*1.5 Harrastustehtäviä

Yleistä

2015-07-16T18:49:09+03:00

Tämän luvun asiat eivät kuulu kurssin normaaliin oppimäärään, vaan tämän luvun asiat on tarkoitettu oppilaan oman mielenkiinnon ja lahjakkuuden ylläpitämiseen ja kehittämiseen. Tämän luvun tarkoituksena on tarjota lisää opiskeltavaa oppilaalle, jolle kurssin perusoppimäärä ei tuota tarpeeksi haasteita.

Tämä luku käsittelee kolmea asiaa:
Ensimmäisenä käsittelyssä on polynomien kertominen allekkain.
Toisena asiana käydään läpi polynomien jakaminen jakokulmassa.
Kolmantena asiana on Pascalin kolmio, jota tarvitaan erityisesti laskettaessa muotoa [[$(x-a)^{n}$]] ja [[$(x+a)^{n}$]], missä [[$n>2$]] olevia polynomeja.

Edellä mainituista asioista polynomien jakaminen jakokulmassa käsitellään joka tapauksessa MAA12-kurssilla, joka on pitkän matematiikan valinnainen kurssi.

Polynomien kertominen allekkain

2015-07-17T11:08:35+03:00

Kerrottaessa polynomeja allekkain laitetaan aluksi samaa astetta olevat termit allekkain. Jos toisessa polynomeista ei ole tiettyä astetta olevaa termiä, jätetään kyseinen kohta tyhjäksi. Näin sijoitettaessa jäävä tyhjä tila voidaan ajatella nollaksi. Kertolasku suoritetaan, kuten normaali kertolasku kertomalla jokainen toisen polynomin termi jokaisella toisen polynomin termillä. Vastaus merkitään siihen kohtaan, missä on "paikka" kyseistä astetta olevalle termille.

Esimerkki 1

Kerrotaan allekkain polynomit [[$2x^{2}+x+2$]] ja [[$-2x^{2}+4x-5$]].

Ratkaisu:

[[$\begin{array}{cccccc}&&&2x^{2}&+x&+2\\ &&\cdot&-2x^{2}&+4x&-5\\\hline\\ &&&-10x^{2}&-5x&-10 \\&&8x^{3}&+4x^{2}&+8x&\\+&-4x^{4}&-2x^{3}&-4x^{2}&&\\\hline\\&-4x^{4}&+6x^{3}&-10x^{2}&+3x&-10\\ \end{array}$]]

Esimerkki 2

Kerrotaan allekkain polynomit [[$2x^{3}+1$]] ja [[$x^{3}+3x^{2}-1$]].

Ratkaisu:

[[$\begin{array}{cccccc}&&&x^{3}&+3x^{2}&-1\\&&\cdot&2x^{3}&&+1\\\hline\\&&&x^{3}&+3x^{2}&-1\\+&2x^{6}&+6x^{5}&-2x^{3}&&\\ \hline\\&2x^{6}&+6x^{5}&-x^{3}&+3x^{2}&-1\\\end{array}$]]

Polynomien jakaminen jakokulmassa

2016-08-12T11:10:05+03:00

Polynomeja voidaan jakaa jakokulmassa samalla tavalla kuin lukujakin. On tosin otettava huomioon, että vastaus ei välttämättä ole polynomi. Näin käy siinä tapauksessa, että jako ei mene tasan, vaan jaossa tulee jakojäännös. Tällöin muuttuja on myös nimittäjässä eli muuttujalle tulee negatiivinen potenssi, jolloin luvussa 1.1. esitetty polynomin määritelmä ei täyty.

Jaettaessa polynomia jakokulmassa toimitaan samoin kuin luvuillakin eli ensin jaettava ja jakaja kirjoitetaan jakokulmaan omille paikoilleen, seuraavana mietitään millä termillä on jakajan ensimmäinen termi kerrottava, jotta saadaan jakajan ensimmäinen termi.

Tämä termi kirjoitetaan jakokulman vastaukselle varattuun kohtaan. Seuraavaksi kerrotaan koko jakajana oleva polynomi tällä termillä ja kirjoitetaan saatu tulo jaettavan alle. Suoritetaan vähennyslasku ja pudotetaan alas seuraava jaettavan polynomin termi. Toistetaan alusta käyttäen tällä kertaa jaettavana polynomina äsken vähennyslaskun jälkeen saatua polynomia.

HUOM! Kirjoitettaessa jaettavaa polynomia jakokulman sisään on syytä huomioida, että myös ne polynomin asteet, joita ei ole mukana, on syytä kirjoittaa mukaan varustettuna kertoimella nolla. Esimerkiksi polynomi [[$x^3-2x^2-4$]] on syytä kirjoittaa muodossa [[$x^3 - 2x^2 + 0x - 4$]].

Seuraavassa on video, joka selventää esimerkillä jakoalgoritmin toimintaperiaatetta.

Katsotaan seuraavaksi yksinkertainen esimerkki, josta näkyy, kuinka jakaminen toimii.

