1.1 Mikä on polynomi?

Määritelmä

2016-08-12T10:51:06+03:00

Polynomit ovat matematiikassa tärkeitä lausekkeita. Polynomiksi sanotaan summalauseketta, jonka muuttujan termien eksponenttina on vain ei-negatiivisia kokonaislukuja eli lukuja [[$\{0,1,2,\dots,n\}$]]. Polynomin yleinen muoto on [[$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$]]. Kuten edeltä nähdään, on tapana esittää polynomi niin, että termi, jolla on korkein potenssi, kirjoitetaan ensin ja sitten loput termit potenssin mukaan laskevassa järjestyksessä. Vakiotermi kirjoitetaan viimeiseksi. Muuttujia lausekkeessa voi olla yksi tai useampia.

Polynomilausekkeessa voi esiintyä vain:

Muuttujia korotettuna johonkin ei-negatiiviseen kokonaislukupotenssiin
Muuttujia kerrottuna jollakin vakiolla
Edellisten summia

Polynomeihin liittyviä käsitteitä

2016-08-12T10:51:13+03:00

Monomi tarkoittaa samaa asiaa kuin termi eli se on yksinkertaisin mahdollinen polynomi. Monomi koostuu kertoimesta ja muuttujaosasta, jonka potenssi on ei-negatiivinen kokonaisluku. Esimerkiksi [[$x, -6x^{3}$]] ja [[$2$]] ovat monomeja.
Binomi koostuu kahdesta monomista. Esimerkiksi [[$x^2-8, x^{10}-2x^{8}$]] ja [[$-0,5x^{2}-x$]] ovat binomeja.
Trinomi koostuu kolmesta monomista. Vaihtoehtoisesti voidaan määritellä, että se koostuu yhdestä binomista ja yhdestä monomista. Esimerkiksi [[$x^{2}+x+1$]] ja [[$x^{7}-x^{4}+9,7$]] ovat trinomeja.
Polynomin aste eli asteluku (yleensä puhutaan lyhyesti asteesta) tarkoittaa sen termin, jolla on suurin potenssi, potenssia. Esimerkiksi polynomin [[$x^{7}-x^{4}+9,7$]] aste on 7, polynomin [[$x^2-8$]] aste on 2 ja polynomin [[$x$]] aste on 1.
Vakiotermi eli vakio on monomi, jonka asteluku on nolla eli siinä ei esiinny muuttujaa lainkaan, vain pelkkä kerroin. Esimerkiksi 1,-6, 0,75 ja [[$\pi$]] ovat vakioita. Tämä johtuu siitä, että [[$x^{0}=1$]]. Voidaan siis ajatella, että esimerkiksi [[$-6=-6\cdot x^{0}$]]. Voidaan ajatella, että jokaisen polynomin lopussa on vakio [[$0$]], jota ei vain merkitä näkyviin, sillä aina voi lisätä nollan [[$(0=0\cdot x^0)$]] ilman, että arvo muuttuu.
Polynomin nollakohta tarkoittaa muuttujan arvoja, joilla polynomin arvo on nolla. Esimerkiksi polynomin [[$x^{2}$]] nollakohta on 0 ja polynomin [[$x-1$]] nollakohta on [[$1$]].
Samanmuotoisuus: Kaksi monomia on samanmuotoiset, jos niillä on sama aste ja niiden kirjainosat (tai muuttujaosat) ovat samat.

Esimerkki 1
Lauseke	Onko polynomi?	Perustelu
[[${-4x^3+4x+2}$]]	Kyllä	3. asteen trinomi
[[$-2x^{59}$]]	Kyllä	59. asteen monomi
[[$x^2-8$]]	Kyllä	2. asteen binomi
[[$-2$]]	Kyllä	vakiotermi, 0. asteen monomi
[[$x^7+15x^5-x^3+2x$]]	Kyllä	7. asteen polynomi
[[$\frac{3}{x}$]]	Ei	muuttuja on nimittäjässä, joten lausekkeen asteluku on -1.
[[$\sqrt{x}$]]	Ei	muuttujan potenssi on [[$\frac{1}{2}$]].
[[$bxy^5+5bx-b^2x^2y$]]	Kyllä	summalauseke, jossa kokonaislukupotensseja.
[[$x^{\pi}$]]	Ei	muuttujan potenssi ei ole kokonaisluku.
[[$ \text{1,4}x$]]	Kyllä	1. asteen monomi

Polynomien nimeäminen

2016-08-12T10:51:21+03:00

Polynomi nimetään isolla kirjaimella ja laittamalla sen perään sulkeisiin muuttuja. Yleensä ensimmäinen polynomi nimetään isolla P-kirjaimella, joka tulee yksinkertaisesti sanasta polynomi, seuraava Q-kirjaimella ja niin edelleen. Esimerkiksi polynomi [[$x^{2}+2x-1$]] voitaisiin nimetä seuraavasti: [[$P(x)=x^{2}+2x-1$]] ja vastaavasti polynomit [[$y^{4}+2y^{2}+5$]] merkinnällä [[$Q(y)=y^{4}+2y^{2}+5$]] ja [[$x$]] merkinnällä [[$R(x)=x$]].

Merkintä [[$P(a)$]] tarkoittaa polynomin [[$P(x)$]] arvoa, kun [[$x=a$]].

Esimerkki 2

Lasketaan edellä olevat [[$P(x)$]], [[$Q(y)$]] ja [[$R(x)$]], kun [[$x=3$]] ja [[$y=-1$]].

Tällöin saadaan [[$P(3)=3^{2}+2\cdot3-1=14$]], [[$Q(-1)=(-1)^{4}+2(-1)^{2}+5=8$]] ja [[$R(3)=3$]].

Lasketaan seuraavaksi [[$S(x)$]]+[[$T(x)$]], kun [[$S(x)=x^2-x$]] ja [[$T(x)=x+4$]] ja [[$x=2$]].

[[$S(2)+T(2)=\underbrace{2^{2}-2}_{S(2)}+\underbrace{2+4}_{T(2)}=2+6=8$]].

Navigointi

2016-08-12T10:37:54+03:00

Sisällys Luvun sisällys Sivun alkuun