Luvun tehtävien vastaukset

Luku 3.1 Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja - tehtävien vastaukset

2016-08-19T08:21:36+03:00

301. a) ylös b) alas c) ylös

302. Aukeamissuunta alas. Huipun [[$x$]]-koordinaatti on 1.

303. a) ylös b) alas

304. Yhtälö on [[$y=-\frac{3}{2}x^2+5\frac{1}{2}x+1$]] ja se aukeaa alaspäin.

Luku 3.2 Vaillinainen toisen asteen yhtälö - tehtävien vastaukset

2016-08-20T20:15:53+03:00

3.2.1 Vaillinainen toisen asteen yhtälö

309. a) [[$x= \pm \sqrt{3} $]]
b) [[$x= \pm 5 $]]
c) yhtälöllä ei ole ratkaisua.

310. a) [[$x= \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$]]
b) [[$x=\pm2 \sqrt{a}$]], kun [[$a \geq 0$]]
c) [[$x= \pm 2 |a|$]]

311. a) [[$x= \frac{3}{2}$]] tai [[$x= \frac{5}{3} $]]
b) [[$x= \frac{3}{2}$]], [[$x= -2$]] tai [[$x= 1$]]

312. a) [[$x=0$]] tai [[$x=3 \quad$]]
b) [[$x=0$]] tai [[$x= \frac{3}{2}$]]

313. a)[[$x=-1$]] tai [[$x=0 \quad$]]
b) [[$x= 0$]] tai [[$x= 2$]]

314. [[$t=-\frac{5}{2}$]] tai [[$t=15$]].
Kun [[$t=-\frac{5}{2}$]], toinen ratkaisu [[$x=\frac{5}{3}$]].
Kun [[$t=15$]], toinen ratkaisu [[$x=30$]].

315. a) [[$x=-\frac{3}{2}$]] tai [[$x=1$]]
b) [[$x=\frac{1}{4}$]] tai [[$x = \frac{3}{4}$]]

3.2.2. Neliöksi täydentäminen

318. a) [[$x=3$]] tai [[$x=7$]]
b) [[$x=-4$]] tai [[$x=2$]]

319. a) [[$x=-1$]] tai [[$x=-7$]]
b) [[$x=-1$]] tai [[$x=9$]]

320. a) [[$x=-\frac{\sqrt{3}+1}{2}$]] tai [[$x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$]]
b) [[$x=-\frac{1}{a}$]] tai [[$x=\frac{3}{a}$]]

321. a) [[$x=\frac{3}{2}\pm\sqrt{2}$]]
b) ei ratkaisua

322. [[$x=\pm2$]] tai [[$x=\pm 2\sqrt{3}$]]

Luku 3.3 Ratkaisukaava - tehtävien vastaukset

2016-09-09T06:16:42+03:00

324. a) [[$x=-2$]] tai [[$x=-1$]]
b) [[$x=-5$]] tai [[$x=2$]]

325. a) [[$x=-1$]] tai [[$x=2$]]
b) [[$x=-2$]] tai [[$x=-\frac{3}{2}$]]

326. a) Yhtälöllä ei ole ratkaisua
b) [[$x=\frac{1}{2}$]]

327. a) [[$x=\frac{3-\sqrt{2}}{7}(\approx 0,227)$]] tai [[$x=\frac{3+\sqrt{2}}{7}(\approx 0.631)$]]
b) [[$x=\pm \sqrt{5}-1, (x_1\approx -3,24; x_2\approx 1,24)$]]

328. a) [[$x=-1$]] tai [[$x=4$]]
b) [[$ x=-3$]] tai [[$x=0$]]

329. a) [[$x=-\frac{1}{2}$]] tai [[$x=3$]]
b) [[$x=-10$]] tai [[$x=50$]]

330. a) [[$x=\frac{1-\sqrt{7}}{3}$]] tai [[$ x=\frac{1+\sqrt{7}}{3}$]]
b) [[$x=1$]] tai [[$x=4$]]

331. a) [[$x=-3\sqrt{5}$]] tai [[$x=\sqrt{5}$]]
b) [[$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{3} (\approx -0,805)$]] tai [[$x=\frac{\sqrt{2}-1}{3} (\approx 0,138)$]]

332. a) [[$ x=-a$]] tai [[$x=2a$]]
b) [[$x=-a$]] tai [[$x=-\frac{1}{2}$]]

333. [[$a=-1$]], jolloin yhtälön toinen ratkaisu on [[$x=0$]].