Esimerkki 3

Jaetaan polynomi [[$x^{2}-3x-4$]] polynomilla [[$x+1$]].

\begin{matrix}\qquad \quad x-4\\ x+1|\overline{x^{2}-3x-4}\\ \underline{\mp x^{2}\mp x} \\ \qquad\qquad-4x-4\\ \qquad\qquad\underline{\pm4x\pm4}\\\qquad\qquad\qquad\quad0\end{matrix}

Edellä nähdään, että jakolasku menee tasan eli jaettaessa polynomi [[$x^{2}-3x-4$]] polynomilla [[$x+1$]] saadaan [[$x-4$]].

Kuten luvuilla, myöskään polynomeilla jaettaessa jako ei välttämättä mene tasan. Seuraavassa esimerkissä tarkastellaan sellaista tilannetta. Kannattaa myös huomata, että esimerkissä ei ole lainkaan ensimmäisen asteen termiä, joten sellainen kirjoitetaan mukaan jakokulmaan ja sille laitetaan kertoimeksi nolla.

Esimerkki 4

Jaetaan polynomi [[$x^3 - 2x^2- 4$]] polynomilla [[$x-3$]].
[[$\begin{matrix}\qquad \qquad \qquad\qquad x^2+x\\\qquad\quad\qquad x-3\overline{| x^3 - 2x^2 + 0x - 4}\\\qquad\;\;\quad \underline{\mp x^3 \pm 3x^2}\\\qquad\qquad\qquad\quad\; +x^2 + 0x\\ \qquad\qquad\qquad\quad \underline{\mp x^2 \pm 3x}\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\; +3x - 4\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \underline{\mp3x \pm 9}\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +5\end{matrix}$]]

Tällöin vastaukseen laitetaan jakojäännös jaettuna jaettavalla eli vastaukseksi saadaan
[[$\dfrac{x^3 - 2x^2- 4}{x-3}=x^2+x+\underbrace{\dfrac{5}{x-3}}_{jakojäännös}$]]

Pascalin kolmio

2016-08-12T11:10:50+03:00

Aiemmin luvussa 1.3. käytiin läpi muistikaavoja, joilla voi laskea polynomien summan ja erotuksen neliön eli toisen potenssin. Pascalin kolmion avulla voidaan kuitenkin laskea myös polynomien summan ja erotuksen korkeammat kuin toiset potenssit eli [[$(a+b)^{n}$]] ja [[$(a-b)^{n}$]], missä [[$n\in\mathbb{R}$]]. Tästä syystä näitä lukuja kutsutaan binomikertoimiksi.

Pascalin kolmion muodostaminen

Pascalin kolmio muodostetaan kirjoittamalla aina jokaisen rivin alkuun ja loppuun numerot 1 ja laskemalla sitten alapuolelle luku, joka on kahden ylemmällä rivillä olevan luvun summa. Pascalin kolmio muodostetaan seuraavalla tavalla:

Pascalin kolmio kolmirivisenä:
[[$\begin{matrix}&&1&&\\&1& &1&\\1& &2& &1\\\end{matrix}$]]
Keskellä oleva 2 saadaan laskemalla yhteen edellisellä rivillä kakkosen yläpuolella olevat [[$1+1$]].

Nelirivisenä saadaan:
[[$\begin{matrix}&&&1&&&\\&&1& &1&&\\&1& &2& &1&\\1& &3 & & 3& &1\\\end{matrix}$]]

Tässä on saatu ensimmäinen kolmonen laskemalla yhteen ylemmällä rivillä vasemmalla oleva 1 ja sitten 2 ja toinen kolmonen laskemalla yhteen samainen luku 2 ja sitten oikealla oleva 1.

Viisirivisenä saadaan:

[[$\begin{matrix}&&&&1&&&&\\&&&1& &1&&&\\&&1& &2& &1&&\\&1& &3 & & 3& &1&\\1& &4 & &6 & &4 & &1\end{matrix}$]]

Tässä on saatu ensimmäinen nelonen laskemalla yhteen vasemmalta 1 ja 3 ja sitten keskelle kutonen laskemalla yhteen 3 ja 3 ja sitten viimeinen nelonen laskemalla yhteen 3+1 oikealta.

Tällä tavalla voidaan jatkaa äärettömyyksiin asti.

Pascalin kolmion käyttäminen muotoa [[$(a+b)^{n}$]] olevien polynomien laskemiseen

Pascalin kolmiota voidaan käyttää muotoa [[$(a+b)^{n}$]] olevien polynomien laskemiseen auki, sillä Pascalin kolmio sisältää auki kirjoitetun polynomin kertoimet. Kertoimet ovat [[$n$]]:ää vastaavalla Pascalin kolmion rivillä siten, että laskeminen aloitetaan nollasta eli rivi, jolla on vain luku 1, on nollas rivi ja rivi, jolla on luvut 1 ja 1, on ensimmäinen rivi ja niin edelleen.

