Neliöksi täydentäminen

2016-08-15T11:23:11+03:00

Täydellinen toisen asteen yhtälö [[$ ax^2+bx+c=0$]] voidaan ratkaista täydentämällä yhtälö binomin neliöksi.

Tarkastellaan ensin esimerkkinä sellaista toisen asteen yhtälöä, jossa tuntematon [[$x$]] esiintyy vain binomin neliön alla.

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö [[$(2x-1)^2=9$]]

Nyt, jos sulkeet avataan korottamalla binomi neliöön, tuloksena on yhtälö, jossa on mukana kaikkien astelukujen termit. Yhtälö ratkeaa heti helpommin neliöjuuren avulla ([[$x^2=a \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{a}$]]).
[[$$ \begin{eqnarray} (2x-1)^2&=&9 &|| \sqrt {} \quad \textrm{otetaan puolittain neliöjuuri} \\ 2x+1 &=& \pm 3 & \\ 2x&=& \pm3-1 &||\textrm{erotetaan kaksi yhtälöä } \\ 2x&=&-3-1 &\textrm{ tai } 2x=3-1 || :2\\ x&=&\frac{-4}{2}=-2 &\textrm{ tai } x=\frac{2}{2}=1 \end{eqnarray} $$]]
Vastaus: [[$x=-2 \textrm{ tai } x=1$]]

Jos edellisessä esimerkissä olisi korotettu sulkeet auki, olisi saatu täydellinen toisen asteen yhtälö, jossa on kaikkien astelukujen termit mukana. Tällainen yhtälö voidaan yleisesti ratkaista edellisen esimerkin tavoin kirjoittamalla se ensin binomin neliönä.

Esimerkki 2

a) Ratkaise [[$x^2+6x+9=1 \quad$]] b) [[$x^2-10x-24=0$]]

Ratkaisu:
[[$$ \begin{align} x^2+6x+9&=1 \Leftrightarrow (x+3)^2=1 & || \textrm{ Tässä vasen puoli on suoraan binomin neliö.} \\ x+3& = \pm \sqrt{1} & \\ x+3&=-1 \textrm{ tai } \quad x+3=1 &\\ x&=-4 \textrm{ tai }\quad x=-2 &\end{align} $$]]
b) [[$$ \begin{eqnarray} x^2-10x-24&=&0 &||\textrm{Siirretään vakio oikealle ja ajatellaan vasen puoli binomin neliönä} \\ x^2-2 \cdot x \cdot 5 \quad &=&24 & ||+5^2 ( a=x, b=5) \textrm{ Lisättävä puuttuva vakiotermi } b^2 \\x^2-2 \cdot x \cdot 5 +5^2 &=&24+5^2 &||\textrm{Vasen puoli on binomin neliö.} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\ (x-5)^2&=&49 &||\sqrt{}\\x-5&=&\pm 7&||+5 \\x&=&-2 \quad \textrm{ tai } \quad x&=12 \end{eqnarray} $$]]

Vastaus: [[$x=-4 \textrm{ tai }\quad x=-2 $]]

Navigointi

2016-08-15T09:43:14+03:00

Sisällys Luvun sisällys Sivun alkuun

*3.2.1 Neliöksi täydentäminen

Neliöksi täydentäminen

Esimerkki 1

Esimerkki 2

Navigointi