334. Kuvaajat leikkaavat pisteissä [[$(-2,-13)$]] ja [[$(13,32)$]]

335.Luvut 13 ja 24

336. [[$-5$]] ja [[$4$]].

337. Luvut [[$-17$]] ja [[$-16$]] tai luvut [[$16$]] ja [[$17$]]

338. Sivujen pituudet ovat 15 m ja 16 m.

339. [[$a=-2$]] tai [[$a=1$]]. Kun [[$a=-2$]], toinen ratkaisu on [[$x=-\frac{2}{3}$]] ja kun [[$a=1$]], toinen ratkaisu on [[$x=-\frac{4}{3}$]].

340. [[$x=5$]] tai [[$x=10$]]

341. Lento kestää noin 5,7 s ja pallo on yli metrin korkeudella 4,9 s ajan.

342. a) 26 termiä
b) 23 termiä

343. Aidasta tulee 2,7 metriä pitkä.

344. [[$4 \leq p \leq 7$]]

345. Myynnistä saadaan tuottoa, kun hinta on välillä [0€, 120€]. Tuotto on 80 000 €, kun hinta on 40 € tai 100 €. Suurin tuotto saadaan hinnalla 70 € ja se on 98 000 €.

346. Veneen nopeus on 10,4 km/h

347. a) [[$ x=\pm \sqrt{2} $]]
b) [[$ x=\pm 1 \quad\textrm{ tai } \quad x= \pm \sqrt{3} $]]
c) [[$ x= \pm \sqrt{5} $]]

Luku 3.4 Diskriminantti - tehtävien vastaukset

2016-08-15T13:24:46+03:00

349. a) 2 ratkaisua
b) Yhtälöllä ei ole ratkaisuja

350. a) [[$k=-9$]]
b) [[$k=\pm 2\sqrt{6}$]]

351. a) [[$t > -\frac{1}{3}$]]
b) [[$t<3\frac{1}{5}$]]

352. a) [[$a=-\frac{4}{3}$]], yhtälön ratkaisu tällöin [[$x=\frac{1}{3}$]]
b) [[$a=-2$]] tai [[$a=6$]]. Kun [[$a=-2$]], ratkaisu [[$x=1$]]. Kun [[$a=6$]], ratkaisu [[$x=-3$]]

353. [[$b<1\frac{7}{8}$]]

354. [[$a=11 \pm 6\sqrt{3}$]]

355. [[$k=-10$]] tai [[$k=2$]]. Kun [[$k-10$]], [[$x=4$]] ja kun [[$k=2$]], [[$x=-2$]].

356. [[$b>2\frac{2}{7}$]]

357. a) Kuvaaja on kokonaan x-akselin alapuolella, kun [[$-\frac{9}{16}<a<0$]]
b) Ei millään parametrin [[$a$]] arvolla

358. [[$t<-4$]]

359. Yhtälön diskriminantin kuvaaja on myös paraabeli, joka aukeaa yöspäin. Tällä paraabelilla on yksi nollakohta kohdassa [[$a=\frac{1}{2}$]], jolloin yhtälöllä on yksi ratkaisu. Muilla parametrin [[$a$]] arvoilla diskriminantin kuvaaja on vaaka-akselin ylläpuolella, joten diskriminantin arvot ovat positiivisia ja yhtälöllä on kaksi ratkaisua-

