2.1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Funktion kuvaaja

2016-08-12T12:49:49+03:00

Funktion [[$P$]] kuvaaja [[$xy$]]-tasossa on niiden lukuparien [[$(x,y)$]] muodostama joukko, jotka toteuttavat yhtälön [[$$y=P(x)$$]]
Muuttujan [[$x$]] arvoa vastaava muuttujan [[$y$]] arvo saadaan sijoittamalla muuttujan [[$x$]] arvo polynomin lausekkeeseen muuttujan [[$x$]] paikalle. Kuvaajaa voi luonnostella laskemalla yksittäisten pisteiden koordinaatteja muuttujan [[$x$]] eri arvoilla.

Esimerkki 1

Hahmottele funktion [[$P(x)=3x-4$]] kuvaaja laskemalla muutama kuvaajan piste taulukkoon.

[[$$x$$]]	[[$$y=3x-4$$]]	[[$$(x,y)$$]]
[[$0$]]	[[$3\cdot 0-4=-4$]]	[[$(0,-4)$]]
[[$2$]]	[[$3\cdot 2-4=2$]]	[[$(2,2)$]]
[[$4$]]	[[$3\cdot 4-4=8$]]	[[$(4,8)$]]

Siirtele pistettä X tai käynnistä animaatio "play"-painikkeesta.

Suoran yhtälö

Ensimmäisen asteen polynomin [[$P(x)=ax+b$]] kuvaajaa vastaa yhtälö

[[$$y=ax+b$$]]

Tällaisen yhtälön kuvaaja on aina suora. Kerroin [[$a$]] vaikuttaa suoran jyrkkyyteen ja vakiotermi [[$b$]] ilmaisee missä kohdassa suora leikkaa [[$y$]]-akselin. Jos muuttujan kerroin [[$a$]], eli suoran kulmakerroin on positiivinen, suora on nouseva ja kertoimen [[$a$]] ollessa negatiivinen suora on laskeva. Jos [[$a$]] olisi nolla, ei kyseessä olisi enää ensimmäisen asteen polynomifunktio, vaan vakiofunktio.

Nollakohdat

Kohdat, joissa funktion kuvaaja [[$y=f(x)$]] leikkaa [[$x$]]-akselin ovat funktion nollakohtia. Leikkauspisteissä [[$y$]]-koordinaatti saa arvon nolla, eli funktion arvo on nolla. Nollakohdassa on siis voimassa [[$ax+b=0.$]]
Funktion nollakohdat voidaan ratkaista graafisesti kuvaajaa tulkitsemalla, tai algebrallisesti laskemalla yhtälölle [[$ax+b=0$]] ratkaisu.

Kuvan esimerkissä suora [[$y=3x+2$]] leikkaa [[$x$]]-akselin kohdassa [[$x=-\frac{2}{3}$]], eli pisteessä [[$(-\frac{2}{3},0)$]]. Kuvaajasta nähdään, että kun [[$x=-\frac{2}{3}$]], niin [[$3x+2=0$]]

Sanotaan, että funktion [[$P(x)=3x+2$]] nollakohta on [[$x=-\frac{2}{3}$]]. Asia voidaan tarkistaa laskemalla polynomin arvo kohdassa [[$x=-\frac{2}{3}$]]:
[[$P(-\frac{2}{3})=3\cdot (-\frac{2}{3})+2=-2+2=0$]].

Ensimmäisen asteen yhtälön ratkaiseminen

2016-08-12T12:39:19+03:00

Kaikilla ensimmäisen asteen yhtälöillä on joko yksi, ei yhtään tai ääretön määrä ratkaisuja. Ratkaisujen lukumäärä riippuu siitä, millaiseen muotoon alkuperäinen yhtälö sievenee. Yhtälöä muokataan sievennyksessä sellaiseen muotoon, että vasemmalla puolella on pelkkä muuttuja ja oikealla puolella lukuarvo.

Jos muuttuja häviää yhtälöstä, yhtälö on joko identtisesti tosi tai identtisesti epätosi, eli alkuperäisen yhtälön ratkaisu on kaikki muuttujan arvot, tai ei ratkaisua lainkaan.

yhtälön [[$ax+b=0$]] ratkaistu muoto	ratkaisujen lukumäärä
[[$0=k$]], missä [[$k\neq0$]]	identtisesti epätosi, ei ratkaisuja
[[$x=k$]]	yksi ratkaisu [[$x=k$]]
[[$0=0$]]	identtisesti tosi, ratkaisuna [[$x\in \mathbb{R}$]]

Esimerkki 2

Ratkaise yhtälö [[$-15x+7=7x-3$]].

Ratkaisu:
Yhtälö sievenee muotoon [[$x=\frac{5}{11}$]], mikä on alkuperäisen yhtälön ratkaisu.

Vinkki:

Voit ratkaista välivaiheittain yhtälöitä myös laskimella. Syötä haluamasi operaatio uudelle riville.
Sanaa "ans" ei tarvitse kirjoittaa, se ilmestyy automaattisesti, kun aloitat uuden rivin laskutoimitusmerkillä +,-,×,÷.

Esimerkki 3

Millä muuttujan [[$x$]] arvolla polynomit [[$P(x)=-3x+4$]] ja [[$Q(x)=2x-4$]] saavat saman arvon?

Ratkaisu:
Merkitään polynomien lausekkeet yhtä suuriksi ja ratkaistaan yhtälö.

[[$\begin{align}-3x+4&=2x-4&&\|-4\\-3x&=2x-8&&\|-2x\\-5x&=-8&&\|:(-5)\\x&=\frac{8}{5}&&\\ \end{align}$]]

Vastaus: [[$x=\frac{8}{5}$]].

Graafinen tarkastelu [[$P(x)=Q(x)$]]

Ensimmäisen asteen polynomifunktion nollakohdan määrittäminen

2015-07-16T18:52:52+03:00

Ensimmäisen asteen polynomifunktion [[$P(x)=ax+b$]] nollakohdat voidaan ratkaista ilman graafista tarkastelua merkitsemällä polynomin arvo nollaksi ja ratkaisemalla yhtälö.
[[$$\begin{align}ax+b&= 0&&\| -b\\ax&=-b &&\|:a\\x&=-\frac{b}{a}&& \\\end{align}$$]]

Esimerkki 4

Määritä polynomin [[$P(x)=2x-5$]] nollakohta.

Ratkaisu:
Nollakohta saadaan ratkaisemalla yhtälö
[[$\begin{align}2x-5&= 0&&\| +5\\2x&=5 &&\|:2\\x&=\frac{5}{2}&& \\\end{align}$]]

Vastaus: [[$x=\frac{5}{2}$]].

Esimerkki 5

Millä vakion [[$k$]] arvolla polynomin [[$P(x)=2(x-k)$]] nollakohta on [[$x=9$]]?

Ratkaisu:
Merkitään polynomin [[$P$]] arvo nollaksi, kun [[$x=9$]].
[[$\begin{align}P(9)&=0&&\\2(9-k)&=0&&\|:2\\9-k&=0&&\|-9\\-k&=-9&&\|:(-1)\\k&=9&&\end{align}$]]

Vastaus: [[$k=9$]].

Navigointi

2016-08-12T12:31:32+03:00

Sisällys Luvun sisällys Sivun alkuun