Toisen asteen yhtälön juurten summa ja tulo

2016-08-15T12:29:32+03:00

Kun polynomin nollakohtien (eli yhtälön juurten) summa merkittiin kirjaimella [[$p$]] ja tuloa kirjaimella [[$q$]],
saatiin [[$-ap=b$]] ja [[$aq=c$]], josta [[$p=-\dfrac{b}{a}$]] ja [[$q= \dfrac{c}{a}$]]

Toisen asteen yhtälön juurten summa ja tulo

Toisen asteen polynomin [[$P(x)=ax^2+bx+c$]] nollakohtien [[$x_1$]] ja [[$x_2$]]

summa [[$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$]] ja
tulo [[$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$]]

Esimerkki 1

Määritä yhtälön [[$ -2x^2 +6x-1=0$]] juurten summa ja tulo.

Ratkaisu:
Kertoimet [[$ a=-2, b=6, c=-1$]], joten juurten

Summa [[$-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{6}{-2}=3$]]
Tulo [[$\dfrac{c}{a}=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2} $]]

Vastaus: Yhtälön juurten summa on 3 ja tulo [[$\frac{1}{2} $]].

Esimerkki 2

Ratkaise päässä yhtälö [[$ x^2-x-6=0 $]] keksimällä yksi ratkaisu ja käyttämällä toisen laskemiseen juurten summaa ja tuloa.

Ratkaisu:
[[$2^2=4$]] ja lisäksi [[$4+2-6=0$]]. Näin [[$x=-2$]] toteuttaa yhtälön [[$(-2)^2-(-2)-6=4+2-6=0$]].
Juurten tulo [[$ x_1x_2=\dfrac{c}{a}$]].

Tästä ratkeaa toinen juuri [[$$ -2 \cdot x_2= \frac{-6}{2} \\ -2x_2=-3 \\x_2=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2} $$]]
Vastaus: Yhtälön juuret ovat [[$x_1=-2$]] ja [[$x_2=\frac{3}{2} $]].

Huomautus 1: Edellisten kaavojen mukaan juurten summa ja tulo voidaan laskea aina yhtälön kertoimista, vaikka välttämättä ei ole tiedetä, onko yhtälöllä reaalijuuria. Tämä on mahdollista, sillä kun laajennetaan reaalilukujen joukko kompleksilukujen joukoksi, johon kuuluvat myös ns. imaginaariset luvut, toisen asteen yhtälöllä on aina kaksi ratkaisua (mahdollinen kaksoisjuuri mukaan lukien). Myös näiden kompleksisten juurten summa ja tulo toteuttavat edelliset yhtälöt.

Huomautus 2: Juurten summan ja tulon kaavat voidaan perustella myös laskemalla yleisen yhtälön juuret ratkaisukaavan avulla ja sieventämällä näiden summa ja tulo. Tämä perustelu on harjoituksena 368.

Muuta yhtälön kertoimia ja totea, miten nämä kaavat pätevät erilaisille funktioille.

Esimerkki 3

Laske lausekkeen [[$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$]] arvo, kun luvut [[$a$]] ja [[$b (\neq a)$]] ovat yhtälön [[$3x^2-8x-6=0$]] ratkaisut.

Ratkaisu:
Yksi tapa olisi ratkaista ensin juuret [[$a$]] ja [[$b$]] yhtälöstä. Ratkaisut sisältävät tässä juurilausekkeita, jotka eivät sievene rationaaliluvuksi, ja menetelmä on muutenkin pitkä.
Sievennetään ensin lauseketta [[$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}= \dfrac{b}{ab}+\dfrac{a}{ab}=\dfrac{a+b}{ab}$$]].
Näin lauseke saatiin muotoon, jossa esiintyy ainoastaan juurten summa ja tulo.

Juurten summa on nyt [[$a+b= -\dfrac{-8}{3}=\dfrac{8}{3}$]] ja tulo [[$ ab=\dfrac{-6}{3}=-2$]].

(Huomaa, että tässä [[$a$]] ja [[$b$]] tarkoittavat yhtälön juuria, joita ei pidä sekoittaa yhtälö kertoimien merkintöihin.)

Lausekkeen arvo on näin [[$ \dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{\frac{8}{3}}{-2}=-\dfrac{4}{3} $]].

Vastaus: Lausekkeen arvo on [[$-\dfrac{4}{3} $]]

Navigointi

2016-08-15T09:39:09+03:00

Sisällys Luvun sisällys Sivun alkuun

*3.5.1 Toisen asteen yhtälön juurten summa ja tulo

Toisen asteen yhtälön juurten summa ja tulo