1.6 Neliöksi täydentäminen

Taustaa

2016-07-28T09:43:11+03:00

Yleisempiä tapoja ratkaista toisen asteen yhtälö käydään läpi seuraavassa luvussa. Tässä luvussa esitellään kuitenkin tapa, jota kutsutaan neliöksi täydentämiseksi. Menetelmää käytetään silloin, kun tulon nollasääntöä ei voi käyttää.

Ideana on käyttää kaavoja [[$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$]] ja [[$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$]] "takaperin".

Menetelmän käyttäminen

2016-09-02T12:05:16+03:00

Ideana on "etsiä" sopiva termi, joka voidaan lisätä ja vähentää siten, että jompi kumpi yhtälöistä [[$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$]] tai [[$(a-b)^2=a^2+2ab+b^2$]] toteutuu. Joskus tällaisen termin löytäminen voi olla hankalaa.

Esimerkki 1

Täydennetään neliöksi [[$x^2+4x$]]. Kun katsotaan kaavaa [[$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$]], huomataan, että [[$a=x$]] ja jakamalla termi [[$4x$]] tekijöihinsä on saadaan, että [[$4x=2\cdot2\cdot x$]] eli tällöin [[$b=2$]]. Nyt ainoa puuttuva termi on siis [[$b^2=2^2=4$]]. Siis nyt täytyy lisätä ja vähentää 4, jotta saadaan aikaiseksi [[$a^2+2ab+b^2$]]. Lisäämällä ja vähentämällä [[$4$]] saadaan siis [[$x^2+4x=\underbrace{x^2+4x+4}_{=a^2+2ab+b^2}-4=(x+2)^2-4$]].

Esimerkki 2

Tehdään neliöksitäydentäminen polynomille [[$4x^2+4x$]]. Nyt [[$a=2x$]] ja [[$b=1$]] eli siis lisätään ja vähennetään [[$1$]]. Tällöin saadaan [[$4x^2$+4x+1^2-1^2=(2x+1)^2-1$]].

Neliöksi täydentäminen yleisesti

2016-07-28T15:37:22+03:00

Kuten edellä nähdään, on monesti hankalaa "nykäistä hihasta" se termi, joka tulee lisätä ja vähentää, jotta neliöksitäydentäminen onnistuu. Kuitenkin on olemassa sääntö, jolla löydetään termi, mikä pitää lisätä ja vähentää.

Lisättävä ja vähennettävä termi on ensimmäisen asteen termin kertoimen puolikkaan neliö, mikäli toisen asteen termin kerroin on [[$1$]]. Käytännössä siis lisättävä termi on [[$(\frac{b}{2})^2$]], kun [[$a=1$]]. Jos ensimmäisen asteen termin kerroin on jokin muu kuin [[$1$]], voidaan se muuttaa ykköseksi yksinkertaisesti kertomalla kertoimen käänteisluvulla eli luvulla [[$\frac{1}{a}$]]. Tällöin kokokerroin on siis [[$\frac{1}{a}(\frac{b}{2})^2=\frac{b}{4a}$]].

Yleinen kaava toisen asteen yhtälön neliöksitäydentämiselle on [[$f(x)=ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+c-\frac{b^2}{4a}$]].

Navigointi

2016-08-12T10:39:48+03:00

Sisällys Luvun sisällys Sivun alkuun