [[$ x=-2 $]].

Vastaus: [[$ x=1 $]] tai [[$ x=2 $]] tai [[$ x=-2 $]].

Esimerkki 2

Ratkaise yhtälö [[$ x^3-2x^2-3x=0 $]].

Ratkaisu:
Otetaan yhteinen tekijä, [[$ x(x^2-2x-3)=0 $]] ja käytetään tulon nollasääntöä. Saadaan [[$ x=0 $]] tai [[$ x^2-2x-3=0 $]]. Jälkimmäiseen yhtälöön käytetään ratkaisukaavaa ja saadaan nollakohdiksi [[$ x=0 $]] tai [[$ x=3 $]] tai [[$ x=-1 $]].

Vastaus: [[$ x=0 $]] tai [[$ x=3 $]] tai [[$ x=-1 $]].

Esimerkki 3

Ratkaise yhtälö [[$ x^5-2x^4+x^2-2x=0 $]].

Ratkaisu:
Yhteisen tekijän ottaminen johtaa tilanteeseen

[[$ x(x^4-2x^3+x-2)=0 $]],

josta ei päästä eteenpäin pelkällä tulon nollasäännöllä. Ryhmittelyllä saadaan

[[$ x^5-2x^4+x^2-2x=0 $]]
[[$ x^4(x-2)+x(x-2)=0 $]] (yhteinen tekijä [[$ (x-2) $]])
[[$ (x-2)(x^4+x)=0 $]]
[[$ (x-2)\cdot x(x^3+1)=0 $]] (tulon nollasääntö)
[[$ x-2=0 $]] tai [[$ x=0 $]] tai [[$ x^3+1=0 $]]
[[$ x=2 $]] tai [[$ x=0 $]] tai [[$ x^3=-1 $]] (kuutiojuuri puolittain)
[[$ x=2 $]] tai [[$ x=0 $]] tai [[$ x=-1 $]]

Vastaus: [[$ x=2 $]] tai [[$ x=0 $]] tai [[$ x=-1 $]].

Sijoituksella ratkeava korkeamman asteen yhtälö

2016-08-15T17:22:14+03:00

Esimerkki 4

Ratkaise yhtälö [[$ x^4-x^2-6=0 $]].

Ratkaisu:
Sijoitetaan [[$ t=x^2 $]].
Saadaan [[$ t^2-t-6=0 $]], joka ratkeaa ratkaisukaavalla: [[$ t=3 $]] tai [[$ t=-2 $]].
Sijoitetaan saadut arvot kaavaan [[$ t=x^2 $]].
[[$ \Rightarrow x^2=3 $]] tai [[$ x^2=-2 $]] (epätosi)
[[$ \Rightarrow x=\sqrt3 $]] tai [[$ x=-\sqrt 3 $]].

Vastaus: [[$ x=\sqrt3 $]] tai [[$ x=-\sqrt 3 $]]

Muotoa [[$ ax^4+bx^2+c=0 $]] oleva niin sanottu bikvadraattinen yhtälö voidaan aina ratkaista sijoittamalla [[$ t=x^2$]].

Yleisesti muotoa [[$ ax^{2n}+bx^n+c=0 $]] olevat yhtälöt voidaan ratkaista sijoituksella [[$ t=x^n$]].

Navigointi

2016-08-15T17:16:17+03:00

Sisällys Luvun sisällys Sivun alkuun

4.2 Korkeamman asteen yhtälö