1.2 Polynomien laskutoimituksia

Yhteen- ja vähennyslasku

2016-08-12T10:49:50+03:00

Koska polynomit ovat summalausekkeita, kahden polynomin yhteenlaskussa tehdään summalauseke, jossa polynomien termit ovat järjestettyinä niiden potenssien mukaiseen järjestykseen. Jos polynomeissa on samanmuotoisia termejä, ne sievennetään yhdistämällä. Tällöin termien kertoimet lasketaan yhteen.

Kahden polynomin erotus saadaan lisäämällä ensimmäiseen jälkimmäisen vastapolynomi. Vastapolynomi saadaan vaihtamalla polynomille etumerkki. Vähennyslaskussa käytetään lukujen puolelta tuttua kaavaa [[$a-b = a+(-b)$]].

Esimerkki 1

Olkoon [[$P(x)=x+1$]] ja [[$Q(x)=x^2-2$]]. Lasketaan [[$P(x)+Q(x)$]] ja [[$P(x)-Q(x)$]].

[[$P(x)+Q(x)=x+1+x^{2}-2=x^{2}+x-1$]]

[[$P(x)-Q(x)=x+1-(x^{2}-2)=x+1-x^{2}+2=-x^{2}+x+3$]]

Kertolasku

2016-08-12T10:50:56+03:00

Polynomin kertominen ja jakaminen vakiolla

Kerrottaessa polynomi vakiolla, kerrotaan jokainen monomi kyseisellä vakiolla. Tämä periaate tulee suoraan osittelulaista. Jos polynomi jaetaan luvulla, on se sama asia kuin polynomin kertominen luvun käänteisluvulla eli jaettaessa luvulla [[$a$]] voidaan kertoa luvulla [[$\frac{1}{a}$]].

Osittelulaki

[[$K(A+B+C)=KA+KB+KC$]]

Esimerkki 2

Lasketaan [[$3(x-2)$]].

[[$3(x-2)=3\cdot x-3\cdot2=3x-6$]].

Esimerkki 3

Lasketaan [[$\frac{2x^{3}-x+4}{2}$]].

[[$\frac{2x^{3}-x+4}{2}=\frac{1}{2}\cdot(2x^{3}-x+4)=\frac{1}{2}\cdot2x^{3}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\cdot4=x^{3}-\frac{x}{2}+2$]].

Polynomin kertominen polynomilla

Polynomien kertolaskussa jokainen polynomin sisältämä monomi kerrotaan jokaisella toisen polynomin monomilla. Sitten sievennetään yhdistämällä samanmuotoiset termit. Vastauksen aste on sama kuin kerrottavien polynomien asteiden summa.

Esimerkki 4

Olkoon [[$P(x)=2x^{2}+x+1$]] ja [[$Q(x)=-x+1$]].

Lasketaan [[$P(x)\cdot Q(x)$]].

[[$P(x)\cdot Q(x)=(2x^{2}+x+1)(-x+1)=-2x^{3}+2x^{2}-x^{2}+x-x+1=-2x^{3}+x^{2}+1$]].

Kun esimerkissä kerrottiin ensimmäisen ja toisen asteen polynomi, saatiin 3. asteen polynomi, sillä [[$1+2=3$]].

Navigointi

2016-08-12T10:38:29+03:00

Sisällys Luvun sisällys Sivun alkuun