3.5 Toisen asteen yhtälön ratkaisujen ominaisuuksia - tehtävien vastaukset

2016-08-31T09:52:35+03:00

3.5.1 Toisen asteen polynomin jakaminen tekijöihin

360. a) [[$x^2-3x-18=(x+3)(x-6)$]]
b) [[$2x^2-x-3=2(x+1)(2x-3)$]]

361. a) [[$x^2+18x+81=(x+9)^2$]]
b) polynomi ei jakaudu tekijöihin

362. a) [[$-x^2+6x-5=-(x-1)(x-5)=\underline{(1-x)(x-5)=(x-1)(5-x)}$]]
b) [[$4x^2+4x-3=(2x-1)(2x+3)$]]

363. a) [[$-a^2-2a+2 = (a+1+\sqrt{3})(-a+\sqrt{3}-1)$]]
b) [[$4(2x+1)(x-6) = (8x+4)(x-6)$]]

364. a) [[$9a^2x^2-3ax-2=(3ax+1)(3ax-2)$]]
b) [[$7 \cdot (x+\frac{3}{\sqrt{2}})(x-\frac{3}{\sqrt2})$]]

365. [[$t=-7$]], tekijämuodossa [[$(2x-1)(x-3)$]]

366. esimerkiksi [[$P(x)=x^2-x-12, P(x)=2x^2-2x-24, P(x)=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+6$]]
Eri vaihtoehdot saadaan muuttamalla toisen asteen kertoimen [[$a$]] arvoa.

367. [[$Px)=-3x^2+6x+9$]]

368. [[$k=\frac{9}{2}$]]

369. [[$P(x)=2(x+1-\sqrt{6})(x+1+\sqrt{6})$]]

370. a) [[$\frac{2}{x-1}$]]
b) [[$\frac{x+6}{x-2}$]]

3.5.2 Toisen asteen yhtälön ratkaisujen summa ja tulo

371. a) summa [[$-4$]], tulo [[$-6$]]
b) summa [[$2$]], tulo [[$-2\frac{1}{2}$]]
c) summa [[$\frac{1}{2}$]], tulo [[$2 $]]

372. a) [[$x_2=3\quad {}$]] b) [[$x_2 = - \frac{1}{2}$]]

374. a) [[$x_1 +x_2=3, \quad x_1x_2=-4$]]
b) [[$x_1+x_2=\frac{5}{2}, \quad x_1x_2=1$]]

375. a) [[$x_1+x_2=4, \quad x_1x_2=3\frac{2}{3}$]]
b) [[$x_1+x_2=0, \quad x_1x_2=-2\frac{1}{3}$]]

376. a) [[$t=8$]] ja toinen juuri [[$x_2=8$]]
b) [[$t=-8$]] ja toinen juuri [[$x_2=1\frac{1}{3}$]]
c) [[$t = 5 \frac{2}{5}$]] ja toinen juuri [[$x_2 = -\frac{3}{5}$]]

377. a) [[$p^2q^2=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$]]
b) [[$ \frac{6p+6q}{4pq}=-\frac{1}{4}$]]
c) [[$p^2+6pq+q^2 = -2\frac{3}{4}$]]

378. Alkuperäisen yhtälön juuret [[$x_1=-10$]] ja [[$x_2=-6$]]

379. [[$k=-5$]]

380. Merkitään juuriksi [[$x_1=\frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$]] ja [[$x_2=\frac{b+\sqrt{D}}{2a}$]], jolloin sieventämällä saadaan summaksi [[$-\frac{b}{a}$]] ja tuloksi [[$\frac{c}{a}$]]. Huomaa, että summan ja erotuksen tulon muistikaavaa voi käyttää tulon sievennyksessä.

381. [[$1 \frac{9}{16}$]] (Vihje: lisää osoittajaan sopivat termit, jotta muodostuu binomin kolmas potenssi ja vähennä lisäämäsi termit.}

Navigointi

2016-08-15T17:25:05+03:00

Sisällys Luvun sisällys Sivun alkuun