Kun on valittu oikea Pascalin kolmion rivi edellä kuvatusti, voidaan aloittaa polynomin aukikirjoittaminen. Tämä tehdään seuraavasti:
1. Määritellään luvut [[$i, j$]] ja [[$k$]] seuraavasti: [[$i=n$]], [[$j=0$]] ja [[$k$]] on ensimmäinen käyttämätön luku vasemmalta lukien valitulla Pascalin kolmion rivillä.
2. Kirjoitetaan polynomi [[$k\cdot a^{i}\cdot b^{j}$]]
3. Kirjoitetaan plusmerkki.
4. Kasvatetaan [[$j$]]:tä yhdellä (eli [[$j=j+1$]]) ja vähennetään [[$i$]]:tä yhdellä (eli [[$i=i-1$]]) ja siirrytään [[$k$]]:lla seuraavaan ko. rivin lukuun.
5. Aloitetaan uudestaan kohdasta 2 ja toistetaan, kunnes [[$j=n$]] ja [[$i=0$]].

Esimerkki 5

Katsotaan edellä kuvatun algoritmin toimintaa, kun [[$n=3$]] ja aukikirjoitetaan polynomi [[$(a+b)^{3}$]].

Nyt siis valittava Pascalin kolmion rivi on kolmion neljäs rivi, koska rivien laskeminen aloitettiin nollasta, eli rivi [[$1,3,3,1$]]. Nyt ryhdytään soveltamaan edellä kuvattua ohjetta:
1.1. [[$i=n=3$]], [[$j=0$]] ja [[$k=1$]], koska yhtään lukua luvuista [[$1,3,3,1$]] ei ole vielä käytetty.
1.2. Nyt saadaan [[$k\cdot a^{i}\cdot b^{j}=\underbrace{1}_{=k}\cdot \underbrace{a^{3}}_{a^{i}}\cdot \underbrace{b^{0}}_{b^{j}}=a^{3}$]]
1.3. Saadaan [[$a^{3}+$]]
2.1. Nyt [[$j=j+1=0+1=1$]], [[$i=i-1=3-1=2$]] ja [[$k=3$]], koska [[$1$]] on käytetty rivistä [[$1,3,3,1$]] ja seuraava käyttämätön luku on [[$3$]].
2.2. Siirrytään uudestaan aukikirjoittamisen kohtaan 2, jolloin saadaan
[[$a^{3}+\underbrace{3}_{=k}\cdot \underbrace{a^{2}}_{a^{i}}\cdot \underbrace{b^{1}}_{b^{j}}=a^{3}+3a^{2}b$]]
2.3. Nyt saadaan [[$a^{3}+3a^{2}b+$]]
3.1. Nyt [[$j=j+1=1+1=2, i=2-1=1$]] ja [[$k=3$]], koska rivistä [[$1,3,3,1$]] seuraava käyttämätön luku on [[$3$]]
3.2. Siirrytään taas kohtaan 2, jolloin saadaan
[[$a^{3}+3a^{2}b+3\cdot a^{1}\cdot b^{2}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}$]]
3.3. [[$a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+$]]
4.1. [[$j=2+1=3,i=1-1=0$]] ja [[$k=1$]].
4.2. Takaisin alkuun kohtaan 2 (tämä on viimeinen kierros, koska [[$j=3=n$]] ja [[$i=0$]]).
4.3. [[$a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+1\cdot a^{0}\cdot b^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$]]

Vastaukseksi saatiin [[$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$]].

Vastaavalla tavalla voidaan avata mikä tahansa potenssi.

Ensimmäiset seitsemän potenssia ovat

[[$(a+b)^{0}=1$]]
[[$(a+b)^{1}=a+b$]]
[[$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$]]
[[$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$]]
[[$(a+b)^{4}=a^{4}+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$]]
[[$(a+b)^{5}=a^{5}+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$]]
[[$(a+b)^{6}=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2y^4+6xy^5+y^6$]]

Muotoa [[$(a-b)^n$]] olevat polynomit

Muotoa [[$(a-b)^n$]] olevat polynomit toimivat samalla tavoin, mutta joka toinen [[$+$]]-merkki pitää muuttaa [[$-$]]-merkiksi. Edellä kuvatussa ohjeessa siis kohdassa 3 laitetaan vuoron perään [[$+$]]- ja [[$-$]]-merkit siten, että ensimmäinen merkki on miinus eli yllä olevat kaavat saadaan muotoon:

Ensimmäiset seitsemän potenssia ovat

[[$(a-b)^{0}=1$]]
[[$(a-b)^{1}=a-b$]]
[[$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$]]
[[$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$]]
[[$(a-b)^{4}=a^{4}-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4$]]
[[$(a-b)^{5}=a^{5}-5a^4b+10a^3b^2-10a^2b^3+5ab^4-b^5$]]
[[$(a-b)^{6}=a^6-6a^5b+15a^4b^2-20a^3b^3+15a^2y^4-6xy^5+y^6$]]

Navigointi

2016-08-12T10:39:33+03:00

Sisällys Luvun sisällys Sivun alkuun