Diskriminantti

2016-09-01T08:33:17+03:00

Ongelma: Montako ratkaisua on yhtälöllä
a) [[$1,6x^2+2,78x+1.51=0$]]?
b) [[$4x^2-4x+1=0$]]?

Piirretään kuvaajat laskimella

Kohdan a kuvaajalla ei ole yhtään nollakohtaa ja b-kohdan kuvaajalla näyttää olevan vain yksi. Miten tämä näkyy ratkaisukaavassa?

a) [[$$\begin{align} x= \frac{-2,78 \pm \sqrt{2,78^2-4 \cdot 1,6 \cdot 1,51 }}{2 \cdot 1,6} =\frac{-2,78 \pm \sqrt{-1,9356}}{3,2}\end{align} $$]]

Nähdään, että juuren alla on negatiivinen luku. Tällöin polynomilla ei ole yhtään nollakohtaa.

b) [[$$ \begin{align} x&=\frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm \sqrt{16-16}}{8} \\&=\frac{4 \pm 0}{8}=\frac{1}{2} \end{align}$$]]
Juuren alla on luku nolla, joten juurilauseke ei vaikuta yhtälön ratkaisuun. Näin yhtälöllä on vain yksi ratkaisu.

Ratkaisukaavassa juuren alla olevaa lauseketta [[$b^2-4ac$]] kutsutaan diskriminantiksi ja sitä merkitään kirjaimella [[$D$]].

Yhtälön diskriminantti

Yhtälön [[$ax^2+bx+c=0$]] diskriminantti [[$D=b^2-4ac$]].

Yhtälön ratkaisujen lukumäärä

Jos yhtälössä [[$ax^2+bx+c=0$]]

[[$D>0$]], yhtälöllä on kaksi erisuurta ratkaisua [[$$x_1=\frac{-b -\sqrt{D}}{2a} \textrm{ ja } x_2=\frac{-b +\sqrt{D}}{2a} $$]]
[[$D=0$]], yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu (ns. kaksoisjuuri) [[$$x=-\frac{b}{2a}$$]]
[[$D<0$]], yhtälöllä ei ole reaalisia ratkaisuja.

Esimerkki 1

Montako ratkaisua on yhtälöllä [[$\sqrt{3}x^2=\sqrt{22}x-\sqrt{12}$]]?

Ratkaisu:
Yhtälö on perusmuodossa [[$\sqrt{3}x^2-\sqrt{22}x+\sqrt{12}=0$]].
Lasketaan diskriminantti [[$D=b^2-4ac=(-\sqrt{22})^2-4\sqrt{3}\sqrt{12}=22-4\sqrt{36}$]],
[[$D = 22-4\cdot6 =-2$]], [[$D<0$]], joten yhtälöllä ei ole (reaalisia) ratkaisuja.

Esimerkki 2

Määritä vakio [[$k$]] niin, että yhtälöllä [[$2x^2-3x+k=0$]] ei ole ratkaisua.

Ratkaisu:
Yhtälöllä ei ole ratkaisua, kun diskrimantti [[$D<0$]].
[[$$ D= b^2-4ac=(-3)^2- 4 \cdot 2 \cdot k =9-8k$$]]
Lausekkeen kuvaaja on laskeva suora.
Suoran nollakohta on [[$9-8k=0 \Leftrightarrow -8k=-9 \Leftrightarrow k=\frac{9}{8}$]]
Kuvajan mukaan lauseke saa negatiivisia arvoja nollakohdan oikealla puolella. Siten [[$D<0$]], kun [[$k > \frac{9}{8}$]].

Esimerkki 3

Millä vakion [[$b$]] arvolla yhtälöllä [[$3x^2-bx+2=0$]] on tasan yksi ratkaisu? Mikä on vastaava yhtälön ratkaisu?

Ratkaisu:
Yksi ratkaisu saadaan, kun diskriminantti [[$D=0$]]. [[$D=b^2-4ac=(-b)^2-4 \cdot 3 \cdot 2 = b^2-24$]]
Diskriminantin ehdosta [[$b^2-24 = 0 \Leftrightarrow b^2=24 \Leftrightarrow b=\pm \sqrt{24}= \pm 2\sqrt{6}$]]
Vastaavat yhtälön ratkaisut:
[[$\underline{ \textrm{Kun }b=2 \sqrt{6}, } \quad x=\frac{-b}{2a} = \frac{-2\sqrt{6}}{2 \cdot 3}= -\frac{\sqrt{6}}{3} $]]

[[$\underline{ \textrm{Kun } b=-2 \sqrt{6}, }\quad x=\frac{-b}{2a} = \frac{-(-2\sqrt{6})}{2 \cdot 3}= \frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3} =\frac{ \sqrt{6}}{3} $]]

Esimerkki 4

Osoita, että käyrät [[$y=\frac{1}{2}x^2+a^2$]] ja [[$y=ax$]] eivät leikkaa toisiaan millään reaaliluvun [[$a \neq 0$]] arvolla.

Ratkaisu:
Merkitään [[$y_1=\frac{1}{2}x^2+a^2$]] ja [[$y_2=ax$]]. Kuvaajat leikkaavat, kun jollain muuttujan [[$x$]] arvolla niiden [[$y$]]-koordinaatit ovat samat.
\begin{eqnarray} &y_1&=&y_2 \\ \Leftrightarrow & \frac{1}{2}x^2+a^2 &=& ax \\ \Leftrightarrow &\frac{1}{2}x^2-ax+a^2&=&0\end{eqnarray}
Tarkastellaan ratkaisujen lukumäärää parametrin [[$a$]] eri arvoilla.
Yhtälön diskriminantti on [[$D=(-a)^2-4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a^2 = a^2-2a^2=-a^2$]]

Reaaliluvun neliönä [[$a^2$]] on aina ei-negatiivinen. Näin sen vastaluku [[$-a^2$]] on negatiivinen tai nolla. Arvo nolla saadaan vain kun [[$a=0$]], mikä ei ollut mahdollista. Näin yhtälön diskriminantti on negatiivinen ja yhtälöllä ei ole ratkaisua, eikä annetuilla käyrillä leikkauspistettä.

Navigointi

2016-08-15T09:37:14+03:00

Sisällys Luvun sisällys Sivun alkuun

3.4 Diskriminantti